新高考数学一轮复习讲练测专题8.4直线、平面平行的判定及性质（讲）（含解析）

专题8.4   直线、平面平行的判定及性质

【知识清单】

知识点1．直线与平面平行的判定与性质

知识点2．面面平行的判定与性质

知识点3．线面、面面平行的综合应用

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．

2．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α；

(3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β.

3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l.

4．两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；

(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.

5．两个平面平行的性质定理

(1)α∥β，aα⇒a∥β；

(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.

6．与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

【考点分类剖析】

考点一 ：直线与平面平行的判定与性质

【典例1】（2021·江苏省镇江中学高一月考）“直线与平面无公共点”是“直线在平面外”的________条件（.从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）

【答案】充分不必要

【解析】

根据线面间得位置关系及充分性和必要性得定义即可得解.

【详解】

解：因为直线与平面无公共点，则直线在平面外，所以充分性成立，

又因直线在平面外，则直线与平面相交或平行，即直线与平面有一个公共点或无公共点，所以必要性不成立，

所以“直线与平面无公共点”是“直线在平面外”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【典例2】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，已知四棱锥，底面四边形为菱形，，．分别是线段．的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）解：连接交于点，∵分别是线段的中点,

∴．

∵平面，平面

∴平面．

（2）解：由（1）知，就是异面直线

与所成的角或其补角．

∵四边形为菱形，，，

∴在△中，，，∴，

∴异面直线与所成的角为．

【规律方法】

判断或证明线面平行的常用方法：

利用线面平行的定义，一般用反证法；

利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)

利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 

【变式探究】

1．（2021·河北安平中学高一月考）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ）

A．截面的面积是

B．点和点到平面的距离不相等

C．若平面，则点的轨迹的长度是

D．若平面，则点的轨迹的长度是

【答案】ACD

【解析】

取中点为，截面为等腰梯形，求其面积即可；平面过线段的中点，即可作出判断；过点分别做与平面，平面平行的平面，从而明确点的轨迹，得到长度.

【详解】

取中点为，易得，即截面为等腰梯形，

又

∴截面的面积是，故A正确；

连接，与交于点，则点为的中点，

而平面过线段的中点，

∴点和点到平面的距离相等，故B错误；

取的中点为，取的中点为，连接，

易得平面平面，即点的轨迹为，且，故C正确；

同样易知平面平面，即点的轨迹为，且，故D正确；

故选：ACD

2．（2019·江西高考模拟（文））已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明

（2）求点到平面的距离

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG，HG为所求直线，

证明如下：因为BC和BD的中点H、G，所以,

又平面平面，且平面BCD

又平面平面. ,得，

所以 ，即

所以，所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行.

由（1）可得，即平面ABC

所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，记为

三角形ABC的面积

而三角形ACE的面积

用等体积法可得：

【特别提醒】

解决有关线面平行的基本问题的注意事项：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.

考点二  平面与平面平行的判定与性质

【典例3】（2021·长春市第二十九中学高一期中）如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，的中点.

（1）求证：平面ABC；

（2）求证：平面平面BCHG.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先根据三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定证明面即可.

（2）首先根据题意易证，，从而得到平面，平面，再利用面面平行的判定证明平面平面即可.

【详解】

（1）在三棱柱中，

因为，分别是，的中点， 

所以，

又因为，所以.

因为平面，平面，

所以面；

（2）因为，分别是，的中点，所以.

又因为在三棱柱中，为的中点，

所以，，即四边形为平行四边形.

所以.

因为，平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，且，

所以平面平面.

【典例4】（2021·江苏省镇江中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面是正三角形，平面，已知，侧棱长为，是的中点，、、分别是，，的中点.

（1）求与所成角的大小；

（2）求证：平面平面

【答案】（1）； （2）证明见解析.

【解析】

（1）连接，证得，把异面直线与所成角转化为直线与所成的角，在直角中，即可求解；

（2）由（1）知，证得平面，再由是的中点，得到，证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面.

【详解】

（1）连接，因为分别是的中点，所以，

所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，

在直角中，由，可得,

所以.

（2）由（1）知，平面平面ABB1A1，所以平面，

因为是的中点，所以，

因为平面，且平面，所以平面，

又因为，且平面，

所以平面平面.

【规律方法】

判定面面平行的常用方法：

(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；

(2)面面平行的判定定理；

(3)垂直于同一条直线的两平面平行；

(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.

【变式探究】

1. （2020·安徽省太和第一中学高二开学考试）已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（    ）

A．，

B．，，，

C．，，

D．，，，，

【答案】D

【解析】

由题意得，对于A中，，与可能相交，所以A是错误的；

对于B中，，，，，如果，，可能相交，故是错误的；

对于C中，，，与可能相交，所以C错误的；对于D中，，，，，满足面面平行的判定定理，所以，故D正确的，

故选：D.

2. （2020·赣州市赣县第三中学月考（文））如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．

求证：平面平面BEF；

若平面，求证：H为BC的中点．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

如图，

，F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

又，

平面平面BEF；

平面平面，平面平面，

平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，

则，得，

为AB的中点，为BC的中点．

【总结提升】

证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；

④借助“传递性”来完成．

面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．

考点三  线面、面面平行的综合应用

【典例5】（2020·全国高三其他（文））如图，在正方体中，、、、分别是、、、的中点，则下列说法：

①平面；②；③；④平面，

其中正确的命题序号是________.

【答案】①②③④

【解析】

分析:①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行；

②利用线面垂直，证明线线垂直；

③构造平行四边形可证明线线平行；

④构造平面，通过线线平行可证线面平行.

详解:

在正方体中，、、、分别是、、、的中点，

①如图,设中点为，连接，，，，，，

则有，

∴四边形为平行四边形，

同理四边形为平行四边形，

∴，，

∴

且平面，平面，

∴平面，

故命题①正确；

②如图，连接，，，，

则有平面，，

且平面，

∴，

∴，

故命题②正确；

③如图，连接，，，，，，

则有，，，，，，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

故命题③正确；

④如图，设中点为连接，，，，，，，

由③得，

∵，，

∴四边形为平行四边形，

同理四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

且平面，平面，

∴平面，

即平面，

故命题④正确.

故答案为：①②③④.

【典例6】（2019·兴仁市凤凰中学期末）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：

（1）直线平面；

（2）平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图，

连接，分别是的中点，.

又平面，平面，

所以直线平面.

（2）连接，分别是的中点，.

又平面,平面，平面.

又平面，平面，，

∴平面平面.

【规律方法】

1.证明线面平行的常用方法与思路

(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．

(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

2.判定面面平行的四种方法

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．

3．面面平行的应用

(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．

4.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为

在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.

【变式探究】

1.（2021·浙江高一期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】C

【解析】

根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，若，，则或，所以A不正确；

对于B中，若，，，则与可能为相交平面，所以B不正确；

对于C中，假设，，

在平面内任取一定，分别作，

因为，根据面面垂直的性质定理，可得,

又由，所以，且，所以，所以C正确.

对于D中，若，，，，只有当与相交时，才能得到，所以D不正确.

故选：C.

2.【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）设，表示不同直线，，表示不同平面，以下推理不正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，，则

D．若，，，则或

【答案】ABC

【解析】

对于A,B,C举出反例即可；对于D根据线面平行和面面平行的判定定理和性质定理判断即可.

【详解】

对于A，若，，则或，故A不正确；

对于B，若，，则或与异面，故B不正确；

对于C，若，，，，则或与相交，故C不正确；

对于D，若，，则或.若，又因为，则或；若，则或.故D正确.

故选:ABC

【易错提醒】

1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.

3.解题中注意符号语言的规范应用.