2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为 ．
12．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意的都有成立，那么为函数的一个“线性覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围 ．
四、解答题
13．（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求证：对，恒成立．
14．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.
15．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.
(1)求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.
B能力提升
1．（2022·全国·模拟预测），对，不等式恒成立，则正整数的最大值与最小值之和为（ ）
A．8B．6C．5D．2
2．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．eD．
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·山西运城·期末）若对任意的，且，都有成立，则m的取值范围为 ．
5．（23-24高二下·云南·开学考试）已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，不等式对任意实数x都成立，只需，用导数法求出，即可求解.
【详解】,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于基础题.
2．（21-22高二下·广东广州·期中）函数，若恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0.
【详解】，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
3．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求.
【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
4．（22-23高二下·广东揭阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据分段函数的解析式，利用分类讨论、构造函数求最值和二次函数的性质，求解实数的取值范围
【详解】
当时，，由，可得，
设，可得，时，，在上单调递增，
可得，，即；
当时，，
故的解为或，
时，要满足恒成立，只需满足，即．
综上，，即实数a的取值范围为．
故选：C．
5．（2024高三·全国·专题练习）若，恒成立，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，就、分类讨论后可得，利用导数可求.
【详解】设，则，
当时，，故在上为增函数，
而，故当时，即，
这与题设矛盾.
当时，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
故，故，
故，设，则且恒成立，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
故，故即，
此时，
故选：D.
6．（2024高三·全国·专题练习）若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．B．1
C．D．
【答案】C
【分析】
设，就、分类讨论后可求实数的最大值.
【详解】设，则，
当时，，故为上的增函数，
此时当时，，故不恒成立，舍；
当时，恒成立，符合要求；
当时，
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数；
故，
故，故实数的最大值，
故选：C.
7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
对不等式作等价变形，构造函数并利用函数的单调性建立不等式，再分离参数求解即得.
【详解】函数，，，
令，显然函数在上单调递增，而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，当时，，递增，
当时，，递减，因此，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8．（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解.
【详解】由，得，
令，
则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以，
所以函数在上是增函数，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，满足题意；
当时，则存在，使得，
且当，，函数单调递减，
所以，故不恒成立，
综上所述，的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.
【详解】若恒成立，则恒成立，
构建，则，
∵，故，则有：
当，即时，则当时恒成立，
故在上单调递增，则，
即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；
当，即时，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
∵，
故满足的整数；
综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
10．（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BCD
【分析】
先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.
【详解】因为，
所以，
即函数的图象关于直线对称.
当时，为增函数；
令，则，
时，，，所以，所以为增函数，
所以当时，为增函数.
由对称性可知，当时，为减函数.
因为恒成立，所以恒成立，
即，解得.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为 ．
【答案】5
【详解】由题意可知xex－exln x＋ex＞mx，即x－ln x＋1＞恒成立．令f(x)＝x－ln x＋1，f′(x)＝1－＝.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴ 当x＝1时，函数f(x)取得极小值，即最小值，f(x)min＝f(1)＝2.令g(x)＝，则g′(x)＝＝，当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．∴ 当x＝1时，函数g(x)取得极大值，即最大值，g(x)max＝g(1)＝.∴ {f(x)－mg(x)}min＝f(1)－mg(1)＝2－＞0，得m＜2e∈(5，6)，∴ 正整数m的最大值为5.
12．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意的都有成立，那么为函数的一个“线性覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据题意知，令，求出即可.
【详解】由题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
从而得对任意的恒成立，
设，，
则，，
易知在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以.
故答案为:.
四、解答题
13．（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求证：对，恒成立．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用导数判断单调性即可；
（2）由（1）得函数的最小值，再利用换元法即可证明；
【详解】（1）
，
令，则；
令，则．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）
由（1）可得，即 ，
令，
代入可得，即，
所以对，恒成立．
14．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证.
【详解】（1）
因为的定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
令，则，
令，则，
因为，所以，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即.
【点睛】结论点睛：恒成立问题：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
15．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.
(1)求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.
【答案】(1)极小值，无极大值；
(2).
【分析】
（1）求导，判断函数单调性即可确定极值;
（2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.
【详解】（1）.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，即对恒成立.
令，则只需即可.
.
易知均在上单调递增，
故在上单调递增且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
.故，故的最大值为.
B能力提升
1．（2022·全国·模拟预测），对，不等式恒成立，则正整数的最大值与最小值之和为（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】将在上恒成立，转化为在上恒成立求解.
【详解】由在上恒成立，可得，
即在上恒成立，
只需求出的最小值，的最大值.
设，
则，
∴在上单调递减，得.
再设，
易得在上单调递减，
∴，故有.
若存在，则必有，即，
又，且n为整数，故满足要求，的整数都不成立，
故整数n的最大值为4，最小值为2，
∴最大值与最小值之和为6.
故选：B.
2．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】A
【分析】
将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.
【详解】由可得，
由,且,所以，即，
令，则在上单调递增，
所以，令，则,
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可.
【详解】当时，不等式恒成立；
当时，此时，即，
即对任意恒成立，
令在上单调递减，则，故.
当时，此时，即，
即，对任意恒成立，
令，其中，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，要使在恒成立，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递减，，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
4．（23-24高二上·山西运城·期末）若对任意的，且，都有成立，则m的取值范围为 ．
即在上恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
C综合素养（新定义解答题）
1．（2023·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)函数在区间上具有性质；
(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
(3)的最大值为.
【分析】
（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；
（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；
（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.
【详解】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.