辽宁省大连市名校2025届九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份辽宁省大连市名校2025届九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列等式成立的是( )
A． •＝B．＝2C．﹣＝D．＝﹣3
2、（4分）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3、（4分）若反比例函数，在每个象限内y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＞一D．m＜一
4、（4分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）某鞋店试销一款学生运动鞋，销量情况如图所示，鞋店经理要关心哪种型号的鞋是否畅销，下列统计量最有意义的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
6、（4分）已知x（x﹣2）＝3，则代数式2x2﹣4x﹣7的值为（ ）
A．6B．﹣4C．13D．﹣1
7、（4分）如图，直线与轴交于点，依次作正方形、正方形、…正方形使得点、、…，在直线上，点、、…，在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，在平面直角坐标系中，为，，与轴重合，反比例函数的图象经过中点与相交于点，点的横坐标为，则的长（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，四边形为正方形，点分别为的中点，其中，则四边形的面积为________________________．
10、（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒个1单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为_____秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
11、（4分）方程的解是_______．
12、（4分）一组数据15、13、14、13、16、13的众数是______，中位数是______.
13、（4分）如图，的面积为36,边cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，若，则______cm.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)先化简，再求值：，其中
(2)解方程：
15、（8分）某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共60箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为W元（注：总利润＝总售价－总进价）。
（1）设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数解析式；
（2）求总利润w关于x的函数解析式；
（3）如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。
16、（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．
（1）求证：DA＝DF；
（2）若∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝2，求▱ABCD的面积．
17、（10分）如图，在 ABC ，C  90，AC＜BC，D 为 BC 上一点，且到 A、B 两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点 D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结 AD，若 B  36 ，求∠CAD 的度数．
18、（10分）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在对角线AC上的点E处，折痕交AB于点F．
（1）求线段AC的长．
（2）求线段EF的长．
（3）点G在线段CF上，在边CD上存在点H，使以E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，请画出，并直接写出线段DH的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）将直线y=2x-3平移，使之经过点(1，4)，则平移后的直线是____．
20、（4分）函数y=kx(k0)的图象上有两个点A1(，)，A2(，)，当<时，>，写出一个满足条件的函数解析式______________.
21、（4分）将直线y=2x-3向上平移5个单位可得______直线．
22、（4分）直角三角形有两边长为3和4，则斜边长为_____．
23、（4分）某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是____________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)求证：CE=EP.
(2)若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
25、（10分）我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC与△ADE的对应边AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE边的中线，则△ADE就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．
特例感知：
（1）如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；
①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是： ；
②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，BC＝a时，则AF的长是 ；
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．
26、（12分）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
利用二次根式的乘法法则对、进行判断；利用二次根式的加减法对进行判断；利用二次根式的性质对进行判断．
【详解】
解：、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项正确；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误．
故选：．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2、D
【解析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=GC•CE=×6×8=1．
∵S△FCG===．
故选D．
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
3、A
【解析】
根据反比例函数的性质可得关于m的不等式，解不等式即可求得答案.
【详解】
由题意得：2m-1>0，
解得：m>，
故选A.
本题考查了反比例函数的性质，①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
4、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；
【详解】
解：式子在实数范围内有意义，
即： ，
解得：，
故选：D；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.
5、C
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【详解】
对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：C．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6、D
【解析】
将x（x﹣2）=3代入原式=2x（x﹣2）﹣7，计算即可得到结论．
【详解】
当x（x﹣2）=3时，原式=2x（x﹣2）﹣7=2×3﹣7=6﹣7=﹣1．
故选D．
本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．
7、D
【解析】
先求出直线y＝x＋1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y＝x＋1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标，可以得到规律：Bn（2n−1，2n−1），据此即可求解．
【详解】
解：∵令x＝0，则y＝1，
∴A1（0，1），
∴OA1＝1．
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1）．
∵当x＝1时，y＝1＋1＝2，
∴B2（3，2）；
同理可得，B3（7，4）；
∴B1的纵坐标是：1＝20，B1的横坐标是：1＝21−1，
∴B2的纵坐标是：2＝21，B2的横坐标是：3＝22−1，
∴B3的纵坐标是：4＝22，B3的横坐标是：7＝23−1，
∴Bn的纵坐标是：2n−1，横坐标是：2n−1，
则Bn
故选：D．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
8、B
【解析】
把E点的横坐标代入，确定E的坐标，根据题意得到B的坐标为（2，4），把B的横坐标代入求得D的纵坐标，就可求得AD，进而求得BD.
【详解】
解：反比例函数的图象经过OB中点E，E点的横坐标为1，
，
∴E（1，2），
∴B（2，4），
∵△OAB为Rt△，∠OAB=90°，
∴AB=4，
把x=2代入得，
∴AD=1，
∴BD=AB-AD=4-1=3，
故选：B．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形中位线性质，解题的关键是求得B、D的纵坐标．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4.
【解析】
先判定四边形EFGH为矩形，再根据中位线的定理分别求出EF、EH的长度，即可求出四边形EFGH的面积.
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AEH、△BEF、△CFG、△DGH都为等腰直角三角形，
∴∠HEF、∠EFG、∠FGH、∠GHE都为直角，
∴四边形EFGH是矩形，
边接AC，则AC=BD=4，
又∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD=2，
同理EF=AC=2，
∴四边形EFGH的面积为2×2=4.
故答案为4.
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理.
10、2或.
【解析】
分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析, 根据平行四边形的性质, 可得方程, 继而可求得答案.
【详解】
解：E是BC的中点,
BE=CE=BC=12=6,
①当Q运动到E和C之间, 设运动时间为t, 则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t
t=6-2t,
解得: t=2;
②当Q运动到E和B之间,设运动时间为t,则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,
EQ=CQ-CE=2t-6,
t=2t-6,
解得: t=6（舍），
③P点当D后再返回点A时候，Q运动到E和B之间,设运动时间为t，
则AP=4-（t-4）=8-t, EQ=2t-6，
8-t=2t-6，,
当运动时间t为2、秒时,以点P,Q,E，A为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为: 2或.
本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.
11、
【解析】
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解：两边同时乘以得，
，
解得，，
检验：当时，，不是原分式方程的解；
当时，，是原分式方程的解．
故答案为：．
本题考查了解分式方程：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
12、13 13.5
【解析】
这组数据中出现次数最多的数为众数；把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个，那么中间两个数的平均数即是中位数由此解答．
【详解】
解：∵15、13、14、13、16、13中13出现次数最多有3次，
∴众数为13，
将这组数从小到大排列为：13，13，13，14，15，16，最中间的两个数是13，14，所以中位数=（13+14）÷2=13.5
故答案为：13；13.5.
此题主要考查了中位数和众数的含义．
13、6
【解析】
作AH⊥BC于H点，可得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAH，根据相似三角形对应边比例等于相似比可解题．
【详解】
解：作AH⊥BC于H点，
∵四边形DEFG为矩形，
∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAH，
∵的面积为36,边cm
∴AH=6
∵EF=2DE，即DG=2DE
解得：DE=3
∴DG=6
故答案为：6
本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) ， ；(2).
【解析】
(1)先进行除法运算，再通分进行化简，将 代入化简结果即可得到答案；
(2) 方程两边都乘以，再移项，系数化为1，检验根的正确性，得到答案.
【详解】
(1)



当时，原式
(2)解方程：
解：方程两边都乘以，得

解这个方程，得
检验：将代入原方程
左边＝右边＝1
∴原方程的根是
本题考查分式的化简和解分式方程，解题的关键是掌握分式的化简和解分式方程的方法.
15、（1）y＝60－x；（2）w＝5x＋420；（3）该商场购进两种饮料分别为40箱和20箱时，能获得最大利润620元.
【解析】
(1)根据购进果汁饮料和碳酸饮料共60箱即可求解;
(2)根据总利润=每个的利润数量就可以表示出w与x之间的关系式;
(3)由题意得40x＋25（60－x）≤2100,解得x的值,然后可求y值,根据一次函数的性质可以求出进货方案及最大利润.
【详解】
（1）y与x的函数解析式为y＝60－x.
（2）总利润w关于x的函数解析式为
w＝（52－40）x＋（32－25）（60－x）＝5x＋420.
（3）由题意得40x＋25（60－x）≤2100，解得x≤40，
∵y＝5x＋420，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y最大值＝5×40＋420＝620（元），
此时购进碳酸饮料60-40=20（箱）.
∴该商场购进两种饮料分别为40箱和20箱时，能获得最大利润620元.
本题考查了一次函数的实际运用,由销售问题的数量关系求出函数的解析式,列一元一次不等式解实际问题的运用,一次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
16、（1）详见解析；（1）4
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案；
（1）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，解直角三角形求出EF=1，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=1，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠BAF＝∠F．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF．
∴∠F＝∠DAF．
∴AD＝FD．
（1）解：∵∠ADE＝∠CDE＝30°，AD＝FD，
∴DE⊥AF．
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝1．
∴S平行四边形ABCD＝1S△ADE＝AE•DE＝4．
本题考查了平行四边形的性质及解直角三角形的知识，体现了转化的数学思想，难度不大．
17、 (1)作图见解析；（2）18°
【解析】
分析：（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；
（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB=54°，再由DA=DB知∠B=∠DAB=36°，从而根据∠CAD=∠CAB﹣∠DAB可得答案．
详解：（1）如图所示，点D即为所求；

（2）在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=36°，∴∠CAB=54°，由（1）知DA=DB，∴∠B=∠DAB=36°，则∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=18°．
点睛：本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质．
18、（1）；（2）；（3）见解析，.
【解析】
（1）根据勾股定理计算AC的长；
（2）设EF=x，在Rt△AEF中，由勾股定理列方程可解答；
（3）先正确画图，根据折叠的性质和平行线的性质证明CH=GH可解答．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD矩形，.
在中，；
（2）设EF的长为x．
由折叠，得，，，
，，，
在中，，即，
解得．．
（3）如图，∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH，EF=GH=3，
∴∠EFC=∠CGH，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCF，
由折叠得：∠BFC=∠EFC，
∴∠CGH=∠DCF，
∴CH=GH=3，
∴DH=CD-CH=8-3=1．
故答案为：（1）；（2）；（3）见解析，.
本题是四边形的综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y=2x+2
【解析】
【分析】先由平移推出x的系数是2，可设直线解析式是y=2x+k,把点（1，4）代入可得.
【详解】由已知可设直线解析式是y=2x+k,
因为，直线经过点（1，4）,
所以，4=2+k
所以，k=2
所以，y=2x+2
故答案为y=2x+2
【点睛】本题考核知识点：一次函数性质.解题关键点：熟记一次函数性质.
20、y=-x(k<0即可)
【解析】
根据A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2判断出函数图象的增减性即可．
【详解】
解：∵A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2，
∴函数y=kx（k≠0）满足k＜0
∴y=-x（k＜0即可）；
故答案为：y=-x（k＜0即可）．
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
21、y=1x+1
【解析】
根据平移前后两直线解析式中k值相等，b的值上加下减即可得出结论．
【详解】
解：原直线的k=1，b=-3；向上平移5个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=-3+5=1．
∴新直线的解析式为y=1x+1．
故答案是：y=1x+1．
此题考查的是求直线平移后的解析式，掌握直线的平移规律是解决此题的关键．
22、4或1
【解析】
直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为4的边为斜边；（2）边长为4的边为直角边．
【详解】
解：（1）当边长为4的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4；
（2）当边长为4的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为＝1，
故该直角三角形斜边长为4cm或1cm，
故答案为:4或1．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键
23、
【解析】
根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式.
【详解】
解：根据题意，
y=400x+500（100-x）=-100x+50000；
故答案为
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）存在点M的坐标为(0，2).
【解析】
分析：（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M，根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP．根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案．
详解：（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，如图1．
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°．
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA．
∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA．
在△CKE和△EAP中，∵ ，
∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；
（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，
则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ．
在△BCM和△COE中，∵，
∴△BCM≌△COE，∴BM=CE．
∵CE=EP，∴BM=EP．
∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形．
∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2．
故点M的坐标为（0，2）．

点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解答此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
25、（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）
【解析】
（1）①先判断出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，进而判断出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；
②先判断出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先判断出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判断出DF＝EF，即可得出结论；
（3）先判断出四边形PHCD是矩形，进而判断出∠DPC＝30°，再判断出PB＝PC，进而求出∠APB＝150°，即可利用“夹补三角形”即可得出结论．
【详解】
解：（1）
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF⊥DE，
在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，
故答案为：AF＝BC；
②当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝90°＝∠BAC，
易证，△ABC≌△ADE，
∴DE＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝DE＝BC＝a，
故答案为a；
（2）解：猜想：AF＝BC，
理由：如图1，延长DA到G，使AG＝AD，连EG
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，
∴△AEG≌△ACB，
∴EG＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝EG，
∴AF＝BC；
（3）证明：如图4，
∵△PAD是等边三角形，
∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠PDC＝90°，
作PH⊥BC于H，
∵∠BCD＝90°
∴四边形PHCD是矩形，
∴CH＝PD＝3，
∴BH＝6﹣3＝3＝CH，
∴PC＝PB，
在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，
∴∠DPC＝30°
∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，
∴∠APB+∠CPD＝180°，
∵DP＝AP，PC＝PB，
∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”，
由（2）知，CD＝，
∴△PAB的“夹补中线”＝．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，新定义的理解和掌握，理解新定义是解本题的关键．
26、见解析
【解析】
先证明△ABE≌△FCE，得AB=FC，进而即可得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵E为BC中点，
∴EB＝EC，
在△ABE与△FCE中，
∵，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∴DC＝CF．
本题主要考查平行四边形的性质定理和三角形全等的判定和性质定理，掌握平行四边形的对边平行且相等，是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号
22.5
23
23.5
24
24.5
销量（双）
5
10
15
8
3
饮料
果汁饮料
碳酸饮料
进价（元/箱）
40
25
售价（元/箱）
52
32