江苏省南京市南师附中集团新城中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份江苏省南京市南师附中集团新城中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下面是某八年级（2）班第1组女生的体重（单位：kg）：35，36，42，42，68，40，38，这7个数据的中位数是（ ）
A．68B．43C．42D．40
2、（4分）下列计算错误的是（ ）
A．+=2B．C．D．
3、（4分）已知，，，是一次函数(为常数)的图像的三点，则，，的大小关系为( )
A．B．C．D．
4、（4分）函数y=的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＜2C．x＞2D．x≤2
5、（4分）如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞﹣5D．x＜﹣5
6、（4分）某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．36cm
7、（4分）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接，，，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①；②；③④是等边三角形．
A．只有①②B．只有①④C．只有①②③D．①②③④
8、（4分）如图，在长方形中，绕点旋转，得到，使，，三点在同一条直线上，连接，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在一列数2，3，3，5，7中，他们的平均数为__________．
10、（4分）在平行四边形ABCD中，AE平分交边BC于E，DF平分交边BC于F．若，，则_________．
11、（4分）用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于的整式方程为_____________
12、（4分）若多项式x2+mx+是一个多项式的平方，则m的值为_____
13、（4分）关于 x 的方程 (a≠0)的解 x＝4，则的值为__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，求这块地的面积.
15、（8分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．
16、（8分）探究：如图1，在△ABC中，AB=AC，CF为AB边上的高，点P为BC边上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：PD+PE=CF．
嘉嘉的证明思路：连结AP，借助△ABP与△ACP的面积和等于△ABC的面积来证明结论．
淇淇的证明思路：过点P作PG⊥CF于G，可证得PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
迁移：请参考嘉嘉或淇淇的证明思路，完成下面的问题：
（1）如图1．当点P在BC延长线上时，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由；
（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变，请直接写出线段PD，PE和CF之间的数量关系．
运用：如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C′处．若点P为折痕EF上任一点，PG⊥BE于G，PH⊥BC于H，若AD=18，CF=5，直接写出PG+PH的值．
17、（10分）如图，直线AB：y＝﹣x﹣b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
18、（10分）如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是_____．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是_____．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABC是平行四边形，且A(4，0)，B(6，2)，则直线AC的解析式为___________.
21、（4分）如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝_____度．
22、（4分）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是__________．
23、（4分）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．
25、（10分）解方程．
26、（12分）计算：
（1） （2）
（3） （4）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
把这组数据按从小到大的顺序排列，然后按照中位数的定义求解．
【详解】
解：这组数据按从小到大的顺序排列为：35，36，38，1，42，42，68，
则中位数为：1．
故选D．
本题考查了中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
2、B
【解析】
根据根式的运算性质即可解题.
【详解】
解：A,C,D计算都是正确的，
其中B项,只有同类根式才可以作加减法,所以B错误,
故选B.
本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的运算性质是解题关键.
3、C
【解析】
先根据一次函数中k＝−3判断出函数的增减性，再根据进行解答即可．
【详解】
解：∵一次函数中k＝−3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：C．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
4、A
【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．
故选A．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5、A
【解析】
函数y1＝3x+b和y1＝ax﹣3的图象交于点P（﹣1，﹣5），求不等式3x+b＞ax﹣3的解集，就是看函数在什么范围内y1＝3x+b的图像在函数y1＝ax﹣3的图象上面，据此进一步求解即可.
【详解】
从图像得到，当x＞﹣1时，y1＝3x+b的图像对应的点在函数y1＝ax﹣3的图像上面，
∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为：x＞﹣1．
故选：A.
本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
6、A
【解析】
设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝1．
故选A．
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
7、B
【解析】
根据平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理对各项进行判断即可．
【详解】
为平行四边形，
，
，
，
①对．
②
，
，
，
，
②不对
③无特殊角度条件，无法证③
同理，
④，
，，
，
，
，
，
等边，④对，
选①④
故选B．
本题考查了三角形的综合问题，掌握平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
8、D
【解析】
证明∠GAE＝90°，∠EAB＝90°，根据旋转的性质证得AF＝AC，∠FAE＝∠CAB，得到∠FAC＝∠EAB＝90°，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形AGFE为矩形，
∴∠GAE＝90°，∠EAB＝90°；
由题意，△AEF绕点A旋转得到△ABC，
∴AF＝AC；∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．
故选：D．
本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用旋转的性质来分析、判断、解答．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
直接利用算术平均数的定义列式计算可得．
【详解】
解：这组数据的平均数为=1，
故答案为：1．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
10、4或9
【解析】
首先根据题意画出图形，可知有两种形式，第一种为AE 与DF未相交，直接交于BC，第二种为AE与DF相交之后再交于BC.此时根据角平分线的定义和平行四边形的性质找到线段直接的关系.
【详解】
(1)
如图：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠BEA
即∠BEA=∠BEA
∴AB=BE
同理可得：DC=FC
又∵AB=DC
∴BE=CF
∵BC=AD=13，EF=5
∴BE=FC=(BC-EF)÷2=（13-5）÷2=4
即AB=BE=4
(2)
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠BEA
即∠BEA=∠BEA
∴AB=BE
同理可得：DC=FC
又∵AB=DC
∴BE=CF
则BE-EF=CE-EF
即BF=CE
而BC=AD=13，EF=5
∴BF=CE=(BC-EF)÷2=（13-5）÷2=4
∴BE=BF+EF=4+5=9
故AB=BE=9
综上所述：AB=4或9
本题解题关键在于，根据题意画出图形，务必考虑多种情况，不要出现漏解的情况.运用到的知识点有：角平分线的定义与平行四边形的性质.
11、
【解析】
可根据方程特点设，则原方程可化为-y=1，再去分母化为整式方程即可．
【详解】
设，则原方程可化为：-y=1，
去分母，可得1-y2=y，
即y2+y-1=1，
故答案为：y2+y-1=1．
本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，再将分式方程可化为整式方程．
12、±．
【解析】
根据完全平方公式的结构特征即可求出答案．
【详解】
解：∵x2＋mx＋＝x2＋mx＋（）2，
∴mx＝±2××x，
解得m＝±．
故答案为±．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
13、4
【解析】
将x=4代入已知方程求得b =4a，然后将其代入所以的代数式求值．
【详解】
∵关于x的方程 (a≠0)的解x=4，
∴，
∴b=4a，
∴= ，
故答案是：4.
此题考查分式方程的解，分式的化简求值，解题关键在于求得b =4a
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、24m2.
【解析】
连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，
根据△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】
解：连接
∵∴
在中，根据勾股定理
在中，
∵
是直角三角形
∴.
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
15、
【解析】
分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
详解：原式=
=
=
=
当时，原式==．
点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16、（1）不成立，CF=PD-PE，理由见解析；（1）CF=PE-PD理由见解析；运用：PG+PH的值为11．
【解析】
（1）由三角形的面积和差关系可求解；
（1）由三角形的面积和差关系可求解；
（3）易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用探究中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=AB，BF=BE=DE=3，只需求出AB即可．
【详解】
解：（1）不成立，CF=PD-PE
理由如下：
连接AP，如图，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP-S△ACP，
∴AB•CF=AB•PD-AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD-PE．
（1）CF=PE-PD
理由如下：
如图，
∵S△ABC=S△ACP-S△ABP，
∴AB•CF=AC•PE-AB•PD
∵AB=AC
∴CF=PE-PD
运用：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°．
∵AD=18，CF=5，
∴BF=BC-CF=AD-CF=3．
由折叠可得：DE=BB，∠BEF=∠DEF．
∵AD∥BC
∴∠DEF=∠EFB
∴∠BEF=∠BFE
∴BE=BF=3=DE
∴AE=5
∵∠A=90°，
∴AB==11
∵EQ⊥BC，∠A=∠ABC=90°．
∴∠EQC=90°=∠A=∠ABC
∴四边形EQBA是矩形．
∴EQ=AB=11．
由探究的结论可得：PG+PH=EQ．
∴PG+PH=11．
∴PG+PH的值为11．
故答案为：（1）不成立，CF=PD-PE，理由见解析；（1）CF=PE-PD理由见解析；运用：PG+PH的值为11．
本题考查矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
17、（1）y＝﹣x＋6；（2）不变化，K（0，－6）
【解析】
（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，易证△BOP≌△PHQ，利用全等三角形的性质可得出OB=HP，OP=HQ，两式相加得PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，可得AH=QH，即△AHQ是等腰直角三角形，进而证得△AOK为等腰直角三角形，求出OK=OA=6，即可得出K点的坐标．
【详解】
解：（1）将A（6，0）代入y=-x-b，得：-6-b=0，
解得：b=-6，
∴直线AB的解析式为y=-x+6；
（2）不变化，K（0，－6）
过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，－6）．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及等腰三角形的判定得出△AOK是等腰三角形．
18、
【解析】
过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°；再根据折叠的性质有PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB＝60°，，于是∠EPF＝10°，PH＝HG﹣PG＝2﹣，得∠HEP＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：过P作PH⊥DC于H，交AB于G，如图，
则PG⊥AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于形内点P处，
∴PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠APB＝60°，PG＝AB＝，
∴∠EPF＝10°，PH＝HG﹣PG＝2﹣，
∴∠HEP＝30°，
∴HE＝PH＝（2﹣）＝2﹣3，
∴EF＝2HE＝4﹣6，
∴△EPF的面积＝FE•PH＝（2﹣）（4﹣6）
＝7﹣1．
故答案为7﹣1．
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【解析】
分析：根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
详解：如图，
∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
20、y=-x+1
【解析】
根据平行四边形的性质得到OA∥BC，OA=BC，由已知条件得到C（2，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，列方程组即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∵A（1，0），B（6，2），
∴C（2，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=-x+1，
故答案为：y=-x+1．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．
21、1
【解析】
设∠A＝x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FCE＝∠FEC＝5x，则180°﹣5x＝130°，即可求解．
【详解】
设∠A＝x，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，
则180°﹣5x＝125°，
解，得x＝1°，
故答案为1．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC的外角是正确解答本题的关键．
22、m>-6且m-4
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．
试题解析：分式方程去分母得：2x+m=3（x-2），
解得：x=m+6，
根据题意得：x=m+6＞0，且m+6≠2，
解得：m＞-6，且m≠-4.
考点: 分式方程的解．
23、-2
【解析】
由正比例函数的定义可得m2﹣2＝2，且m﹣2≠2．
【详解】
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、2.
【解析】
试题分析：延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=CF，然后求解即可．
试题解析:如图，延长BD交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝CF＝×4＝2.
25、原分式方程无解.
【解析】
根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证.
【详解】
方程两边乘(x﹣1)(x+2)，得x(x+2)﹣(x﹣1)(x+2)＝3
即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3
整理，得x＝1
检验：当x＝1时，(x﹣1)(x+2)＝0，
∴原方程无解．
本题考查解分式方程，解题的关键是明确解放式方程的计算方法．
26、（1）5；（2）-5；（3）；（4）
【解析】
根据算术平方根的定义以及二次根式的性质，分别对（1）（2）（3）（4）进行化简计算即可．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人