广西壮族自治区柳州市柳江区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份广西壮族自治区柳州市柳江区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

（答题时间：120分钟；满分120分）
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、单选题（12小题，每题3分，共36分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2.抛物线的对称轴是
A.直线B.直线
C.直线D.直线
3.下列分别是回收、低碳、节水、节能的四个标志，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
4.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式为
A. B.
C. D.
5.下列各点中，是二次函数图象上的点是
A.（1，3）B.（0，0）C.（2，1）D.（0，-2）
6.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是
A.35°B.40°C.50°D.70°
7.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
A. B.
C. 且D.
8.把一元二次方程化为的形式，正确的是
A. B.
C. D.
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为
A. B.
C. D.
10.已知点，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为
A. B.
C. D.
11.如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转90°，得到，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
A. B. C. D.
12.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线.有下列结论：①；②；③；④当（n为实数）时，.其中，正确结论的个数是
A.0B.1C.2D.3
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每题2分，共12分）
13.一元二次方程的一次项系数是_______________.
14.将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是____________.
15.方程的解为____________.
16.若m是一元二次方程的一个根，则______________.
17.如图，抛物线交x轴于点（-3，0），（1，0），交y轴于点（0，2），则关于x的不等式的解集是____________.
18.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转2022次得到正方形，则点的坐标是____________.
三、解答题（8小题，共72分）
19.（本题满分6分）解方程：.
20.（本题满分6分）解方程：.
21.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，.
（1）将向下平移5个单位长度后得到，请画出.
（2）将绕原点O逆时针旋转90°后得到，请画出，并写出点的坐标.
（3）以O，，B为顶点的三角形的形状是___________.（直接写出正确答案）
22.（本题满分10分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染就会有121个人被感染.
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人?
（2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染，被感染的人会不会超过1300人?
23.（本题满分10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系.
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由.
24.（本题满分10分）如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD，已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m.
（1）若围成的花圃面积为，求BC的长.
（2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
25.（本题满分10分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC上，且，将点C绕点B逆时针旋转至点F，旋转角的度数为，连接BF，与AC相交于点G，连接EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止.
（1）如图2，当时，①求证：.②点H在线段AC的什么位置?请说明理由.
（2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况?如果存在，请直接写出EF的长；如果不存在，请说明理由.
26.（本题满分10分）2022年北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图，这是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的点A滑出，滑出后沿抛物线：运动.
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，距水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）.
（2）在（1）的条件下，当运动员运动到离A处的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米?
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围.
2023年秋季学期九年级（期中）教学质量监测试题
数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
二、填空题（每小题2分，共12分）
13.-4 14. 15. ， 16.2024 17. 18.（1，-1）
19.解：
或
∴，.
20.方法一：
解：，
∴，
方法二：
解： ，
或，
∴，.
方法三：
解：，，
∴，
∴，
∴，.
21.解：（1）如图，即为所求
（2）如图，即为所求
由图可得.
（3）等腰直角三角形
22.解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意得
解得，（不合题意，舍去）
答：每轮感染中平均一个人会感染10个人
（2）121×（1+10）=1331（人）
∵1331>1300
∴若病毒得不到有效控制，经过3轮感染，被感染的人会超过1300人
23.解：（1）由题意，得每件商品的销售利润为元，
那么m件的销售利润为
∴，即.
∵，∴.
又∵，∴，即，
∴，
∴所求关系式为.
（2）由（1）得.
又∵，
可得，当售价定为42元时，获得的利润最大，最大销售利润是432元.
∵432<500，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.
24.解：（1）设垂直于墙的AB边长为，根据题意得，
则
解得，
当时，；当时，.
墙可利用的最大长度为13m，舍去
答：BC的长为10m.
（2）不能围成这样的花圃.
理由：依题意可知，即
∴方程无实数根
答：不能围成这样的花圃.
25.解：（1）①证明：∵BC绕点B逆时针旋转得到BF，
∴.
∵，即，∴为等边三角形
∵，即E为BC的中点，
∴
②方法一：点H在AC的中点处
理由：由（1）知，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
如图，过点H作于点P，则，
∴四边形HPBE是矩形，，
∴
∴
∴，
∴点H在AC中点的位置
方法二：点H在AC的中点处
理由：由（1）知，
∴.
∵四边形ABCD为边长为4的正方形，，
∴，，，.
在中，，
在中，，，
∴，∴，
则，
∴点H在AC中点的位置
（2）存在.EF的长为或（只对一个答案给1分）
26.解：（1）点，点代入抛物线：，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为.
（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，
∴，
解得（不合题意，舍去），.
故当运动员运动到离A处的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米.
（3）∵点，
∴抛物线：
∵抛物线：，
∴坡顶坐标为.
∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米，
∴，
∴.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
C
D
B
C
B
B
A
C
D