湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（10月）数学试题

这是一份湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（10月）数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合， 若， 则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．若，，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．设等差数列的前项和为，且满足a1<0,S7=S17，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．24
5．已知，则（ ）
A．5B．C．-5D．
6．已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
10．数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等比数列
B．若，则为等差数列
C．
D．
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则的取值范围是
B．当且时，
C．对于任意满足
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设是等比数列，且，a2+a3=18，则 ．
13．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，，则
14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
16．（15分）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
17．（15分）已知锐角∆ABC中，角A,B,C所对边为,,，且．
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围．
18．（17分）已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线方程.
(2)讨论函数F(x)=x-ax- (a+1) f (x-1) 的单调性；
(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
19．（17分）若数列an的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列an是一个“对数性凸数列”；
(2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(3)设正项数列a0,a1,⋯an是一个“对数性凸数列”证明：．
参考答案：
原题：第4题优化设计P147 第17题：优化设计P156
12．或 13． 14．
6．A
【分析】构造函数并探讨奇偶性，由有唯一零点求出，再验证即可.
【详解】令函数，其定义域为R，
，函数为偶函数，
由函数与的图象恰有一个交点，得有唯一零点，
因此，即，解得，，
当时，，
令函数，，函数在上单调递增，
，则当时，，函数在上递增，在上递减，
所以函数有唯一零点，.
7．A
【解析】首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，
所以或，
即或，则或，
则非负根中较小的有：；
因为函数在上只有三个零点，
所以，解得.
8．B
【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.
【详解】函数没有极值点，
，或恒成立，
由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，则，
当时，恒成立，为上的增函数，
因为是增函数，也是增函数，
所以，此时，不合题意；
②当时，为增函数，由得，
令
在上单调递减，在上单调递增，
当时，依题意有，
即，
，，
令，，
则，
令，令，解得，
所以当时，取最大值
故当，，即，时，取得最大值
综上，若函数没有极值点，则的最大值为
11．ACD
【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到代入化简即可.
【详解】对于A:当时，，，
由，可得或，
由，可得，
所以的增区间为和0,+∞，减区间为，
所以在处取到极大值，在处取到极小值，
若有三个零点，则解得，故正确；
对于B：当，，，同时 ，结合A函数的单调性得，故错误；
对于C：，故正确；
对于D：若，
由，得，
则，
其中代入，得，
整理得，即，
结合题设，故正确，
14．
【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数的单调性以及利用数形结合方法，说明零点的个数问题，即可得答案.
【详解】当时，，无零点；
当时，在上单增，至多一个零点，不合题意；
设，，
当时，与的图象大致如图1所示，

时，，二者无交点，
当时，在单调递增，，
则在上单增，，故至多一个零点，不合题意；
当时，与的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点，
故有两个零点；综上，，
故答案为：
15．(1) (2)
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16．(1)
(2)略 （原题：优化设计P156）
17．(1) (2)
【详解】（1）解：因为，所以，
所以，从而，
即，
所以，因为，所以．
（2）解：因为，，由正弦定理，有
所以，，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，从而的取值范围为．
18．(1)；
(2)当时，F(x)在上单调递减，在上单调递增；
当时，F(x)在和上单调递增，在上单调递减；
当时，F(x)在上单调递增.
当时，F(x)在和上单调递增，在上单调递减；
【详解】（3）证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线y=gx关于直线对称．
19．【分析】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明；
（2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【详解】（1））因为，所以，
因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（2）因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（3）记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
B
D
A
A
B
ABD
ABD
ACD