高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题8.4直线、平面平行的判定及性质专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题8.4直线、平面平行的判定及性质专题练习（学生版+解析），共36页。试卷主要包含了【多选题】等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·山西高一期末）对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤B．②④⑤C．②③④D．②③④⑤
2．（2021·江苏高一期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．（2020·湖北开学考试）已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．与不相交
4．（2021·济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则
A．B．C．D．以上均有可能
5．【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.
B．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.
C．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线都平行.
D．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面，则.
6．【多选题】（2021·广东湛江二十一中高一期中）已知，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，n，
7．【多选题】（2020·佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两个平面互相平行
C．若是两个平面，∥∥，则∥
D．若三棱锥中，，则点在平面内的射影是的垂心
8．（2021·大连市第一中学高一月考）已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：
①；②若，，则；
③，，则；④直线，直线，那么；
⑤若，，，则；⑥若，，则．
其中正确的说法为______（填序号）
9．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
10.（2020·佛山市第四中学高二月考）如图在正方体 中，分别是的中点，求证
（1）∥平面；
（2）平面∥平面.
练提升TIDHNEG
1.（2020·全国月考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2021·山东高一期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·江苏南京一中高一月考）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点､使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积不为定值
4．（2021·江西省分宜中学高二月考（理））点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
5．【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·珠海市第二中学高一期中）已知正方体中的棱长为2，是中点．
（1）求证：平面平面；
（2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积．
7．（2021·福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点为线段上的动点，且.
（1）是否存在使得平面，若存在，求出的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；
（2）画出平面截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.
8．（2021·山东高一期末）如图，点是正方形两对角线的交点，平面，平面，，是线段上一点，且．
（1）证明：三棱锥是正三棱锥；
（2）试问在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
9．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
10．（2021·陕西高二期末（文））如图，正三棱柱中，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．
练真题TIDHNEG
1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
2.（2018·浙江高考真题）已知直线和平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A.B.
C.D.
5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
6.（2017·全国高考真题（文））四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质
练基础
1．（2021·山西高一期末）对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤B．②④⑤C．②③④D．②③④⑤
【答案】D
【解析】
根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.
【详解】
解：因为，，根据空间中直线平行的传递性，得，故①正确；
因为，，所以直线平行，异面，相交均有可能，故②错误；
若，，则或，故③错误；
若，，则平面平行或相交，故④错误；
若，，则或，故⑤错误.
所以错误的命题是②③④⑤.
故选：D.
2．（2021·江苏高一期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【解析】
利用线面平行的性质定理可以得到判定A错误的例子；利用面面垂直的性质定理可举出B错误的例子；利用线面平行的判定定理可以举出C错误的例子；利用线面垂直的性质定理可知D正确.
【详解】
若，，则n可能在α内，只要过m作平面β与α相交，交线即可作为直线n,故A错误；
若，，则m可能在α内，只要m在α内垂直于两平面α，β的交线即有m⊥β，故B错误；
若，，则α，β可能相交，只要m不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C错误；
若，，根据线面垂直的性质定理可知，故D正确；
故选：D.
3．（2020·湖北开学考试）已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．与不相交
【答案】C
【解析】
根据面面平行的的定义和性质知: 平面平面，直线，直线，则， ， 与不相交，
故选:C.
4．（2021·济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则
A．B．C．D．以上均有可能
【答案】B
【解析】
四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．
故选：．
5．【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.
B．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.
C．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线都平行.
D．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面，则.
【答案】AD
【解析】
对A，利用反证法判断即可；对B，根据线面位置关系判断即可；对C，若点在其中一条直线上，此时作不出一个平面；对D，利用线面平行的性质定理及面面平行的判定定理判断即可.
【详解】
对A，记，与相交.
假设另一直线与这个平面不相交，在平面内作直线，则，但与相交，故与不平行，这与矛盾，故A正确；
对B，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B错误；
对C，当点在两条异面直线中的一条上时，没有平面与异面直线都平行，故C错误；
对D，若，，，，如图
过作平面分别交,于，过作平面分别交,于，
根据线面平行的性质定理可得，，，，所以，，
由面面平行的判定定理可得，故D正确.
故选：AD
6．【多选题】（2021·广东湛江二十一中高一期中）已知，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，n，
【答案】AD
【解析】
对于A：直接根据平行的传递性，可以判断；
对于B：由，，则m、n可以平行，相交，也会是异面直线即可判断；
对于C：由，，则即可判断；
对于D：根据线面平行的判定定理可以判断.
【详解】
对于A：因为，由平行的传递性，可以得到.故A正确；
对于B：，，则m、n可以平行，相交，也会是异面直线.故B错误；
对于C：，，则.故C错误；
对于D：，n，，根据线面平行的判定定理可以得到.故D正确.
故选：AD.
7．【多选题】（2020·佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两个平面互相平行
C．若是两个平面，∥∥，则∥
D．若三棱锥中，，则点在平面内的射影是的垂心
【答案】AD
【解析】
由平行公理判断A；由面面垂直判断B；举特例判断C；由逻辑推理可判断D.
【详解】
对于选项A：由平行公理可知A正确；
对于选项B：垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误；
对于选项C：反例如图，故C错误；
对于选项D：设点在平面内的射影是，连接，则平面，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以. 同理可证，所以点是的垂心. 故D正确.
故选：AD.
8．（2021·大连市第一中学高一月考）已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：
①；②若，，则；
③，，则；④直线，直线，那么；
⑤若，，，则；⑥若，，则．
其中正确的说法为______（填序号）
【答案】①⑥
【解析】
利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.
【详解】
解：对于①，根据平行的性质有：，即，故①正确；
对于②，由得或相交，故②错误；
对于③，由得，或异面，故③错误；
对于④，由直线，直线，可得，异面，相交，故④错误；
对于⑤，由，得或相交，故⑤错误；
对于⑥，若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，
故答案为：①⑥.
9．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由于G、H分别为PB、PC的中点，所以由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积
【详解】
解：（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面ABC.
（2）设BC中点为D，连接PD，
因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形，
所以，
在Rt中
又 ，PB=5 ，PD=，
所以正三棱锥侧面积为，底面积为，
所以正三棱锥P-ABC的表面积为
10.（2020·佛山市第四中学高二月考）如图在正方体 中，分别是的中点，求证
（1）∥平面；
（2）平面∥平面.
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
（1）证得，进而由线面平行的判定定理可证得结果；
（2）由（1）可知，只需证明平面，进而由面面平行的判定定理可证得结果.
【详解】
（1）连接，依题意知，，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）连接，依题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知平面，且，故平面平面.
练提升TIDHNEG
1.（2020·全国月考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
充分性：已知，，由于，，若，则与不一定平行，充分性不成立；
必要性：已知，，若，由面面平行的性质可得，，必要性成立.
因此，“，”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2021·山东高一期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题意知面在正方体上的截面为且为中点，根据正方体、线面平行的性质，有在上，即与平面所成角为，进而可求其正切值的范围.
【详解】
由题意，如上图示，面在正方体上的截面为且为中点，
∵平面，而面面，
∴面，又为底面上一动点，则在上，
∴与平面所成角为，
当与重合时，最小，此时，
当与重合时，最大，此时；
∴.
故选：B
3．（2021·江苏南京一中高一月考）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点､使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积不为定值
【答案】B
【解析】
利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.
【详解】
线段上不存在点､使得，
因为在平面平面外，在平面内，
所以，是异面直线，所以A不正确；
连接，几何体是正方体，所以，平面，平面，可知平面，所以B正确.
到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，
则到的距离大于1，
∴的面积大于的面积，故C错误；
到平面的距离为，的面积为定值，
∴三棱锥的体积为定值，故D不正确.
故选：B.
4．（2021·江西省分宜中学高二月考（理））点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，分别取的中点，连接，则可证得平面‖平面，从而可得点在上，从而可求出的长度范围
【详解】
解：如图，分别取的中点，连接，，
则‖，
因为是的中点，所以‖，
所以‖，
因为平面，平面，
所以‖平面，
因为是的中点，是的中点，
所以‖，，
因为‖，，
所以‖，，
所以四边形为平行四边形，所以‖，，
因为平面，平面，
所以‖平面，
因为，所以平面‖平面，
因为平面平面，
所以点在上运动，使面，
因为的棱长为2，
所以
所以当点与或重合时，最长，当点在的中点时，最短，
的最小值为，
所以的长度范围是，
故选：B

5．【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
对于A通过线面平行判定定理即可判断；对于B找到与平面内某一直线相交即可；对于C找到平行线与平面内某一直线相交即可；对于D通过线面平行判定定理即可判断.
【详解】
对于A，如下图所示，根据正方体性质易证得,又因为平面，平面,所以平面.故A正确；
对于B，如下图所示，在平面内，与相交，又因为平面，平面,所以与平面相交，故B错误；
对于C，如下图所示，易证,由于与平面相交，则与面相交.故C错误；
对于D，如下图所示，由正方体性质易证得，由中位线定理知，所以,又因为平面，平面,所以平面.故D正确.
故选:AD
6．（2021·珠海市第二中学高一期中）已知正方体中的棱长为2，是中点．
（1）求证：平面平面；
（2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）连接，，若，连接，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得平面、平面，根据面面平行的判定即可证平面平面；
（2）连接，，设平面与平面交于，根据面面平行的性质可得四边形为平行四边形，结合正方体的性质易知四边形为菱形，再求出对角线、，即可求截面的面积.
【详解】
（1）如图，连接，，若，连接，
由，，可得四边形为平行四边形，
∴，又，
∴四边形为平行四边形，即，而平面，平面，
平面，
同理，是平行四边形，即，而平面，平面，
∴平面，而，
∴平面平面.
（2）连接，，平面与平面交于，
由平面平面，且平面平面，平面平面，
，同理有，即四边形为平行四边形，
在与中，易知，即四边形为菱形，故为的中点．
∵正方体的棱长为2，
，．
∴截面面积．
7．（2021·福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点为线段上的动点，且.
（1）是否存在使得平面，若存在，求出的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；
（2）画出平面截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.
【答案】（1）存在，，证明见解析；（2）画图见解析；.
【解析】
（1）取中点，由面面平行的判定定理即可证明平面平面，即可得到平面时的值.
（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.
【详解】
解：（1）当时，平面.
取中点，连接，，，则，，
如图所示：
故，
又平面，平面，
平面，
同理，平面，
又，平面，
故平面平面，
平面，
平面；
（2）平面截正方体的截面为正六边形，
如图所示：
又正方体的棱长为2，
故正六边形边长为，
截面面积为：.
8．（2021·山东高一期末）如图，点是正方形两对角线的交点，平面，平面，，是线段上一点，且．
（1）证明：三棱锥是正三棱锥；
（2）试问在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
（1）根据正三棱锥的定义即可证明；
（2）利用反证法，由平面，假设存在这样的点，使得平面，推出平面平面，与平面和平面是相交平面矛盾，即可求解.
【详解】
解：（1）证明：设，
则
∴是正三角形，
如图所示：连接，，
，
∴，，，
在中，由知：．
又平面，
，
∵，，
∴平面，
∴．
又平面，，
∴平面，
在线段上取点，使得，
则点是的重心，也就是的中心，
连接，则，
∴平面，
∴三棱锥是正三棱锥；
（2）∵平面与平面有公共点，
故平面与平面是相交平面，
∵，平面，平面，
∴平面，
假设存在这样的点，使得平面，
∵点与点不重合，
∴与是相交直线，
又平面，平面，且平面，平面，
∴平面平面，
这与平面和平面是相交平面矛盾，
∴不存在一点，使得平面．
9．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.
∵为的中点，∴.
∵，平面，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
又平面，，
∴平面平面.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.
∵平面平面，平面，∴平面.
又，，∴.
在中，∵，，∴.
∵，分别为，的中点，
∴的面积，
∴三棱锥的体积.
10．（2021·陕西高二期末（文））如图，正三棱柱中，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）本题可连接与交于点，连接、，然后根据三角形的中位线法则得出，，根据是中点得出，，即可得出，最后通过线面平行的判定即可得出结果；
（2）本题可作，通过线面垂直以及面面垂直的判定得出平面平面，然后根据面面垂直的性质得出平面，则长即点到平面的距离，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】
（1）如图，连接与交于点，连接、，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以四边形是矩形，是中点，
因为是的中点，所以，，
因为是中点，所以，，
故，，四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）如图，作，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以底面三角形是等边三角形，侧棱垂直于底面，
易知，，
因为，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面，长即点到平面的距离，
，，则，，
根据等面积法易知，，解得，
故点到平面的距离为.
练真题TIDHNEG
1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
2.（2018·浙江高考真题）已知直线和平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.
【详解】
直线和平面，，若，
当时，显然不成立，故充分性不成立；
当时，如图所示，显然不成立，故必要性也不成立．
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D
3.（北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
4.（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A不满足题意；
对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，满足题意.
故答案为：D
5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）在菱形中，为中点，所以，
根据题意有，，
因为棱柱为直棱柱，所以有平面，
所以，所以，
设点C到平面的距离为，
根据题意有，则有，
解得，
所以点C到平面的距离为.
6.（2017·全国高考真题（文））四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（1） 在平面内，因为,所以
又平面平面故平面
（2）取的中点，连接
由及
得四边形为正方形，则.
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，
所以底面
因为底面，所以,
设，则，取的中点，连接，则,所以，
因为的面积为，所以，
解得（舍去），
于是
所以四棱锥的体积