2025年高考数学一轮复习-拓展拔高3-用构造法解决函数问题【导学案】

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这是一份2025年高考数学一轮复习-拓展拔高3-用构造法解决函数问题【导学案】，共5页。学案主要包含了高考考情，解题关键等内容，欢迎下载使用。

【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
视角一通过变量构造具体函数
[例1](1)若0A.ex2-ex1>ln x2-ln x1
B.ex2-ex1C.x2ex1>x1ex2
D.x2ex1【解析】选C.构造函数f(x)=ex-ln x,
所以f'(x)=ex-1x,且在(0,1)上有零点,
所以f(x)在(0,1)上有一个极值点,
所以f(x)在(0,1)上不单调,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错误;
令g(x)=exx,所以g'(x)=ex(x-1)x2<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,
又因为x2>x1>0,
所以ex1x1>ex2x2,即x2ex1>x1ex2.
(2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y<1lnx-1lny(x>1,y>1),则( )
A.ey-x>1B.ey-x<1
C.ey-x-1>1D.ey-x-1<1
【解析】选A.依题意,ln x-1lnx令f(t)=t-1t(t≠0),
则f'(t)=1+1t2>0,
所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;
又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,
因为f(ln x)所以10,
所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确;
又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确.
思维升华
若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
视角二利用导数的运算法则构造函数
微切口1 利用f(x)与xn构造函数
[例2]设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________.
【解析】构造F(x)=f(x)x,
则F'(x)=f'(x)·x-f(x)x2,
当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数,
所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.
根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
思维升华
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)xn.
微切口2 利用f(x)与ex构造函数
[例3](2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3e3-x的解集为________.
【解析】设F(x)=f(x)·ex,
则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增.
又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.
因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,
即F(x)>F(3),
所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).
答案:(3,+∞)
思维升华
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)enx.
迁移应用
已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C. .(-∞,1e)D.(-∞,1)
【解析】选A.构造函数F(x)=f(x)+1ex,
则F'(x)=f'(x)·ex-[f(x)+1]·exe2x=f'(x)-f(x)-1ex,
因为f'(x)-f(x)<1,
所以F'(x)<0恒成立,
故F(x)=f(x)+1ex在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为f(x)+1ex>2 023,
又f(0)=2 022,所以F(0)=f(0)+1e0=2 023,
所以F(x)>F(0),解得x<0.
微切口3 利用f(x)与sin x,cs x构造函数
[例4](多选题)已知定义在(0,π2)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有f'(x)sin x-f(x)cs x<0成立,则( )
A. f(π6)>2f (π4)B.2f (π6)>f (π3)
C.3f (π6)>f(π3)D.2f(π6)>f(π4)
【解析】选CD.令g(x)=f(x)sinx,x∈(0,π2),
则g'(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x,
又由x∈(0,π2),且恒有f'(x)sin x-f(x)cs x<0,
则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0,π2)上单调递减.
由π6<π3,则有g(π6)>g(π3),
即f(π6)sinπ6>f(π3)sinπ3,可得3f(π6)>f(π3);
又由π6<π4,则有g(π6)>g(π4),
即f(π6)sinπ6>f(π4)sinπ4,可得2f(π6)>f(π4).
思维升华
函数f(x)与sin x,cs x相结合构造可导函数的几种常见形式:
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cs x;
F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x;
F(x)=f(x)cs x,F'(x)=f'(x)cs x-f(x)sin x;
F(x)=f(x)csx,F'(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x.
迁移应用
已知偶函数f(x)的定义域为(-π2,π2),其导函数为f'(x),当0A. (-π2,-π3)∪(π3,π2) B. (-π3,π3)
C. (-π2,-π3) D. (π3,π2)
【解析】选A.因为偶函数f(x)的定义域为(-π2,π2),
所以设g(x)=f(x)csx,
则g(-x)=f(-x)cs(-x)=f(x)csx,
即g(x)也是偶函数.当0根据题意g'(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x<0,
则g(x)在(0,π2)上单调递减,且为偶函数,
则g(x)在(-π2,0)上单调递增.
所以f(x)<2f(π3)cs x⇔f(x)csx所以|x|>π3,-π2解得x∈(-π2,-π3)∪(π3,π2).