湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.
1. “且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.
【详解】且能够推出，反之不能推出且，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选:.
2. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
【答案】A
【解析】
【分析】列举反例可判断A选项，根据不等性质可判断BCD选项.
【详解】A选项：取，，，，则，，所以，A选项错误；
B选项：若，又，则，B选项正确；
C选项：若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，C选项正确；
D选项：若且，则，所以，D选项正确；
故选：A.
3. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】解：由题意可知：，
集合，
因为代表所有的偶数，代表所有的整数，
所以，即．
故选： D．
4. 下列说法不正确的是（ ）
A. 命题p：，，则命题p的否定：，
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 若，，则
D. 已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4
【答案】B
【解析】
【分析】利用命题的否定形式判断A；集合的子集关系判断B；不等式的性质判断C；集合的子集的个数判断D.
【详解】对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，
当时，，符合题意，
又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，因为，，
所以，，则，故C正确.
对于D，由，故集合N的个数为，故D正确.
故选：B
5. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为
故选：B
6. 下列说法正确的是（ ）
A. ，对任意的，，这个对应是A到B的函数
B. 若函数的定义域为−1,1，则函数的定义域为
C. 和表示同一函数
D. 函数的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】对于A选项，当时不符合函数定义；对于B选项，由抽象函数定义域求法可判断；对于C选项，根据同一函数的概念判断；对于D选项，根据二次函数的性质求值域.
【详解】对于A选项，当时，故不符合函数定义，A错误；
对于B选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B错误；
对于C选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C正确；
对于D选项，，函数在单调递增，则，故D错误.
故选:C.
7. 在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A {m|－2C. {m|－3【答案】C
【解析】
【分析】根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【详解】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3故选：C．
【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
8. 已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解.
【详解】设，则，
令，则，
因为，
所以，，当且仅当时等号成立，
当，即时，函数在上单调递减，则，
当，即时，，
当，即时，函数在上单调递增，则，
所以，当时，，，
由于对任意的，，，都有成立，
所以，，解得，
当时，，显然符合题意，
当时，，，
由题意知，，解得，，
综上可得，的取值范围为，
故选：C.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为或x>12
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．
【详解】由题意可知，A选项正确；
是方程的两根，
则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确．
故选：ABD．
10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 若，则的值是
D. 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、 B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误．
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故B正确；
当时，，解得（舍去)，
当时，，解得或（舍去），故C正确；
当时，，解得，当时，，解得-，
因此的解集为，故D错误.
故选：BC．
【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式，可对A、B判断；由，可得，利用基本不等式“1”的应用即可对C、D判断.
【详解】对A、B：因为，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；
对C：若，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确.
对D：若，则，所以，
由及，可知，则当，即时，，故D正确.
故选:ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可
【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，
则：，
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则.
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，
即
故答案为：
13. 函数的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间.
【详解】
画出函数图象，如图可知，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在1,+∞上单调递增，
综上所述函数的单调递减区间为.
故答案为：
14. 若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据判别式确定a的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a的范围.
【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有 ，
并且，，
由求根公式得方程的解为，
，即不等式的2个整数解必定为1和2，
，解得；
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，，.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出集合，再根据补集定义求出，进一步根据交集运算求出；
（2）由可知，分和两种情况讨论可求出.
【详解】（1），
，
或，
或；
（2），，
当，即时，，满足题意；
当时，满足，解得，
综上，.
【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.
16. 设函数.
（1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答.
【小问1详解】
依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，
当且仅当，从而得，
综上，，所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
不等式对于实数时恒成立，即，，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x的取值范围是.
17. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【解析】
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
【小问2详解】
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
18 已知函数，.
（1）求函数的值域；
（2）试判断在区间的单调性，并证明；
（3）对，总，使成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）在区间是增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法可得函数解析式，再结合二次函数的值域情况可得最值；
（2）代入可得函数的解析式，再利用定义法证明函数单调性；
（3）设函数在上的值域为集合，函数在上的值域为，易知，根据集合间的关系可得参数范围.
【小问1详解】
，恒成立，
设，则，
即，
即，
又，
所以，
即的值域；
小问2详解】
由（1）知，，
则，
在区间是增函数，
证明如下：，且，
则
，
，
，，
，，
则，即
在区间是增函数；
【小问3详解】
由（1）（2）知，则
当时，，
则，记集合，
当时，由（2）知在区间单调递增，
，记集合，
对，总，使成立，
，则，又，
，
即，解得或，
综上所述，即实数的取值范围是.
19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.
（1）求的解集和的解集；
（2）设方程的解集为，集合，若，求的取值范围；
（3）若的解集为，求的范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由x表示不超过实数的最大整数可得的范围；
（2）根据高斯函数的定义求得集合，从而得出集合的可能情形，根据集合的情形求解.
（3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得.
【小问1详解】
由题意得，且，
由，即，所以，
故的解集为；
由，即，
，则，所以，
所以的解集为.
【小问2详解】
，则，，即，
令，，，
当时，，此时，成立；
当时，，此时，
又，则，解得；
当时，，此时，
又，则，解得，
综上所述，，即；
【小问3详解】
不等式，即，
由方程可得或.
①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；
②若，，由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得，
③若，，
由，解得，
因为不等式解集为
所以，解得，
综上所述，或
故的范围为.