高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 导数的概念完美版课件ppt

这是一份高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 导数的概念完美版课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了教材分析，新课讲解，课本练习，随堂检测，答案1，答案C等内容，欢迎下载使用。
初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析 ， 也能够顺利解决形状规则物体的测量问题 ． 然而 ， 人类在实际生活中面临的问题往往更为复杂 ． 例如 ， 运动中速度在不断变化 ， 图形的边界不再是规则的 ， 等等 ． 要处理这一类问题 ， 本质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具 ． 这是初等数学所缺乏的 ， 需要用到高等数学特别是微积分的知识 ．
但是 ， 系统学习高等数学的内容不是高中课程所能承担的任务 ． 本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本的概念 ——— 导数 ， 为我们研究函数性质提供了一个工具 ， 从而可以解决变速运动等现实问题
由于知识基础不足或者可能产生的理解困难 ， 本章某些公式与定理没有给出证明 ． 我们仅仅要求同学们初步了解这些公式 、 定理的用途 ，从而对导数的基本思想有所认识和体会 ． 更深入的学习将在未来的大学课程中继续.
在本节的学习中 ， 我们将利用运动中的平均速度趋近于瞬时速度 ， 利用曲线的割线趋近于它的切线 ， 从而初步认识导数这一刻画函数瞬时变化率的工具 ．
１ 导数的概念当我们乘坐高铁时 ， 常常会在车厢内看到如图 ５ -１- １ 所示的列车信息显示屏 ． 如何理解图中 “ 速度 　３０７ｋｍ ／ ｈ ”
当物体作匀速运动时，运动的速度v是运动距离s除以运动时间t，即但是，如果一个变速运动的物体在时间段t内的运动距离是s，同样的公式给出的只能是这段运动过程中运动物体的平均速度平均速度难以准确地描述一个变速运动过程．一个自然的想法是把整个运动时间分割成若干个时间段，求每个时间段的平均速度．可以想象，随着时间的分割越来越精细，分段的平均速度对整个运动的描述会越来越精确．
以自由落体运动为例，物体下落的距离S（单位：ｍ）与时间t（单位：ｓ）满足函数关系其中g是重力加速度．若近似地取 则有考虑从第１秒到第３秒（用区间记号记为［１，３］）时间段里的自由落体运动．它的平均速度是如果把时间分成［１，２］与［２，３］两个时间段，则在这两个时间段中自由落体的平均速度分别是 与如果以０.５秒为间隔把［１，３］分为４个时间段，可以得出４个时间段内的平均速度分别是
１２．５（ｍ／ｓ）、１７．５（ｍ／ｓ）、２２．５（ｍ／ｓ）与２７．５（ｍ／ｓ）．随着时间段的细分，自由落体的运动状态确实得到越来越精确的描述．这种做法其实蕴含着“极限”这个朴素而深刻的思想． 先把时间段分割，在越来越小的时间段对运动进行分析，再从整体上得到对运动状态越来越精确的描述，这就是被称为“微积分”的数学工具给我们提供的解决问题的途径．本课程只能介绍前端的工作，即寻找数学工具刻画运动物体在某一时刻的瞬时速度．这里的瞬时速度指的是，运动物体在临近指定时刻的某个时间段的平均速度在时间段长度越来越小的变化过程中所趋于的一个稳定值．下面的例子展现了利用平均速度趋近瞬时速度的过程．
例１ 自由落体运动中，物体下落的距离S（单位：米）与时间t（单位：秒）近似满足函数关系 试求物体在t＝２时的瞬时速度． 分析 对不同时间段长度值｜h｜，计算t＝２附近时间段［２＋h，２］（h＜０）或者［２，２＋h］（h＞０）的平均速度:得到表５ １．
在表５.１中，我们通过缩小h的绝对值，发现：在h趋近于０的过程中，平均速度趋近于一个确定的值２０．因此，我们可以说物体在t＝２秒时的瞬时速度为２０米／秒． 解 当h≠０时，h＝２附近时间段［２＋h，２］（h＜０）或者［２，２＋h］（h＞０）的平均速度是因为h趋近于０时，v趋近于２０，所以物体在t＝２秒时的瞬时速度为２０ｍ／ｓ． 用瞬时速度的语言，图５-１-１中的高铁速度可解释为：在２２时３６分的某一瞬间（列车信息屏的时间显示只精确到分，但瞬时速度在时间上的精确度远高于分），列车以３０７千米／小时的瞬时速度前进．
例１告诉我们，研究运动物体的瞬时速度，就是在已知函数关系y＝f（x）的前提下，对于自变量某个给定值x0，给x0一个变化量h，分析当h趋近于０时，函数值的变化量f（x0＋h）－f（x0）相对于自变量的比值是否趋近于某个稳定值.如果这个稳定值存在，就说明 在h趋近于０时有极限，并把这个稳定值记作称为函数y＝f（x）在x＝x０处的导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），记作f′（x０），即
因此，在满足函数关系S＝S（t）的运动中，函数S（t）在t＝t０处的导数S′（t０）就是t０时刻的瞬时速度． 对 于 一 个 一 般 的 函 数 y ＝f（x），我 们 通 常 将 称为函数f（x）在以x０ 和x０＋h为端点的区间上的平均变化率，相应地， 就是函数f（x）在x＝x０处的瞬时变化率．平均变化率反映了函数在一个区间上的变化情况，而瞬时变化率则在理论上反映出该函数在某个自变量x０处的变化情况．
例２ 在室内使用某种杀菌剂t小时后的细菌数量为（１）求f′（１０）． （２）f′（１０）的实际意义是什么？解 （１）当h≠０时，在使用杀菌剂１０小时附近的时间段［１０＋h，１０］（h＜０）或者［１０，１０＋h］（h＞０）内，细菌数量关于时间的平均变化率为
从而，当h趋近于０时，（２）f′（１０）的实际意义是t＝１０时细菌数量的瞬时变化率， 它表明在t＝１０附近，细菌数量大约以 个／小时的速率减少．
练习５．１（１）１．自由落体运动中，物体下落的距离S（单位：米）与时间t（单位：秒）近似满足函数关系 （１）求物体在［２，４］时间段的平均速度；（２）求物体在t＝３秒时的瞬时速度． （３）求物体在t＝a（a＞０）秒时的瞬时速度． ２．在室内使用某种杀菌剂t小时后的细菌数量为 （１）求f′（２）和f′（５）． （２）f′（２）和f′（５）的实际意义是什么？３．石子投入水中，水面产生的圆形波纹区域不断扩散．计算： （１）当半径r从a增加到a＋h（h＞０）时，圆周长相对于半径的平均变化率；（２）当半径r＝a时，圆周长相对于半径的瞬时变化率．
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）①Δx与Δy的值均可取0；（ ）②瞬时速度就是一段时间内的平均速度；（ ）③一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是：物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒；（ ）④若函数f(x)＝c(c为常数)，则在任何x＝x0处的导数f′(x0)为0；（ ）⑤f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率；（ ）
【答案】①×；②×；③×；④√；⑤×；【解析】对于①；由于Δy可为0，但Δx不能为0；所以，命题①是假命题；对于②；由于瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度；所以，命题②是假命题；对于③×；由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度；所以，命题③是假命题；对于④，由导数的定义可推得“常数函数的导数为零”；所以，命题④是真命题；对于⑤；由于f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率；所以，命题⑤是真命题；
3、一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝_______
2、设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 (　　)A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
4、航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s；（1）h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？（2）求第2s内的平均速度；（3）求第2s末的瞬时速度；
【解析】（1）h(0)表示航天飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度；h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度．