高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念优秀随堂练习题

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知识点1 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n
2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
【即学即练1】下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为 SKIPIF 1 < 0
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
【即学即练2】若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则关于此数列的图像叙述不正确的是（ ）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线 SKIPIF 1 < 0
D．此数列的图像为直线 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 的一系列孤立的点
知识点2 数列的分类
注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
【即学即练3】已知下列数列：
①2，4，8，12；
②0， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…；
③1， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…；
④1， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…；
⑤1，0，－1，…，sin SKIPIF 1 < 0 ，…；
⑥6，6，6，6，6，6.
其中，(1)递增数列是________； (2)递减数列是________.(填序号)
知识点3 数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
2．图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
3．通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
4．递推公式法
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
注：常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.
【即学即练4】数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），这个数列从第______项起各项均为正数．
【即学即练5】已知数列 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
【即学即练6】若一数列为1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，则 SKIPIF 1 < 0 是这个数列的（ ）．
A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项
【即学即练7】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666．
【即学即练8】已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是这个数列的（ ）
A．第1011项B．第1012项C．第1013项D．第1014项
【即学即练9】在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．－3D．2
知识点4 数列的前n项和Sn与an的关系
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，
即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
【即学即练10】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【即学即练11】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ______；若 SKIPIF 1 < 0 为严格递减数列，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【即学即练12】已知对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
知识点5 数列的性质
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
数列的周期性.
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
【即学即练13】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【即学即练14】在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．11B．0C．1D．2
【即学即练15】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
考点一 数列的有关概念和分类
解题方略：
1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
【例1-1】现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式1：下列说法：①数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是相同数列；②数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可表示为 SKIPIF 1 < 0 ；③数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…的一个通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；④数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…是常数列；⑤数列 SKIPIF 1 < 0 是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号）
变式2：下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 …B． SKIPIF 1 < 0 …
C． SKIPIF 1 < 0 …D． SKIPIF 1 < 0
考点二 判断或者写出数列的项
解题方略：
对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
2、(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝eq \f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等.
4、递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．
（一）根据规律填写数列中的某项
【例2-1】数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的第14项是_________．
变式1：根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．
变式2：一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）
A．1B．6C．10D．20
变式3：如果正整数排列规律如下：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……则第十个括号内从左到右第3个数是（ ）
A．39B．46C．47D．48
根据通项公式写出项
【例2-2】已知点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ______；依次写出数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项为______．
变式1：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项为______.
变式2：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 ______（选填“是”或“不是”）数列 SKIPIF 1 < 0 中的项；
（2）这个数列第______项起各项都为负数．
变式3：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则它的前五项依次为______．
变式4：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，从第______项起各项均大于 SKIPIF 1 < 0 ．
根据项写出通项公式
【例2-3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
（1）1，3，7，15，31，…；
（2）4，44，444，4 444，…；
（3）－1 SKIPIF 1 < 0 ，3 SKIPIF 1 < 0 ，－5 SKIPIF 1 < 0 ，7 SKIPIF 1 < 0 ，－9 SKIPIF 1 < 0 ，…；
（4）2，－ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，－ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，－ SKIPIF 1 < 0 ，…；
（5）1，2，1，2，1，2，….
变式1：（1）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…的一个通项公式为 SKIPIF 1 < 0 =______；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…的一个通项公式为 SKIPIF 1 < 0 =______；
（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为 SKIPIF 1 < 0 =______．
变式2：根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
（四）由递推公式求数列的指定项
【例2-4】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的第3项是（ ）
A．4B．12C．24D．32
变式1：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
变式2：已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
变式3：已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
变式4：已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若数列 SKIPIF 1 < 0 是常数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点三 数列的单调性
解题方略：
解决数列单调性问题的三种方法
数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.
(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0或an0时，eq \f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是单调递增数列；eq \f(an＋1,an)1))，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或an>0时，\f(an＋1,an)an(n∈N*)
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1