沪教版（2020）选择性必修第二册8.2 一元线性回归分析精品综合训练题

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一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，，，下列说法错误的是（ ）
A．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
B．相关系数越接近，变量，相关性越强
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重，则表示女大学生的身高解释了的体重变化
【答案】A
【分析】根据变量间的相关关系中：相关指数或相关系数的意义进行判定．
【详解】对于A：回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数或相关系数判定，故不正确；
对于B：根据相关系数越接近，变量相关性越强，故正确；
对于C：相关指数越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；
对于D：根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故正确；
故选：．
2．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，
则下列说法中错误的有（ ）A．变量之间呈现负相关关系B．变量之间的相关系数
C．的值为5D．该回归直线必过点
【答案】B
【分析】根据线性回归方程的系数，可判断A；计算，，代入线性回归方程可求得m的值，判断C；利用相关系数公式求得相关系数，判断B;根据线性回归方程必过样本中心点，可判断D.
【详解】对于A∶根据线性回归方程为,可知回归系数 ，
故判断之间呈现负相关关系，A正确；
对于C，根据表中数据，计算， ，
代入回归方程得 ，解得 ，C正确；
对于B︰变量之间的相关系数，B错误；
对于D∶由以上分析知，线性回归方程一定过点，
∴线性回归方程过点 ，D正确，
故选：B．
3．（2023·上海·高三专题练习）经统计，用于数学学习的时间．（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：
由表中样本数据求得线性回归方程为，则点与直线的位置关系是（ ）A．B．
C．D．与100的大小无法确定
【答案】B
【分析】计算平均数，根据回归方程过样本中心点可得.
【详解】由题得，，
代入回归方程得
故选：B
二、填空题
4．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）
若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为______.
【答案】##7.1
【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解.
【详解】，故，故，故，
故答案为：7.1
5．（2023·上海·高三专题练习）已知变量y与x线性相关，若，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方程是______________．
【答案】
【分析】设线性回归方程为，根据回归方程的性质，把已知数据代入求得，则线性回归方程可求．
【详解】解：设线性回归方程为，
，，与的线性回归直线的斜率为2，即，
．
关于的线性回归方程为．
故答案为：．
6．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数__________.
【答案】20
【分析】由回归直线经过点即可计算.
【详解】由题中数据可知，因为回归直线一定经过点，所以.
故答案为：20.
7．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表：
根据上表可得经验回归方程为.则处的预测值为__________万元.
【答案】13.5##.
【分析】由表格可得，，后由回归直线方程过点可得，最后代入可得答案.
【详解】由表格，得，.
因为回归直线方程为，所以，即.则时，.
故答案为：13.5
8．（2022春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为：，据此模型预测，若使用年限为10年，估计维修费用约为___________.
【答案】
【分析】根据样本中心点过线性回归方程，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为，
所以样本中心点为，
因此有，
当时，，
故答案为：
9．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）由表中三个样本点，利用最小二乘法得到的变量之间的线性回归方程为，且当时，预测值，则______．
【答案】32
【分析】由预报值求得参数，得回归方程，求出，代入中心点坐标即得．
【详解】由题可得，
∴，，
又，
∴，
∴．
故答案为：32．
10．（2023·上海·高三专题练习）如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程，那么表中m的值为___________.
【答案】##
【分析】将样本中心点代入回归方程后求解
【详解】由已知中的数据可得：，
∵数据中心点一定在回归直线上，
∴，解得.
故答案为：
11．（2023·上海·高三专题练习）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________．
【答案】
【分析】由题可得，进而可得新的平均数，根据回归直线方程过样本中心结合条件即得.
【详解】因为，且，
所以，
去除两个歧义点和后新的平均数为：
，，又新的回归直线的斜率为3，
所以，
所以新的回归直线方程为.
故答案为：.
12．（2023·上海·高三专题练习）受疫情影响，全球经济普遍下滑，某公司及时调整产研策略，加大研发力度，不断推出新的产品，使2021年的经济由亏转盈，并健康持续发展．下表为2021年1月份至6月份此公司的经济指标y（万元）与时间x（月份）的关系：
其中，其对应的回归方程为，则下列命题中真命题的序号是______．
①y与x负相关；②；③回归直线可能不经过点；④2021年10月份的经济指标y大约为6.8．
【答案】②④
【分析】根据题目数据求出样本中心，再根据回归方程以及其性质分析即可.
【详解】解析：由回归方程中x的系数0.7为正数，知y与x正相关，故①错误；
由题意可知，，所以，所以，故②正确；
回归直线过点，即过点，故③错误；
令，得，故④正确．
故答案为：②④．
13．（2023·上海·高三专题练习）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______．
【答案】
【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.
【详解】由，得，，所以.
故答案为：.
14．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．
【答案】
【分析】对函数取对数，换元即得.
【详解】由，得，即，
令，则线性回归方程为.
故答案为：.
15．（2023·上海·高三专题练习）已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为_______.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出去除前后的样本中心点，求出新的回归方程即可求解作答.
【详解】将代入得，即样本中心点为，由数据点(1.1，2.1)和(4.9，7.9)知：，，
因此去除这两个数据点后，样本中心点不变，设新的回归直线方程为，则，
即新的回归直线方程为，当时，的估计值为，
所以的估计值为3.8.
故答案为：3.8
三、解答题
16．（2023·上海·高三专题练习）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：
已知与线性相关.
(1)求关于的线性回归方程；
(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
【答案】(1)
(2)万人
【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程；
（2）利用回归方程估计.
【详解】（1）解：由
有，
故关于的线性回归方程为；
（2）解：由（1）知回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为万人.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该细菌繁殖的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细菌数与时间（单位：小时，且）满足回归方程（其中为常数），若，且前3个小时与的部分数据如下表：
3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数与时间（单位：小时，且）满足关系式：，在时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减少，则的值为（ ）A．4B．C．5D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出样本中心点求出b值，再分段讨论y的最大值情况作答.
【详解】依题意，，，由，，得，且经过点，
于是得，当时，单调递增，则当时，，
当时，，令，，
求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
而，因此当时，细菌数取最大值，
所以的值为4.
故选：A
二、填空题
2．（2023·上海·高三专题练习）已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程，则______．
【答案】##
【分析】根据表格数据求，代入回归方程求参数a，结合得，由方程的形式可知，即可求c.
【详解】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：.
三、解答题
3．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学 2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知与具有较强的线性相关性，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放万元的补贴．
①若该省大学2023年毕业生人数为万人，估计该省要发放补贴的总金额；
②若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围．
参考公式：
【答案】(1)；
(2)①万元；②.
【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算即可作答.
（2）①利用（1）的结论估计补贴的总金额；②求出两个人参加实践活动的概率分布并求出期望，再利用期望的性质及已知列不等式，即可求解作答.
【详解】（1）由数表知，，
，，
，
，因此，
所以关于的线性回归方程是.
（2）①由（1）知，当千人时，（千人）
所以该省要发放补贴的总金额约为：万元；
②小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，
，
，
，
，
因此，解得，而，即，于是，
所以的取值范围是.
4．（2023·上海·高三专题练习）为迎接年北京冬奥会，践行“更快、更高、更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略．某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据这个散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？
(2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A、B、C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
若传球次，B队员控球次数的期望值C队员控球次数的期望值的两倍，求实数的值．
附：线性回归方程： 中，，；
参考数据：，，，．
【答案】(1)；从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下．
(2)
【分析】(1)通过两边取对数，把非线性相关问题转化为线性相关问题进行处理.
(2)分别求出B队员控球次数和C队员控球次数的分布列，建立方程求解.
【详解】（1）由得．
由题意得，
，
所以，
．
所以，即关于的经验回归方程为．
令，所以，解得，
由于，所以，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下．
（2）设随机变量分别表示队员的控球次数，
由题意得的可能取值为，，．
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
同理可得的分布列为：
所以．
由，有，解得．

6
8
10
12

6
m
3
2
x
15
16
18
19
22
y
102
98
115
115
120
2
3
4
5
2.2
3.8
5.5
使用年数（单位：年）
2
3
4
5
6
维修总费用（单位：万元）
1.5
4.5
5.5
6.5
7.5
使用年限（单位：年）
2
3
4
5
6
维修费用（单位：万元）
12
9
14
27
20
x
3
4
5
6
y
2.9
m
4
4.1
x
1
2
3
4
5
6
y
0.3
2.2
4.5
用户一个月月租减免
的费用（元）
3
4
5
6
7
用户数量（万人）
1
1.1
1.5
1.9
2.2
1
2
3
4
6
8
10
2
3
5
6
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2023年毕业生人数（千人）
7
6
5
4
2023年毕业生中参加过社会实践人数千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
月份
1
2
3
4
5
6
体重超标人数
99
77
54
48
32
27
4.58
4.34
3.98
3.87
3.46
3.29
控球队员
A
B
C
接球队员
B
C
A
C
A
B
概率