专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

这是一份专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用），文件包含专题02圆锥曲线中的中点弦问题点差法+联立法典型题型归类训练原卷版docx、专题02圆锥曲线中的中点弦问题点差法+联立法典型题型归类训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2253" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc2253 \h 1
\l "_Tc14606" 二、典型题型 PAGEREF _Tc14606 \h 2
\l "_Tc29452" 题型一：求直线方程 PAGEREF _Tc29452 \h 2
\l "_Tc10434" 题型二：求离心率 PAGEREF _Tc10434 \h 3
\l "_Tc20673" 题型三：求弦中点的轨迹方程 PAGEREF _Tc20673 \h 4
\l "_Tc24781" 题型四：求曲线方程 PAGEREF _Tc24781 \h 6
\l "_Tc11836" 题型五：处理存在性问题 PAGEREF _Tc11836 \h 7
\l "_Tc19494" 题型六：确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc19494 \h 9
\l "_Tc8948" 题型七：定值问题 PAGEREF _Tc8948 \h 11
\l "_Tc857" 三、专项训练 PAGEREF _Tc857 \h 13
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
2、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为 .
6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
题型二：求离心率
1．（2023高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
5．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为 ．
6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.
2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足： ，求点的轨迹方程；
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
题型四：求曲线方程
1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三下·江苏·专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为，则C的方程为 .
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为 .
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.
（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；
（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围
3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.
4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
题型七：定值问题
1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆的焦距为4，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆上，求m的值．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限，.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线与双曲线相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为，求a的值.
5．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
7．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ．
9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 .
10．（2024高二·全国）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ．
11．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
三、解答题
12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.
14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．