2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(学生版+解析)，共28页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22155" 类型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc22155 \h 2
\l "_Tc3900" 类型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc3900 \h 3
\l "_Tc9034" 类型三：构造或型 PAGEREF _Tc9034 \h 4
\l "_Tc11440" 类型四：构造或型 PAGEREF _Tc11440 \h 5
\l "_Tc32760" 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc32760 \h 7
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
高频考点
类型一：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A．B．
C． D．
例题3．（22-23高二下·重庆荣昌·期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（23-24高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．23-24高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
类型三：构造或型
典型例题
例题1．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
例题3．（2023高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高二下·山东聊城·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林长春·一模）定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．（0，）
C．（，+∞）D．
2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·湖北孝感·期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A．B．
C．D．
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22155" 类型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc22155 \h 2
\l "_Tc3900" 类型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc3900 \h 6
\l "_Tc9034" 类型三：构造或型 PAGEREF _Tc9034 \h 10
\l "_Tc11440" 类型四：构造或型 PAGEREF _Tc11440 \h 12
\l "_Tc32760" 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc32760 \h 18
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
高频考点
类型一：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，根据函数单调性即可求得答案.
【详解】令，，则，
故在上单调递减，结合，得，
由，得，即，则，
即的解集是，
故选：A
例题2．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】
方法一：设利用导数得到函数单调性，从而求解；
方法二：设特例法得解.
【详解】
方法一：∵，
∴,
设则在上单调递减，
所以，
， 即，故C正确．
方法二：设又，C正确．
故选：C
例题3．（22-23高二下·重庆荣昌·期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数在上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项.
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D.
练透核心考点
1．（23-24高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系.
【详解】根据题意，设，
因为为奇函数，则，即函数为偶函数.
当时，，
则函数在上为减函数.
，，，
且，则有.
故选：B．
2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用求导逆运算构造函数，由已知可得在上是增函数，根据函数单调性即可求解.
【详解】
解：设，则，
由，可知，所以在上是增函数，
又，所以，即，
故选：B.
3．（多选）（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
类型二：构造或(，且)型
典型例题
例题1．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数，则，求得为增函数，从而可求解.
【详解】由题意得，则，且定义域为，
所以可构造函数，则，
所以为增函数，则，
则，故B正确.
故选：B.
例题2．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.
【详解】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.
例题3．23-24高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】构造新函数，
因为恒成立，
所以，因此函数单调递增，
，
由，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据不等式构造新函数是解题的关键.
练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
2．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案．
【详解】令，
则，即，
故函数是定义在上的奇函数，
当,时，，则，
故在,上单调递增，在,上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，
则不等式，即，
故，解得．
故选：C．
3．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
令，则，
所以为偶函数，
当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
因为，
所以，
所以，即，即，
即，则，
解得.故数a的取值范围为：
故选：B.
类型三：构造或型
典型例题
例题1．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
练透核心考点
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得.
【详解】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
2．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
类型四：构造或型
典型例题
例题1．（2023高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论．
【详解】
当，
则不等式等价为，
即，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
则，，，，
即，，
，，
则，故A正确；
，得不出，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，
所以，
易知当时，，所以函数在上单调递减．
因为，则，
由，则，
且，
因为函数在上单调递减，且，
所以，即，
故选：C．
例题3．（2023高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值大小．
【详解】设，则，则在上单调递增，
对于A，，化简得，故A错误；
对于B，，化简得，故B错误；
对于C，，化简得，故C正确；
对于D，，化简得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用导数不等式构造函数的关键是将含导数的不等式转化为右侧为0，左侧利用导数的四则运算与基本初等函数求导公式构建原函数，从而可确定原函数的解析式，再根据导数符号确定函数单调性，从而可比较两个函数值的大小.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
练透核心考点
1．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造，求导得出函数的单调性和奇偶性，从而判断答案．
【详解】
令，，则，
故在上单调递增，
而，故，故是偶函数，
故，
即，
故A正确，BCD错误，
故选：A．
2．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由已知可得，所以构造函数，求导后可判断出在上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可.
【详解】由，得，
因为，所以
所以，
所以，
令，，则，
所以在上单调递增，
对于A，因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以， 所以C错误
对于BD，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误，
所以D错误，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是对已知条件变形，然后构造函数，求导后判断出函数的单调性，再利用函数的单调性分析，考查数学计算能力，属于较难题.
3．（22-23高二下·山东聊城·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上单调递减.
所以，
故，，
故选：C
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】由，得.
令，则，即为偶函数.
当时，，所以在上单调递增；
所以在上单调递减.
由，
得，即.
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.
【详解】令，
则，
所以函数在上单调递增，
又，
由可得，即，
所以.
故选：A
练透核心考点
1．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．（0，）
C．（，+∞）D．
【答案】B
【分析】根据题意，构造函数，令，将不等式化为，根据单调性即可求解．
【详解】设，则，
，，
，
在R上单调递增，
，
，
令，则，
由，得，即，即，
，即，
，
不等式的解集为．
故选：B
2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨单调性，求解不等式作答.
【详解】定义在上的函数的导函数为，，
令函数，求导得，即函数在上单调递减，
由，得，不等式等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.
3．（22-23高二下·湖北孝感·期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】
由，得．
设函数，则，
所以在上单调递减，从而，
即，即．
故选：D
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8