江西省赣州市第三中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份江西省赣州市第三中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟满分：120分）
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．一元二次方程的解是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2．关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
3．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）．
A．B．
C．D．
4．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）．
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点
C．当时，y随x增大而增大D．图象的顶点坐标是
5．如图，点A的坐标是，将线段OA绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
6．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．D．（m为任意实数）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________．
8．抛物线与x轴只有一个交点，则__________．
9．关于x的一元二次方程的两根之和为__________．
10．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降__________米，水面宽8米．
11．已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点，在抛物线C上，则__________（填“＞”或“＜”）．
12．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为__________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：．
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人．
15．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，求k的取值范围．
16．如图，已知二次函数图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
17．如图，直角坐标系xOy中，抛物线上有C、D两点，拋物线与y轴交于C点，轴，请你用无刻度的直尺按要求面图．
图1 图2
（1）在图1中，抛物线与x轴有两个交点，求作抛物线的对称轴；
（2）在图2中，抛物线与x轴无交点，轴，求作抛物线的顶点．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．求证：．
19．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大，若存在，请求出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a、b、c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二方程的两个实数根为，，则__________，__________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足,且，求的值．
22．请根据以下素材，完成探究任务．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
图1 图2
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，__________；
②S关于t的函数解析式为__________．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻，，对应的正方形DPEF的面积均相等．
①__________；
②当时，求正方形DPEF的面积．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，∴，
∴或，∴，．故选B．
2．B
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，解得．故选B．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：．故选A．
4．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．
[详解]解：A．∵，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B．∵，∴，
即图象与x轴有两个交点，故此选项不符合题意；
C．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小，故此选项不符合题意；
D．∵，∴图象的顶点坐标是，故此选项符合题意．故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，，
∴，
∴．
在和中，，
∴≌（AAS），∴，．
∵点A的坐标为，∴，，
∴点B的坐标为．故选B．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；由图象可知：，，根据抛物线与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口往下，∴．
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴．
∵抛物线与x轴的交点是和，∴对称轴为，
∴，∴，∴，故选项A错误．
∵，∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．
∵，，∴，故选项C错误．
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，函数值最大为，
∴当时，，
∴，∴，故选项D正确．故选D．
7．
【分析】将代入原方程，解得m．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义．
8．
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可，
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴没有实数根，∴，．
故答案为：．
9．
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握，．
10．/
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标，求出二次函数解析式，再根据把代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
则通过画图可得知O为原点，由题意可得：米，C坐标为，
通过以上条件可设顶点式，把点A点坐标代入得，
∴，∴，
∴抛物线解析式为：．
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得，
∴水面下降米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
11．＜
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，∴开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∵，∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
12．或5
【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值0，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为4可分如下两种情况：
①若，时，y取得最小值4；
②若，当时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可．
【详解】∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴①若，时，y取得最小值4．
可得：，解得：或（舍）；
②若，当时，y取得最小值4．
可得：，解得：或（舍）；
③若时，当时，y取得最小值为0，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为或5．
故答案为：或5．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
13．，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，，
或，，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
14．（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染．
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x；
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
，或（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
15．
【分析】利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不等实数根，
∴此方程根的判别式，解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
16．（1），顶点坐标为；
（2）
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得时x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为．
（2）当时，，∴，
解得：，，
如图，当时，∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接线段CE、DF，并延长CE、DF交于点N，连接CF、DE相较于点O．作过点O和点N的直线即可；
（2）连接CF、OD交于点P，分别与抛物线交于点M和点H，连接CM、DH并延长CM和DH相交于点N，连接PN与抛物线的交点G即为顶点．
【详解】解：（1）连接线段CE、DF，并延长CE、DF交于点N，连接CF、DE相较于点O，作过点O和点N的直线．
（2）连接CF、OD交于点P，分别与抛物线交于点M和点H，连接CM、DH并延长CM和DH相交于点N，连接PN与抛物线的交点G即为顶点．
【点睛】本题主要考查的是作图，根据题目条件正确的作出符合要求的图是解题的关键．
18．（1）见解析；
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，结合已知条件可得，进而证明≌，即可证明．
【详解】解：证明：（1）如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，
∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴．
19．（1）见解析；（2）13．
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程．
（1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明；
（2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案．
【详解】（1)证明：由题意可得，，
∵，∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2)解：∵等腰三角形ABC的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根．
∴由两个相等的实数根，
∴，∴，∴，
∴原方程变形为：，解得：，
∴．
20．（1)
（2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：
（1)将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2)过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1)解：将，代入得，
，解得，
∴．
（2)解：对于，令，则，
解得，，．
∴，∴．
∵，∴．
过点P作轴于点E，如图，
设，且点P在第二象限，
∴，，
∴
∵，∴S有最大值，
∴当时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
21．（1)，
（2)
（3)的值为或．
【分析】（1)直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2)利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3)由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，．
（2)解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴．
（3)解：∵实数s，t满足，，
∴s，t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵，
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算，理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
22．任务1：；
任务2：；
任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，整理得：，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴．
（3）解：①∵点P在BC上运动时，，点P在AB上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设，是函数上的两点，
则，是函数上的两点，
∴，，∴，
∵存在3个时刻，，对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴可以看作，，，∴．
故答案为：4．
②由（3）①可得，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1
正
1
探究任务
任务1
探究变量关系
求x、y之间的数量关系
任务2
建立数学模型
求该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
A
D
B
D