【高一】四川省绵阳南山中学高2024级高一上学期10月月考数学

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故 A 正确；
对于 B，“有些”是存在量词，故 B 错误；
对于 C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故 C 正确，
对于 D，负数是没有算数平方根的，故 D 错误.
10. BD
【详解】对于 A，A = y|y ≥ 1 ,B = R, 则 A ≠ B，所以 A 选项错误；
对于 B，因为集合 x ∈ N 5
 x + 1 ∈ N
 
对于 C，因为集合 M = 1,m,m2 + 3 ，且 4∈ M ，所以 m = 4或 m2 + 3= 4.当 m2 + 3= 4时，
解得：m = 1或 m =-1.而 m = 1，不符合元素的互异性，故 m = 4或 m =-1, 所以 C 选项错误.
对于 D，集合 A 是由奇数组成的集合，集合 B 是由被 4除余 1的整数组成的集合，则 B ⊆ A, 所
以 D 选项正确.
11. BCD
【详解】对于选项 A，由 a + b + 8= ab ≤ a + b
，当且仅当 a = b 时等号成立，不妨设 a + b =
2
 
2
t，则得 t2 - 4t - 32≥ 0，解得 ：t ≥ 8或 t ≤-4，因 a,b > 0，则 a + b ≥ 8，故 A 项错误；
对于选项 B，由 ab - 8= a + b ≥ 2 ab ，当且仅当 a = b 时等号成立，不妨设 ab = s，
则 s2 - 2s - 8≥ 0，解得 ：s ≥ 4或 s ≤-2，因 s > 0，则 s ≥ 4，即 ab ≥ 16，故 B 项正确；
对于选项 C，由 ab = a + b + 8可得：a(b - 1) = b + 8，则 b > 1，且 a = b + 8
b - 1
，
则 a + 3b = b + 8
9 9
b - 1 + 3b = 1+ b - 1 + 3b = 4+ b - 1 + 3(b - 1) ≥ 4+ 2 27= 4+ 6 3， 当且仅当 9
b - 1 = 3(b - 1) 时取等号，即 b = 3+ 1,a = 3 3+ 1时，a + 3b 有最小值 4+ 6 3， 故 C 项正确；
对于选项 D，由 ab = a + b + 8可得：ab - a - b + 1= 9，即 (a - 1) (b - 1) = 9，且 a > 1,b > 1，
则 1 ，当且仅当 1
4 1 4 4 4 4
时等号成立，
a - 1 + b - 1 ≥ 2 a - 1 ⋅ b - 1 = 2 9 = a - 1 =
3 b - 1
1 a = 5
a - 1 =
4
  ，即当且仅当 a = 5 1 4 有最小值 4
b - 1 2
2 ,b = 7时，a - 1 +
b - 1 3
由 解得： ，故
 
ab = a + b + 8 b = 7
D 项正确.
12. - 3< a - b < 3
【详解】因为 -1< a < 4，1< b < 2，则 -2<-b <-1, 所以 a - b 的取值范围是 -3< a - b < 3.
13. 14
【详解】【详解】因为 x > 3，所以 x - 3> 0，
则 y = 2x + 8
8 8
x - 3 = 2x - 3 + x - 3 + 6≥ 2 2x - 3 ⋅ x - 3 + 6= 14，
当且仅当 2x - 3 = 8
x - 3
，即 x = 5时取等号，所以当 x = 5时，y 取最小值为 14.
14. {n 8 17 或 9
 5 ≤ n < 5 < n ≤ 2 
10
【详解】集合 M = {x m ≤ x ≤ m + 1
3
 ，N = {xn - 5 ≤ x ≤ n ，且 M ，N 都是集合 {x|1≤ x ≤
2
答案第 2页，共 4页2} 的子集，
n - 3
m ≥ 1
5 ≥ 1 由 ，由
 ，可得 1≤ m ≤ 3  ，可得 8
m + 1 5 ≤ n ≤ 2．
2 ≤ 2 2
 
n ≤ 2
若 m = 6 17
6
，M = x 5 ≤ x ≤


5 10
要使集合 M ∪ N 的“长度”大于 3 ，故 n - 3 或 n > 6
17 3 3 5 5
5 < 10 - 5 + 5 , 即 n < 17 或 9
或 n > 9 8 8 17
5 , 又 5 ≤ n ≤ 2，故 n 的取值范围是 {n 5 ≤ n < .
5 < n ≤ 2 10 10
15.【答案】(1)A ∪ B = {x| -1≤ x < 3}，∁RA ∩ B = {x|2< x < 3}；(2) m - 3

2 ≤ m <-1 

【详解】(1) (1) 因为 m = 1，所以 B = x|2< x < 3 ，
又 A = x| -1≤ x ≤ 2 ，所以 ∁RA = {x|x <-1或 x > 2}，
所以 A ∪ B = {x| -1≤ x < 3}，∁RA ∩ B = {x|2< x < 3}．
(2) 由 (1) 知 ∁RA = {x|x <-1或 x > 2}，又 B ∩ ∁RA 中只有一个整数，
由图知，B ≠ ∅，且 -3≤ 2m <-2，所以 m 的取值范围为：m - 3
 2 ≤ m <-1
 
16.【答案】(1):a a ≤ 1 ；(2)m m ≤-2 
【详解】(1) 因为命题 p 的否定是假命题，所以命题 p 是真命题，
即关于 x 的方程 x2 - 2ax + a2 + a - 1= 0有实数根，因此 Δ= 4a2 - 4(a2 + a - 1) ≥ 0，
解得 a ≤ 1，所以实数 a 的取值范围是 a a ≤ 1 .
(2) 由 (1) 知，命题 p 是真命题，即 p:a a ≤ 1 ，
因为命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，则 a|m - 1≤ a ≤ m + 3} ⊊ aa ≤ 1 ，
因此 m + 3≤ 1，解得 m ≤-2，所以实数 m 的取值范围是 m m ≤-2 .
17.【答案】(1)S = 40+ 2x + 4y(x > 0,y > 0)；
(2) 纸张的长和宽分别为 12，6时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
【详解】(1) 由题意，xy = 32，S = (x + 4) (y + 2) = xy + 2x + 4y + 8= 40+ 2x + 4y(x > 0,y >
0).
(2)S = 40+ 2x + 4y ≥ 40+ 2 8xy = 72，当且仅当 2x = 4y，即 x = 8,y = 4时等号成立，
(2) 若命题 p：“∀ x ∈ B，都有 x ∈ A”为真命题，则 B ⊆ A；
①当 B = ∅时，3m - 2≥ 2m + 2，即 m ≥ 4, 此时 B ⊆ A；
答案第 3页，共 4页所以纸张的长和宽分别为 12，6时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
18.【答案】(1) m - 5
7

2 < m <-1 
2 < m <-
 
 
【详解】(1) 若 A ∪ B = B，则 A ⊆ B，
又 A = x-5≤ x ≤-3 ，B = x3m - 2< x < 2m + 2 
1
3
所以
3m - 2<-5

 ，解得实数 m 的取值范围为：m -


 
2m + 2>-3
5
2 < m <-1
①当 B ≠ ∅时，需满足
3m - 2< 2m + 2
3m - 2≥-5


2m + 2≤-3
，此时无解；
所以实数 m 的取值范围为：mm ≥ 4 .
(3) 因为 A ∩ B ≠ ∅，
2m + 2>-3
-5≤ 3m - 2<-3 -5< 2m + 2≤-3   
所以  或  或
3m - 2<-5
，
 
 3m - 2< 2m + 2 3m - 2< 2m + 2
3m - 2< 2m + 2
解得 -1≤ m <- 1 或 - 5
或 - 7 5
3 2
2 < m ≤- 2 < m <-1， 所以实数 m 的取值范围为：m - 7
1
 2 < m <-
 
3
a2y2
19.【答案】(1)5+ 2 6；(2)a2 - b2 ≤ x - y 2，当且仅当 b
a2 b2
2x2
= 且 x，y 同号时等号成立；
(3)m = 13 时，M 取得最小值 6
．
6 3 【详解】(1) 因为 x > 0,y > 0,x + y = 1，
2y 2y 所以 2 3 2 3 3x 3x
x + y = (x + y)x + = 5+ y + x ≥ 5+ 2 y × x = 5+ 2 6，
y
2y
当且仅当 3x
y =
，即 x = 6- 2,y = 3- 6时取等号，所以 x + y 的最小值是 5+ 2 6．
x
y2 a2y2
(2))a2 - b2 = a2 - b2 × 1= a2 - b2  x 2 + y2 - b
2 2x2
- +
 = x
 ， a2 b2 a2 b2
2x2 2y2 2x2
a2y2 ⋅ a
≥ 2 b2x2
a2y2
又 b = 2xy ，当且仅当 b
+ =
时等号成立，
a2 b2 a2 b2 a2 b2
a2y2
所以 x2 + y2 - b
2x2
 + ≤ x2 + y2 - 2xy ≤ x2 + y2 - 2xy = x - y 2，
a2 b2
所以 a2 - b2 ≤ x - y 2，
x2 - y2 = 3m - 5 - m - 2 = 2m - 3> 0，
y2
又 x > 0,y > 0，所以 x > y，构造 x
a2 b2
2
- = 1，
y2
由 x2 - 3y2 = 1，可得 x = 1，因此 a2 = 1,b2 = 1
1 -
2
，
1 3 3
由 (2) 知 M = 3m - 5- m - 2= x - y ≥ a2 - b2 = 1- 1
6
，
3 =
3
取等号时 ，1
3 x
2 = 3y2 且 x,y 同正，
结合 x2 - 3y2 = 1，解得 x = 6 6 ，即 3m - 5= 6 ，m = 13
2 ,y =
6 2 6
．
所以 m = 13 时，M 取得最小值 6
．
6 3
答案第 4页，共 4页a2y2
当且仅当 b 且 x，y 同号时等号成立.此时 x，y 满足 x
2x2
=
2
a2 b2 a2
(3) 令 x = 3m - 5，y = m - 2，由 3m - 5≥ 0

 得 m ≥ 2，

m - 2≥ 0
-
y2
b2
= 1；