专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

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一．方法综述      数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一  数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.【举一反三】1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（   ）4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 …A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，和为，设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为，故选C.2.【2019年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形，从而研究“多边形数”．如图甲的三角形数1，3，6，10，15，…，第个三角形数为．又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，…，第个四边形数为．以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为________________．【答案】【解析】由图可知，从第个三角形数为，第个四边形数为发现规律，归纳出第n个五边形数为1+4+7+…+（3n﹣2）＝．故答案为：．类型二  点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形.则数列的通项公式为____________.【答案】【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列，，，…，，…，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，…，连接的直线与轴交于点，….则数列的通项公式为___________.【答案】 【解析】直线的斜率为，所以，.类型三  函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.【答案】【解析】易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此类推：.故 .【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为（    ）．A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】∵是奇函数，∴，令， ，令， ，∴，∴，学科&网令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故选 类型四  由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（     ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得 即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【举一反三】定义运算：，若数列满足且()，则数列的通项公式＝________.【答案】4n－2【解析】由题意可得，，以，，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以.类型五  两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】设数列满足，且对任意的，满足， ,则_________【答案】【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.【举一反三】已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足 ， ，则__________．【答案】类型六  下标为形式的数列通项公式问题【例6】已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则__________．【答案】【解析】， ，因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以．【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解．【举一反三】一、选择题1.【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（   ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.2.等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式____________.【答案】三．强化训练1．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，可得，又因为函数是定义在上的单调函数，所以，故，两式作差得，当时，求得，故，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而．故选：A． 2．【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵＝2，绝对公和d＝3，∴＝﹣1或＝1（舍），∴＝﹣2或＝2（舍），∴＝﹣1或＝1（舍），…∴满足条件的数列{}的通项公式，∴所求值为+（+）+（+）+…+（+）＝2+（﹣1﹣2）＝﹣3025，故选：C．3.【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得， 则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.4．【福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟】已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；∴{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，∴Sn+2＝（+2）•2n﹣1，则Sn＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设 ，，所以 .所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B5．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.所以f（0）＝1．取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在R上单调递减．∵数列{}满足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．∴0，∵a1＝f（0）＝1，∴，＝﹣2，＝1，，……．∴＝．∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．∴f（）＞f（）．而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），因此只有：C正确．故选：C．6.【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为 （  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.7．【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合】记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，令（其中为非零常数），整理得：，要使得它对任意的恒成立，则：，解得：，这与为等比数列矛盾.所以，令（其中为非零常数），则，整理得：，要使得它对任意的恒成立，则，整理得：，令，则，解得：，这与为等比数列矛盾.令，则，整理得：，此方程无解.令，则，整理得：，记，，，所以在上必有一零点.即至少有一个实根.令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾.故选：C.8.【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B 二、填空题9.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．【答案】 10.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.【答案】【解析】设，双曲线的渐近线为，互相垂直.点在两条渐近线上的射影为，则易知为直角三角形，即为等差数列，其前2019项的和为11.已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式为_____________.【答案】【解析】数列的前项和为，且当n≥2时，，①则有，②②-①得： ，整理得（n≥2），则当n≥3时有，解得（n≥3）,检验：当n=2时，满足上式，当n=1时，不满足上式，则，故答案为：12．【湖南省衡阳市2019届高三联考（二)】已知数列，，为数列的前项的和，且对任意，都有，则的通项公式为_____．【答案】【解析】当时，由 .又，∴是以为首项，为公差的等差数列.∴，∴，当时，∴，所以.故答案为：13.【山东省济宁市2019届高三一模】将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第行的第个数为，如，若，则_______．【答案】44【解析】由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，令数列为数列，则有，2019是数列的第673项，再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有个数；前3列共有个数；前4列共有个数；；前36列共有个数；前37列共有个数；所以2019是第37列第7个数，故.14.【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】由题意知，则，，故，，故 ，.故答案为15．【广东省揭阳市2019届高三一模】如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为,则__________. 【答案】【解析】因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.16．【安徽省宣城市2019届高三八校联考】已知数列的各项都是正数，其前项和满足，，则数列的通项公式为_______．【答案】【解析】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，，所以当时，，；当时，，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，，因此,又也满足，所以，.故答案为