2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲等比数列及其前n项和(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲等比数列及其前n项和(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了等比数列的概念，等比数列的有关公式，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32251" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc32251 \h 1
\l "_Tc6687" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc6687 \h 2
\l "_Tc7510" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7510 \h 5
\l "_Tc21372" 高频考点一：等比数列基本量的运算 PAGEREF _Tc21372 \h 5
\l "_Tc23962" 高频考点二：等比数列的判断与证明 PAGEREF _Tc23962 \h 10
\l "_Tc13757" 高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质） PAGEREF _Tc13757 \h 12
\l "_Tc5457" 高频考点四：等比数列的性质及其综合应用 PAGEREF _Tc5457 \h 16
\l "_Tc7250" （角度2：等比数列前项和性质） PAGEREF _Tc7250 \h 16
\l "_Tc15623" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc15623 \h 20
第一部分：基础知识
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
2．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
3．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（23-24高二上·河北保定）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
例题3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数列中，，前n项之和为.
(1)若是等差数列，，求b的值；
(2)若是等比数列，，求b的值.
例题4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
练透核心考点
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
3．（23-24高三·四川）设是等比数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
高频考点二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和满足：，，，，其中．证明：数列是等比数列；
例题2．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求证：数列为等比数列；
练透核心考点
1．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．9B．C．9或D．18
2．（23-24高三·云南红河·阶段练习）等比数列的首项，前n项和为Sn，若，则数列的前10项和为( )
A．65B．75C．90D．110
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ；
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用
（角度2：等比数列前项和性质）
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22B．24C．26D．28
例题2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324B．420C．480D．768
例题3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3B．4C．7D．9
例题4．（23-24高一下·福建龙岩）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．5D．
2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024高一·全国·专题练习）已知等比数列的公比，且，则等于（ ）
A．100B．80C．60D．40
4．（2024·浙江宁波）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
第四部分：新定义题
1．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
2．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若（a为非零实数），求；
(3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值．
第03讲 等比数列及其前项和
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32251" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc32251 \h 1
\l "_Tc6687" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc6687 \h 2
\l "_Tc7510" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7510 \h 5
\l "_Tc21372" 高频考点一：等比数列基本量的运算 PAGEREF _Tc21372 \h 5
\l "_Tc23962" 高频考点二：等比数列的判断与证明 PAGEREF _Tc23962 \h 10
\l "_Tc13757" 高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质） PAGEREF _Tc13757 \h 12
\l "_Tc5457" 高频考点四：等比数列的性质及其综合应用 PAGEREF _Tc5457 \h 16
\l "_Tc7250" （角度2：等比数列前项和性质） PAGEREF _Tc7250 \h 16
\l "_Tc15623" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc15623 \h 20
第一部分：基础知识
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
2．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（23-24高二上·河北保定）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】设等比数列的公比为q，
则由，，得，
解得，
故，
故选：B
例题2．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可.
【详解】（1）因为，则，解得，
当时，；
当时，．
综上所述：或.
（2）因为，则，即．
又因为，则，即．
两式相除得，所以．
例题3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数列中，，前n项之和为.
(1)若是等差数列，，求b的值；
(2)若是等比数列，，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）设的公差为d，根据题意求出首项和公差，即可得出答案；
（2）根据等比数列前项和公式求出公比即可得解.
【详解】（1）解：设的公差为d，则由已知可得：，
解得，
∴；
（2）解：若是等比数列，则公比为，
又，则，
则，，则，
故，解得.
例题4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
【答案】(1)当时，,当时，；
(2)，；
(3)当时，,当时，.
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的基本量之间的关系，即可求解.
【详解】（1）解：，解得：，
当时，,
当时，.
（2）解：,解得：，所以
（3）解：，解得：或，
当时，,
当时，.
练透核心考点
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，可得解得，
所以．
故选：A．
2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
【答案】(1)6
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出，再利用等比中项定义求解即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以；
（2）设等比数列{an}的公比为q，因为，所以.
由已知得，即，解得，
若G是，的等比中项，则有，
所以，所以，的等比中项为.
3．（23-24高三·四川）设是等比数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由已知求得公比，进一步求出首项，代入等比数列的通项公式即可；
（2）利用等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）设数列的公比为q，
则由已知有，，所以，．
因此．
（2）由(1)则前n项和
4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
【答案】(1)，
(2)或
(3)
(4)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由基本量法列方程直接可解；
（2）由基本量法列方程直接可解；
（3）由基本量法列方程直接可解；
（4）由基本量法列方程直接可解,
【详解】（1）由题知，解得，所以
（2）若，则，故
由题知，解得或
（3）由题知，解得
（4）易知，所以由题知，解得
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
高频考点二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和满足：，，，，其中．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】利用等比数列的定义证明即可.
【详解】由数列an满足，，
可得，结合题设易知，即，
又由，，可得，
所以数列是以首项，公比等于的等比数列.
例题2．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由定义判定等比数列
【分析】（1）将递推公式由来表示，进而利用等比数列的定义即可判断；
（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解.
【详解】（1）证明：由得，易知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】变形得到，证明出结论.
【详解】因为数列中，，，
所以，且，
所以是等比数列，公比为2，首项为2.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】由题意可构造出，结合等比数列的定义即可得.
【详解】证明：由，得，
又，，，
∴是首项为3，公比为3的等比数列．
高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质）
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）等比数列中，，，则数列的前10项和等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先应用等比数列的项的性质再根据对数运算性质计算.
【详解】∵数列是等比数列，，，∴，
∴．
故选：B.
例题2．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、等比数列下标和性质及应用
【分析】首先由等比数列的性质可知，，再根据基本不等式和对勾函数的性质确定的最小值.
【详解】由等比数列的性质可知，，，
则，
当，时等号成立，联立和，得，时，取等号，
因为，所以等号取不到，
设，，其中 ，则，
设函数，函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
由以上可知，不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时，
以及，此时，
，，
因为，所以的最小值为，
所以的最小值为.
故选：A
例题3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等比数列满足，则的最小值是 ．
【答案】27
【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意利用等比数列性质可得，对于利用等边数列性质可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为数列是等比数列，则，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是27.
故答案为：27.
例题4．（2024·湖北黄冈）设等比数列满足，且，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】正项等比数列的对数成等差数列的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，则，根据题中条件列出关于和的方程组，解出这两个量，求出数列的通项公式，可得出关于的表达式，再利用二次函数的性质求出的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，
解得，，则，
所以，，
因此，当或时，取得最小值，故答案为.
【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题，在求解等比数列时，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
练透核心考点
1．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．9B．C．9或D．18
【答案】C
【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】运用等比数列性质解题即可.
【详解】正项等比数列an的前项和为，
若，则，则.
又，则，即，即，
则，化简，解得都满足题意.
则或.
故选：C.
2．（23-24高三·云南红河·阶段练习）等比数列的首项，前n项和为Sn，若，则数列的前10项和为( )
A．65B．75C．90D．110
【答案】A
【分析】由的首项，前项和为Sn，，求出，可得 ，再求数列前10项和．
【详解】∵的首项，前项和为Sn，，
解得 故数列的前10项和为
故选A.
【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
【答案】5
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据题意结合等差数列分析可知，进而可得，再结合等比数列性质可得，即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可知，
且，则，即，
所以；
又因为是等比数列，且，则，
显然，可得，
则，所以最小值为5.
故答案为：5.
4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ；
【答案】
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】由得，再根据等比数列的性质得，进而可得.
【详解】由得，
所以，
因为等比数列的各项均为正数，
所以，
故，得.
故答案为：
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用
（角度2：等比数列前项和性质）
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【知识点】等比数列片段和性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】由题意，设等比数列的公比为，
因为成等比数列，可得，
又因为，即
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
例题2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324B．420C．480D．768
【答案】C
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可.
【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为，
所以也成等比数列.
由，解得.
故选：C.
例题3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3B．4C．7D．9
【答案】A
【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用
【分析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果.
【详解】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，
由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得
故选：A
【点睛】本题考查等比数列和项公式基本量计算，考查综合分析求解能力，属中档题.
例题4．（23-24高一下·福建龙岩）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质
【分析】根据，解关于 的方程，注意还是的讨论，代入公式即可求解.
【详解】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明 的取值时，要考虑是否为1.
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．5D．
【答案】A
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】利用成等比数列求解可得答案.
【详解】，，可得，
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
第四部分：新定义题
1．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、数列新定义
【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可；
（2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明；
（ii）由（i）可得，利用裂项相消法求出，即可得证.
【详解】（1）因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）（i）因为，则，
令，即，解得，所以，
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
（ii）因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是理解“线性数列”的定义，第二问的第一小问关键是，从而计算.
2．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若（a为非零实数），求；
(3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)41
【知识点】数列的极限、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】(1)根据递推公式，可推出数列为等比数列，进而可求出数列的通项公式；
(2)根据题意可知为等比数列，则对的关系进行化简，对进行分类讨论，最后通过极限运算可得结果；
(3)根据存在性问题，需要求出最小值，然后再根据恒成立问题，分离变量可得出的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
又因，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，所以.
（2）根据题意知，则，记，
当时，则，此时不存在；
当时，则，
当时，，
当时，，
当时， ，则不存在.
（3）由题意知，对有解，
因为，所以当时，，
当时，，
则,
所以，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
因为，所以最小值为6，所以，
所以实数t的最大值为41.
证明是等比数列
定义法
()
(或者）
等差中项法
判断是等比数列
的通项关于的指数函数
（，）
的前项和
（，，）