数学必修第二册第9章 复数精品单元测试练习题

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一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．（2024春•浦东新区校级期中）复数的虚部是 ．
【分析】直接由虚部的定义得答案．
【解答】解：复数的虚部是．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．
2．（2024春•浦东新区校级期中）复数在复平面内对应的点位于第 四 象限．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出的坐标得答案．
【解答】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（2024春•宝山区校级期中）已知复数满足，则 ．
【分析】利用复数的模的性质进行计算．
【解答】解：由，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题．
4．（2023春•长宁区校级期末）在复数范围内，方程的两个根是 ．
【分析】方程的根的判别式：△，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解．
【解答】解：根据题意，：△
所以原方程的根为：是虚数单位）
整理，得，
故答案为：
【点评】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题．当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根．
5．（2023春•宝山区期末）在复数范围内，的所有平方根为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：，
则的所有平方根为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
6．（2023春•徐汇区校级期末）已知复平面上平行四边形的顶点，、、按逆时针方向排列，则向量所对应的复数为 ．
【分析】根据题意，直接利用向量的对应关系求出点的坐标，进一步求出向量所对应的复数．
【解答】解：根据题意，复平面上平行四边形的顶点，、、按逆时针方向排列，
则有，
而，，
则有，，，解可得，
故的坐标为，则向量．
所以对应的复数．
故答案为：．
【点评】本题复数的运算，向量的坐标运算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
7．（2023春•杨浦区校级期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 4 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：，
是纯虚数，
，
则且，解得，，
故正整数的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查纯虚数定义，属于基础题．
8．（2024春•宝山区校级期中）已知复数为虚数单位），则满足的复数为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：复数为虚数单位），
则，
，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
9．（2023春•普陀区校级期末）设，为虚数单位．若对于任意，复数的模始终不大于2，则的取值范围是 ， ．
【分析】由复数模的几何意义及向量模的性质即可求出．
【解答】解：，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
10．（2022春•金山区校级期末）已知复数，为实数），并且，则实数 ．
【分析】由复数相等的定义得到，从而，由此能求出结果．
【解答】解：复数，为实数），并且，
，
实数．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
11．（2022春•青浦区校级期末）复数的辐角主值是 ．
【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．
【解答】解：复数的模是，因为对应的点在第一象限且辐角的正切，它的辐角主值为，
三角形式为：，
所以复数的辐角主值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．
12．（2024春•浦东新区校级期中）已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 ．
【分析】由复数的几何意义可知，复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，又因为，而和表示点到原点和点的距离，再结合勾股定理和基本不等式求解即可．
【解答】解：因为，所以复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，
，
注意到和表示点到原点和点的距离，而三角形是直角三角形，
所以，
故，即对应的点到的距离不超过4，
所以对应的点构成以为圆心、半径长为4的圆，面积是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，属于中档题．
二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．（2024春•宝山区校级期中）已知，，则复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，，
则，
故复数对应的点位于第三象限．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
14．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数
A．2B．C．或2D．
【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解的值．
【解答】解：为虚数单位）为纯虚数，
，，
故选：．
【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．
15．（2024春•普陀区校级期中）已知是虚数单位，，复数，，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合复数相等的有关概念即可得到结论．
【解答】解：复数，，
若，
则，解得或，
“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
【点评】本题主要充分条件和必要条件的判断，利用复数相等的有关概念是解决本题的关键，是基础题．
16．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数，复数，，，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则以下命题错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据复数的运算，复数的模的运算以及向量的运算及性质逐一判断即可得解．
【解答】解：对于选项，当时，
则，则，即选项正确；
对于选项，结合，，即选项正确；
对于选项，若，则，
则，故错误；
对于选项，若，则，
则，，
则，即选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了复数的模的运算以及向量问题，属基础题．
三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）．
17．（2023春•嘉定区校级期末）设复数，其中为虚数单位，．
（1）若，求的模；
（2）若是纯虚数，求实数的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：（1）若，
则，
故，其模为；
（2）由题意，它为纯虚数，
则，解得．
【点评】本题主要复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
18．（2023春•闵行区校级期末）已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
【分析】（1）由复数模的定义，结合基本不等式即可求出模的取值范围；
（2）首先根据复数的几何意义找出，，三点坐标，根据三点共线求出参数，再解出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的取值范围是，．
（2）由题意有，，三点共线，
，即，解得，
，，即，，
所以，
，
所以
．
【点评】本题考查复数模的计算、基本不等式、三点共线以及求三角形面积等知识，属基础题．
19．（2023春•奉贤区校级月考）已知关于的方程．
（1）在复数域范围内求该方程的解集；
（2）已知该方程虚根分别为、，若满足，求的最小值．
【分析】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，分别讨论或时，求解在复数域范围内求该方程的解集；
（2）由可得的轨迹为轴，即可求出答案．
【解答】解：（1）设，代入方程得，
则实部虚部对应相等均为零，
时，为实数，
当时，，解得，，舍去；
当时，，解得，，舍去；
时，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，解集为；
（2）因为，即到的距离和到的距离相等，
则的轨迹为轴，那么点到轴的最短距离为．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于中档题．
20．（2022春•徐汇区期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由△，求解不等式即可得答案；
（2）由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解．
【解答】（1）解：因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，
所以△，解得，
所以的取值范围为；
（2）解：因为关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，
所以，所以，解得．
【点评】本题考查多项式的根，考查学生的运算能力，属于中档题．
21．（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量．
①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数．
【分析】（1）利用题中定义进行计算；
（2）①设，，代入化简计算而后作差进行证明；
②设，按照定义建立等式并且展开进而求出和．
【解答】解：（1）由题意，，；
（2）①设，，
，
则
由于
，
所以；
②设，结合①得，
，
令，化简得，
即，，．
【点评】本题主要考查复数相关性质，属难题．