高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册1 乘法原理优质课课件ppt

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计数原理　　自远古以来，数 的概念就来源于数 这个动作．直到今天，精确地知道一个有限集合中元素的个数，仍然是一类非常重要的问题．例如，在必修课程第１２章中，我们已经看到古典概率的计算往往需要用到一些集合的元素个数之间的比值，但在那里，因为样本空间较小，大多数计数都是通过枚举完成的．在本章里，我们将学习一些基本的计数原理，以便能够解决更多的计数问题
６．１　　乘法原理与加法原理 １ 乘法原理
先看下面的问题： 如图６-１-１，从甲地到丙地，需经过乙地．其中，从甲地到乙地有３条路线 而从乙地到丙地有２条路线 、 ．那么，从甲地经由乙地到丙地，共有多少种不同的走法？
从甲地到乙地有３种不同的走法，按其中任何一种走法到达乙地后，再由乙地到丙地又有２种不同的走法．于是，不同的走法就有以下６种情形（其中符号 的含义是“先走路线 ， 再走路线 ”，其余类同）
其中，每一种情形都可“从甲地经由乙地到丙地”．因此，从甲地经由乙地到丙地共有
种不同的走法． 这里使用的就是下面的
例１ 一个三层的书架上共放有９本书，其中第一层放有４本不同的语文书，第二层放有３本不同的数学书，第三层放有２本不同的外语书．若从书架的第一、二、三层各取１本书，共有多少种不同的取法？解 从书架的第一、二、三层各取１本书，可以分三个步骤
完成：第一步：从第一层取１本语文书，有４种取法；第二步：从第二层取１本数学书，有３种取法；第三步：从第三层取１本外语书，有２种取法． 根据乘法原理，不同取法的种数为 ４×３×２＝２４
即从书架的第一、二、三层各取１本书，有２４种不同的取法．
例２ 用１、２、３、４、５可以组成多少个没有重复数字的三位数？解 要组成一个没有重复数字的三位数，可以分三个步骤完成：第一步：确定百位上的数字，从５个数字中任选一个，有５种选法；第二步：确定十位上的数字，因为不允许有重复数字，所以从第一步余下的数字中任选一个，有４种选法；第三步：确定个位上的数字，因为不允许有重复数字，所以从前两步余下的数字中任选一个，有３种选法．
根据乘法原理，不同取法的种数为 ５×４×３＝６０． 因此，可以组成６０个没有重复数字的三位数． 例３ 正整数５４０有多少个不同的正约数？ 解 将５４０进行素因数分解，得 ５４０＝２２×３３×５
因此，５４０的正约数都可以写成 的形式，其 ， ，通过 的不同取值，可以得到５４０的所有不同的正约数．
这样，确定５４０的正约数可以分下面三个步骤完成：
第一步：确定约数中 的值，有 共３种可能；第二步：确定约数中 的值，有４种可能；第三步：确定约数中 的值，有２种可能． 根据乘法原理，５４０的不同正约数的个数为 ３×４×２＝２４． 因此，５４０有２４个不同的正约数
练习６．１（１）１．公园有４个门，从一个门进，再从另一个门出，共有多少种不同的走法？２．４名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？
答案：1.12，2.81
1．（2023·上海·高三专题练习）4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（    ）
【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法，由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为
2．（2023·上海·高三专题练习）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）
3．（2021春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）
个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.
4．（2022·上海·高三专题练习）在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）.
【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：
而每个项目都有该校教师参加的情况有：
则每个项目都有该校教师参加的概率为：