眉山市彭山区第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份眉山市彭山区第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则( )
A.B.C.D.
3．已知x是实数，那么“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数，若，则( )
A.B.C.0D.1
5．函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则( )
A.0B.1C.D.
6．已知实数，，满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的( )（参考数据：）
A.B.C.D.
8．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是( )
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点M的运动而变化.
A.①②B.①③C.②③D.③④
二、多项选择题
9．计算下列各式的值，其结果为2的有( )
A.B.
C.D.
10．在平面直角坐标系中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则( )
A.
B.是周期函数，且最小正周期为
C.若，则
D.
11．1694年瑞士数学家雅各布･伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线C上一点，下列说法正确的是( )
A.双纽线C的方程为
B.
C.双纽线C上满足的点有2个
D.的最大值为
三、填空题
12．设，集合，，且，则a的值为__________.
13．若是偶函数，则实数a的值为__________.
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值集合.
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，N是的中点.
（1）若点M为线段上一点，且平面，求的值；
（2）求二面角的正弦值.
17．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复.（提示：设表示第n天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第n天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
18．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作x轴的垂线，并与C交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与C交于M，N两点，，的周长为8.
（1）求C的方程.
（2）记，分别为C的左､右顶点，直线与直线相交于点P，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若时，，求a的取值范围；
（3）对于任意，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：，则.则.
2．答案：A
解析：因为，且，，
所以，，所以.
3．答案：B
解析：由得，解得，所以“”是“”成立的必要不充分条件，即“”是“”成立的必要不充分条件.
4．答案：C
解析：，，
当时，，解得；
当时，，解得，即（舍去），.
5．答案：C
解析：由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以，
又，所以，所以，因此函数为周期函数，周期，所以.
6．答案：B
解析：实数，，由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
7．答案：A
解析：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即，所以.再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为.
8．答案：C
解析：对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为R，
则满足，可得，此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以D为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则，，，，，
所以，，，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为
，
易知时，，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则，；所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以
，易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点M的运动而变化，
即④错误；综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
9．答案：AC
解析：对于选项A，，
故A项正确；
对于选项B，，故B项错误；
对于选项C，
，故C项正确；
对于选项D，
，
故D项错误.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：由题意得在角的终边上，且，所以，，则，，
对A：，故A正确；
对B：为周期函数周期为，故B正确.
对C：，解得，
又由，故C错误；
对D：，
令，所以，
故正确故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：由到定点，的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，当时，则双纽线C的方程为，化简可得，故A正确；
由等面积法得，则，所以，故B正确；
因为，，所以P在线段的中垂线即上，
令，得，解得，所以双曲线C上满足的点P有一个，故C错误；
因为O在线段的中点，所以，所以，由余弦定理得，即，
，所以，所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：①（舍去，不满足集合的互异性），
②（舍），或.显然时满足题设.
故答案为：.
13．答案：
解析：函数是偶函数，则，，
化简可得.当时，则
所以，则，
所以函数是偶函数，则.故答案为：
14．答案：
解析：当时，，所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，
从而，
当时，，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，
从而，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：
函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，
所以或，由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.故答案为：.
15．答案：（1）的最小正周期为，单调递增区间为；
（2）
解析：（1）因为
所以函数的最小正周期为.
令，即，所以函数的单调递增区间为
（2）由题意，，
因为，所以，由，
即，所以或或或，即或或或，
所以.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）连接，交于E，连接，
因为面，面，且面面，
所以，故
（2）设O为中点，连接，又N是的中点，底面为正方形，
所以，等边三角形中，
因为平面平面，面面，面，
所以面，
而面，则，，
所以，，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
由，则，，，，
所以，，
若为面的一个法向量，则，
令，则，
而为面的一个法向量，
所以，故二面角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
（2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹
根据题意得，，，，，
所以.
（3）设表示第n天选择绿豆汤，则，，
根据题意得，，，由全概率公式得，
，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以.
18．答案：（1）；
（2）为定值，且该定值为
解析：（1）将代入可得，
所以解得，，故C的方程为
（2）为定值，定值为.理由如下：
依题可设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，.
易知，，直线的方程为，
则直线的方程为，令，得，
同理可得.
..
故为定值，且该定值为
19．答案：（1）的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）的定义域为；
当时，，则；
令，则；
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
于是，即，故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由题意知，令，
则；由（1）可知若，则当时，
，若，则当时，有
，符合题意；
若，则当时，，于是，
单调递减，则，与题意矛盾；
若，则当时，，于是，
单调递减，此时，与题意矛盾；
综上所述：a的取值范围是.
（3）当时，上（2）可知，
即，取，可得
，
即.
令，累加可得
.
另一方面，考虑函数，
则，
在上单调递减，则，
于是.
取，可得，
整理得.
令，
累加可得.
综上所述，对于任意，成立.