期中真题必刷基础100题（50个考点专练）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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1.（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点1,0和2,3，则该直线的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】B
【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为一条直线经过两点1,0，2,3，
所以该直线的斜率为3−02−1=3，
则有该直线的倾斜角满足tanα=3，因为α∈[0,π)，
所以α=π3，
故选：B
2.（23-24高二上·四川成都·期中）过两点A3,y,B2，0的直线的倾斜角为120∘，则y= ．
【答案】−3
【分析】根据倾斜角求出斜率，再用两点坐标表示斜率即可求出y的值.
【详解】由过两点A3,y,B2，0的直线的倾斜角为120∘，
知其斜率为tan120∘=−3=y−03−2⇒y=−3.
故答案为：−3
直线的斜率（共2个小题）
3.（23-24高二上·浙江温州·期中）若直线y=2x+3的倾斜角为α，直线y=kx−5的倾斜角为2α，则k=（ ）
A．43B．34C．−43D．−34
【答案】C
【分析】由已知直线斜率可以求得tanα=2，再根据二倍角公式可以求得.
【详解】由直线y=2x+3可知，tanα=2，tan2α=2tanα1−tanα2=41−4=−43，
则k=−43.
故选：C
4.（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知点A−1,2，B2,−2，C0,3，若点Ma,b是线段AB上的一点a≠0，则直线CM的斜率的取值范围是（ ）
A．−52,1B．−52,0∪0,1
C．−1,52D．−∞,−52∪1,+∞
【答案】D
【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
【详解】由斜率公式可得kAC=2−3−1−0=1，得kBC=−2−32−0=−52，
由图像可知，
当M介于AD之间时，直线斜率的取值范围为1,+∞，
当M介于BD之间时，直线斜率的取值范围为−∞,−52 ，
所以直线CM的斜率的取值范围为−∞,−52∪1,+∞，
故选：D
倾斜角与斜率的关系（共个小题）
5.（20-21高二上·河北张家口·期中）设直线l的斜率为k，且−1≤k0，−b>0，由l2的图象可知，b0，
可能成立，B正确；
选项C，由l1的图象可知，a0，由l2的图象可知，b0，
不成立，C错误；
选项D，由l1的图象可知，a>0，−b>0，由l2的图象可知，b>0，a>0，
不成立，D错误.
故选：B.
12.（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线l1:y=ax+b与l2:y=bx−a大致位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距，从而得以判断.
【详解】因为l1:y=ax+b，l2:y=bx−a，
对于A，由图可得直线l1的斜率a0，在y轴上的截距b0，即a0，在y轴上的截距b>0；
而l2的斜率b0的距离为3，则a=（ ）
A．2B．3C．32D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离求解.
【详解】由点到直线距离公式知，d=|4+9+a|42+32=|13+a|5=13+a5=3(a>0），
解得a=2，
故选：A
22.（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知A−1,−2，B2,4两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值可能为（ ）
A．−4B．3C．−2D．1
【答案】AC
【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.
【详解】因为A−1,−2，B2,4两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上，
当AB所在的直线平行于直线l时，因为kAB=4+22+1=2，所以直线l的斜率−a=2，所以a=−2；
当AB的中点−1+22,−2+42在直线l上时， a×12+1+1=0，解得a=−4，
故选：AC.
平行线间的距离（共2个小题）
23.（23-24高二下·上海·期中）设a∈R，若直线2x+y−3=0与直线2x+y+a=0之间的距离为5，则a的值为 ．
【答案】2或−8
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由题意可得d=a+322+12=5，解得a=2或a=−8，
故答案为：2或−8
24.（23-24高二下·浙江·期中）若直线x−y=1与直线m+3x+my−8=0平行，则m= ，它们之间的距离为 .
【答案】 −32 1326
【分析】根据两直线平行的条件，求出m的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线x−y=1与直线m+3x+my−8=0平行，
所以m+31=m−1≠−8−1，解得m=−32，
所以直线m+3x+my−8=0的方程可化简3x−3y−16=0，
而直线x−y=1，即直线3x−3y−3=0，
∴它们之间的距离为−16+332+32=1326，
故答案为：−32；1326.
将军饮马问题（共2个小题）
25.（23-24高二上·河南新乡·期中）5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为（ ）
A．1955B．3C．2055D．22
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和的最小值，可求出点B−2,0关于直线y=2x的对称点为C65,−85，可得答案.
【详解】因为5x2−4x+1+5x2+4x+4=x2+2x−12+x+22+2x2
表示直线y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和．
设点B−2,0关于直线y=2x的对称点为Cx,y，所以y−0x+2⋅2=−1y2=2⋅x−22，解得x=65y=−85，
即C65,−85，所以PA+PB=PA+PC ≥AC=0−652+1+852=2055，
即5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为2055.
故选：C.
26.（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+x2−2x+5最小（ ）
A．5B．10C．1+5D．2+2
【答案】B
【分析】将已知变形设出P0,1，Q1,2，则x2+1+x2−2x+5为点Sx,0分别到点P0,1，Q1,2的距离之和，则PS+QS≥P'Q，即可根据两点间距离计算得出答案.
【详解】x2+1+x2−2x+5，
=x−02+0−12+x−12+0−22，
设P0,1，Q1,2，Sx,0，
则x2+1+x2−2x+5为点Sx,0分别到点P0,1，Q1,2的距离之和，
点P关于x轴的对称点的坐标为P'0,−1，
连接P'Q，
则PS+QS≥P'Q=1−02+2−−12=10，
当且仅当P'，S，Q三点共线时取等号，
故选：B.
与直线有关的对称问题（共2个小题）
27.（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：l1:y=ax+3与l2关于直线y=x对称，l2与l3:x+2y−1=0平行，则a=（ ）
A．−12B．12C．−2D．2
【答案】C
【分析】点x,y关于直线y=x的对称点为y,x可得l2的方程，再根据l2,l3相互平行可得答案.
【详解】直线l1关于直线y=x对称的直线，即是交换x,y位置所得，
即l2:x=ay+3，l2,l3相互平行，l3:x+2y−1=0的斜率为−12，
故a=−2.
故选：C.
28.（22-23高二上·山东泰安·期中）已知点A与点B(1,2)关于直线x−y+3=0对称，则点A的坐标为（ ）
A．(−1,4)B．(4,5)C．(−5,−4)D．(−4,−3)
【答案】A
【分析】设Ax,y，根据点关于直线对称列式求解.
【详解】设Ax,y，则x+12−y+22+3=0y−2x−1×1=−1，解得x=−1y=4.
故选：A.
圆的标准方程（共2个小题）
29.（22-23高二上·云南昆明·期中）直线x4−y2=1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−2y=0B．x2+y2−4x+2y=0
C．x2+y2−4x+2y+1=0D．x2+y2−2x−4y=0
【答案】B
【分析】根据直线方程求出A、B点的坐标，从而求出AB的中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.
【详解】直线x4−y2=1，即x4+y−2=1，与x轴，y轴分别交于点A4,0、B0,−2，
则AB的中点为2,−1，且AB=42+22=25，
所以以线段AB为直径的圆的方程为x−22+y+12=5，即x2+y2−4x+2y=0.
故选：B
30.（23-24高二上·浙江杭州·期中）过A(6,0)和B(0,−8)两点的面积最小的圆的标准方程为（ ）
A．(x−3)2+(y+4)2=10B．(x+3)2+(y−4)2=100
C．(x−3)2+(y+4)2=25D．(x+3)2+(y−4)2=25
【答案】C
【分析】求出以AB为直径的圆的方程可得正确的选项.
【详解】
设过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的圆心为M，半径为R，
则2R=MA+MB≥AB=36+64=10，
故R≥5，当且仅当M为AB中点时等号成立，
故过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的面积最小时直径为AB，
此时圆的圆心为3,−4，故其标准方程为(x−3)2+(y+4)2=25，
故选：C.
圆的一般方程（共2个小题）
31.（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A1,3,B4,2,C3,−1．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求△ABC外接圆的方程．
【答案】(1)x+3y−10=0
(2)x2+y2−4x−2y=0
【分析】（1）先求kBC，再由斜率之积为−1求出k，再由点斜式写出直线方程；
（2）设出圆的一般方程，带入三点坐标，解出即可.
【详解】（1）因为kBC=−1−23−4=3，设BC边上的高所在直线的斜率为k，
则kBC⋅k=−1⇒k=−13，
因为点A1,3在高线上，
所以y−3=−13x−1，即x+3y−10=0
（2）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
则1+9+D+3E+F=016+4+4D+2E+F=09+1+3D−E+F=0，解得E=−2,D=−4,F=0，
故△ABC外接圆的方程为x2+y2−4x−2y=0
32.（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A0,4，B−3,−1，C−2,2．
(1)求AB边中线所在直线的方程；
(2)求△ABC外接圆的一般方程．
【答案】(1)x+y=0
(2)x2+y2−7x+3y−28=0
【分析】（1）先求出线段AB的中点坐标，然后利用两点式可求出AB边中线所在直线的方程；
（2）设△ABC的外接圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后解方程组可求得答案.
【详解】（1）因为A0,4，B−3,−1，
所以线段AB的中点坐标为−32,32，又因为C−2,2，
所以AB边中线所在直线的方程为y−22−32=x+2−2+32，即x+y=0；
（2）设△ABC的外接圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
16+4E+F=09+1−3D−E+F=04+4−2D+2E+F=0，解得D=−7E=3F=−28，
所以圆方程为x2+y2−7x+3y−28=0.
圆的一般方程成立的条件（共2个小题）
33.（23-24高二上·北京顺义·期中）若x2+y2+4x−2y−m=0表示圆的方程，则m的取值范围是（ ）
A．5,+∞B．−∞,5C．−∞,−5D．−5,+∞
【答案】D
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.
【详解】因为方程x2+y2+4x−2y−m=0表示一个圆，所以42+−22+4m>0，
解得m>−5，
所以m的取值范围是−5,+∞.
故选：D
34.（多选）（23-24高二上·河南信阳·期中）若方程x2+y2−2mx+m2−2m−1=0表示圆，则m的取值可以为（ ）
A．2B．0C．−12D．−2
【答案】AB
【分析】根据圆的标准式方程，即可列出不等关系求解.
【详解】将x2+y2−2mx+m2−2m−1=0配方，得x−m2+y2=2m+1，
方程表示圆的充要条件为2m+1>0，即m>−12，
故选：AB.
点与圆的位置关系（共2个小题）
35.（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线ax+by=1与O:x2+y2=1相离，则点Pa,b与圆O的位置关系为（ ）
A．点P在圆O内B．点P在圆O上
C．点P在圆O外D．无法确定
【答案】A
【分析】由题设及点线距离公式有1a2+b2>1，进而可得a2+b21，即a2+b22，所以点M在圆O外．
（2）由题意得M1,3，设直线l:y−3=kx−1，即kx−y−k+3=0．
因为AB=22，所以圆心O到l的距离为4−2=2，
则−k+3k2+1=2，得k=1或−7．
直线与圆的位置关系（共2个小题）
37.（23-24高二上·北京西城·期中）过点P−12,32的直线l与圆x2+y2=14有公共点，则直线l的倾斜角取值范围是（ ）
A．π2,5π6B．2π3,πC．π2,2π3D．5π6,π
【答案】A
【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，
当倾斜角为π2时，即直线l方程为x=−12，此时直线l与圆相切满足题意；
当斜率存在时，不妨设直线l方程为y=kx+12+32，
则圆心到其距离为d=12k+32k2+1≤12，解不等式得k≤−33，
所以直线l的倾斜角取值范围为π2,5π6
故选：A
38.（23-24高二下·上海·期中）已知△ABC的顶点坐标分别为A−3,0,B−1,−22,C3,0.圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l:k−3x+5−ky−2=0，求证：不论k为何值，直线l与圆M相交.
【答案】(1)x2+y2=9
(2)证明见解析
【分析】（1）设圆M的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；
（2）判断出直线l过定点，且定点在圆M内可得答案.
【详解】（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
因为A−3,0,B−1,−22,C3,0在圆上，
所以9+0−3D+0+F=01+8−D−22E+F=09+0+3D+0+F=0，解得D=0F=−9E=0，满足D2+E2−4F>0，
所以圆M的方程为x2+y2=9；
（2）直线l:kx−y+−3x+5y−2=0，对于k∈R，
可得x−y=0−3x+5y−2=0，解得x=y=1，所以直线l过定点1,1，
因为12+12r1+r2,a2+1>1+4⋅a2>24，又∵a>0,∴a>26．
故选：D
48.（23-24高二上·山东淄博·期中）圆C1:x2+y2−4x+2y+1=0与圆C2:x2+y2−2y−3=0的公切线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系与公切线的条数关系求解.
【详解】两圆的圆心分别为C1(2,−1),C2(0,1),
半径分别为r1=16+4−42=2,r2=0+4+122=2,
圆心距C1C2=22,所以r1−r20)的两个焦点，F1F2=2，M2,255为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且PF1⊥F1F2，求△F1PF2的面积.
【答案】(1)x25+y24=1
(2)455
【分析】
（1）根据条件先求解出c的值，然后根据椭圆定义求解出a的值，结合a2=b2+c2求解出b的值，则方程可求；
（2）根据PF1⊥F1F2先求解出P点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为F1F2=2，可得c=1，所以F1−1,0,F21,0，
则MF1=9+45=755，MF2=1+45=355，
由椭圆的定义可得a=MF1+MF22=755+3552=5，所以b=5−1=2，
故椭圆C的标准方程为x25+y24=1；
（2）因为PF1⊥F1F2，
所以xP=−c=−1，所以yP=±4−45=±455，
所以S△F1PF2=12×PF1×F1F2=12×455×2=455.

椭圆的离心率（共2个小题）
55.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，点A53,yA在C上，AF的中点为M,O为坐标原点，且AF=6，OM=2，则C的离心率为（ ）
A．55B．255C．35D．45
【答案】C
【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得a=5，再结合AF=6即可列方程求解.
【详解】
设C的右焦点为F'，因为OM=2，所以AF'=4，所以2a=10，所以a=5，
设Ax0,y0,F−c,0，
因为x0≥−a，所以cax0+a≥a−c>0，
所以AF=x0+c2+y02=x0+c2+b21−x02a2=cx0a2+2cx0+a2
=cax0+a=ex0+a=53e+5=6，解得e=35.
故选：C.
56.（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若△F1PF2是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．0,22C．22,1D．22,1
【答案】D
【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】

如图，因为△F1PF2是钝角三角形，所以∠OPF2∈π4,π2，
所以sin∠OPF2∈22,1，即ca∈22,1，
则椭圆C的离心率的取值范围是22,1，故A，B，C错误.
故选：D.
椭圆的几何性质（共2个小题）
57.（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆x29+y2=1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为(2,0)，则|PA|的最小值为
【答案】22/122
【分析】令P(x,y)且−3≤x≤3，应用两点距离公式及点在椭圆上得到|PA|关于x的函数，即可求最值.
【详解】令P(x,y)且−3≤x≤3，则|PA|=(x−2)2+y2，
而y2=1−x29，故|PA|=(x−2)2+1−x29=89(x−94)2+12，
所以，当x=94时，|PA|min=22.
故答案为：22
58.（22-23高二上·天津和平·期中）已知F1,F2是椭圆y29+x25=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1=F1F2，则点P到y轴的距离为 .
【答案】152
【分析】先由椭圆的定义得到PF1=F1F2=4,PF2=2，再由余弦定理与同角平方关系求得sin∠F1PF2=154，从而利用三角面积公式可求得x0=152，则可知点P到y轴的距离.
【详解】如图，由椭圆y29+x25=1可得a2=9,b2=5,c2=4 ,
所以PF1+PF2=2a=6,F1F2=2c=4, 则PF1=F1F2=4,PF2=2,
所以在△PF1F2中，cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=42+22−422×4×2=14，
因为cs2∠F1PF2+sin2∠F1PF2=1, 且sin∠F1PF2>0,所以sin∠F1PF2=154 ,
设P的坐标为x0,y0, 且S△F1PF2=12F1F2⋅x0=12PF2⋅F1Psin∠F1PF2，即12×4x0=12×2×4×154，解得x0=152，
所以点P到y轴的距离为152.
故答案为：152.

直线与椭圆的弦长问题（共2个小题）
59.（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在x轴上的椭圆E的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，坐标原点为O.O，F，A三点满足OF=23OA，且B为椭圆E与圆O：x2+y2=5的一个切点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设l为过F的直线，l与圆O交于P,Q两点，求PQ2的取值范围．
【答案】(1)x29+y25=1
(2)4,20
【分析】（1）由B为上顶点且为与圆O：x2+y2=5的切点，得出b2=5，再根据OF=23OA得出c=23a，进而得出a2=9，即可得出椭圆方程；
（2）分两种情况讨论，当l斜率存在时，设l：y=kx−2，由点到直线距离公式求得原点到直线PQ的距离，再根据勾股定理得出PQ2=4+16k2+1，进而得出范围；当l斜率不存在时，PQ2=4，即可求解．
【详解】（1）设E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），
因为B为上顶点且为与圆O：x2+y2=5的切点，所以b2=5，
令c=a2−b2，因为OF=23OA，所以c=23a，
所以a2=9，即E：x29+y25=1．
（2）因为c=2，所以F2,0，
1°当l斜率存在时，设l：y=kx−2，
所以O到l的距离d=2k1+k2，
则PQ2=45−d2=45+k21+k2=41+k2+4k2+1=4+16k2+1，
所以PQ2∈4,20，
2°当l斜率不存在时，d=2，PQ2=4，
综上，PQ2的取值范围为4,20．
60.（22-23高二上·北京·期中）设直线l与椭圆C:x24+y2b2=1相交于A，B两点，已知点A0,1.
(1)直接写出椭圆C的标准方程；
(2)设直线l的斜率存在，求弦长AB关于斜率k的表达式，并化简；
(3)若设点B的坐标为m,n，求弦长AB关于n的表达式，并化简；
(4)直接写出弦长AB的最大值.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)AB=8k21+k21+4k2
(3)AB=−3n2−2n+5
(4)433
【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案；
（3）由两点间距离公式，即可求得答案；
（4）结合二次函数性质，即得答案.
【详解】（1）由题意知A0,1在椭圆上，则b=1，故椭圆的标准方程为x24+y2=1；
（2）由于直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，联立x24+y2=1，
得1+4k2x2+8kx=0，解得两根，不妨设x1=0,x2=−8k1+4k2，
故AB=1+k2−8k1+4k2=8k21+k21+4k2；
（3）设点B的坐标为m,n，则m24+n2=1，则m2=41−n2，
则AB=m2+n−12=41−n2+n−12=−3n2−2n+5；
（4）由于AB=−3n2−2n+5，
当n=−13∈[−1,1]时，AB取得最大值为−3−132−2−13+5=433.
直线与椭圆面积问题（共2个小题）
61.（23-24高二下·安徽·期中）已知点P1,32是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若△PAB的面积为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线AQ，BQ与直线x=3分别交于M，N点，若△QMN与△QAB的面积之比为t，求t的最小值.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)54.
【分析】（1）由P1,32在椭圆上，△PAB的面积为3，求出a,b，得椭圆C的标准方程；
（2）由A(−2,0)，Q(xQ,yQ)，M(3,yM)三点共线，可得yM5=yQxQ+2，由B(2,0)，Q(xQ,yQ)，N(3,yN)三点共线，可得yN=yQxQ−2，故t=(xQ−3)24yQ2=(xQ−3)24−xQ2，通过换元利用二次函数的性质求最小值.
【详解】（1）因为P1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，1a2+34b2=1，
又△PAB的面积为12×2a×32=3，解得a=2，
代入1a2+34b2=1，解得b=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
（2）由A(−2,0)，Q(xQ,yQ)，M(3,yM)三点共线，可得yM5=yQxQ+2，故yM=5yQxQ+2，
同理，由B(2,0)，Q(xQ,yQ)，N(3,yN)三点共线，可得yN=yQxQ−2，
若△QMN与△QAB的面积分别为S1，S2，
则S1=12(yM−yN)⋅(3−xQ)=125yQxQ+2−yQxQ−2⋅(3−xQ)=2(xQ−3)yQxQ2−4⋅(3−xQ)=2(xQ−3)2yQ4−xQ2，
因为xQ2+4yQ2=4，所以4−xQ2=4yQ2，
所以S1=2(xQ−3)2yQ4−xQ2=2(xQ−3)2yQ4yQ2=(xQ−3)22yQ，又S2=12|AB|⋅yQ=2yQ，
故S1S2=(xQ−3)24yQ2=(xQ−3)24−xQ2，
因为xQ∈(0,2)，令3−xQ=m∈(1,3)，则xQ=3−m，
所以t=(xQ−3)24−xQ2=m2−m2+6m−5=1−5m2+6m−1，其中1m∈13,1，
函数y=−5n2+6n−1，n∈13,1，函数图象抛物线开口向下，对称轴为n=−62×(−5)=35，
则n=35时，y有最大值45，
即当1m=35时， t的最小值为54.
62.（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），经过点2,2，离心率为22，圆O以椭圆的短轴为直径.
(1)求椭圆E的标准方程和圆O的方程；
(2)设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线l1，l2，设直线l1与椭圆E的另一个交点为Q，直线l2交圆O于A，B两点，求△ABQ面积的最大值.
【答案】(1)椭圆方程为x28+y24=1，圆的方程为x2+y2=4
(2)433
【分析】（1）根据点在椭圆上，以及离心率公式即可列方程组求解，根据圆心和半径即可求解圆的方程，
（2）根据垂直关系可得两直线的方程，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得Q22k2−42k2+2,−42kk2+2，进而根据点到直线距离公式可得Q到直线AB的距离为d=42k1+k2k2+2，根据圆的弦长公式可得AB=24−4k21+k2，即可根据三角形面积公式得表达式为S△ABQ=821−k2k2k2+2，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由题意可得4a2+2b2=1e=ca=22a2=c2+b2，解得a=22,b=c=2，
所以椭圆方程为x28+y24=1，圆的方程为x2+y2=4
（2）P−22,0,
由题意可知直线l1，l2均有斜率，且不为0，
设直线AB方程为：y=kx+22，则PQ:y=−1kx+22，
联立y=−1kx+22x28+y24=1⇒k2+2x2+82x+16−8k2=0，
设Qx0,y0，则−22x0=16−8k2k2+2⇒x0=22k2−42k2+2，
进而可得y0=−1k22k2−42k2+2+22=−42kk2+2，故Q22k2−42k2+2,−42kk2+2,
则点Q到直线AB的距离为d=k22k2−42k2+2+22−−42kk2+21+k2=42k3+42kk2+21+k2=42kk2+1k2+21+k2=42k1+k2k2+2，
而AB=24−22k1+k22=24−4k21+k2，
故S△ABQ=12ABd=12×24−4k21+k2×42k1+k2k2+2=821−k2k2k2+2
令k2+2=t,t>2，则k2=t−2，
所以S△ABQ=82−t2+5t−6t2=82−6t2+5t−1=82−61t−5122+124，
故当1t=512⇒t=125,即k2=25时，面积取最大值82124=433，
此时圆心到直线AB的距离22k1+k2=47b>0的离心率是32，且经过点A0,1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B,C，直线AB,AC分别与x轴相交于点M,N，证明：线段MN的中点为定点．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得a,b,c，从而求得椭圆C的方程.
（2）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线AB,AC求得M,N两点的横坐标，进而计算出线段MN的中点为定点．
【详解】（1）依题意ca=32b=1a2=b2+c2，解得a=2,b=1,c=3，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
（2）依题意，过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B,C，
画出图象如下图所示，由图可知直线l的斜率k存在，且k>0，
设直线l的方程为y−1=kx−2,y=kx−2+1，
由y=kx−2+1x24+y2=1消去y并化简得1+4k2x2+8k−16k2x+16k2−16k=0，
Δ=8k−16k22−41+4k216k2−16k=64k>0，
设Bx1,y1,Cx2,y2，则x1+x2=16k2−8k1+4k2,x1x2=16k2−16k1+4k2，
而A0,1，所以直线AB的方程为y=y1−1x1x+1，令y=0，解得xM=x11−y1，
同理可求得xN=x21−y2，
则xM+xN=x11−y1+x21−y2=x11−kx1−2+1+x21−kx2−2+1
=x1k2−x1+x2k2−x2=1k×x12−x1+x22−x2
=1k×x12−x2+x22−x12−x12−x2=2k×x1+x2−x1x24−2x1+x2+x1x2
=2k×16k2−8k1+4k2−16k2−16k1+4k24−216k2−8k1+4k2+16k2−16k1+4k2 =2k×8k1+4k241+4k2=4，
所以线段MN的中点为定点2,0.

64.（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为22．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M1,0的直线l交C于A、B两点，交直线x=4于点P．若PA=λAM，PB=μBM，证明：λ+μ为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)x24+y22=1；
(2)证明见解析，定值为0.
【分析】（1）由已知得a=2cab=22，结合椭圆参数关系求得a2=4,b2=2，即可得椭圆方程；
（2）令l:y=k(x−1)，A(x1,y1),B(x2,y2)，P(4,3k)，联立椭圆方程并应用韦达定理得x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2(k2−2)1+2k2，再由向量数量关系的坐标表示得到λ+μ关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【详解】（1）由题设ca=2212⋅2a⋅b=22⇒a=2cab=22，又a2=b2+c2，则a2=4,b2=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
（2）由题设，直线l斜率一定存在，令l:y=k(x−1)，且M1,0在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，且Δ>0，
令A(x1,y1),B(x2,y2)，而P(4,3k)，则PA=(x1−4,y1−3k),AM=(1−x1,−y1)，
由PA=λAM，则x1−4=λ(1−x1)y1−3k=−λy1且x1≠1，得λ=x1−41−x1，
同理PB=(x2−4,y2−3k),BM=(1−x2,−y2)
由PB=μBM，则x2−4=μ(1−x2)y2−3k=−μy2且x2≠1，得μ=x2−41−x2，
所以λ+μ=x1−41−x1+x2−41−x2=(x1−4)(1−x2)+(x2−4)(1−x1)(1−x1)(1−x2) =5(x1+x2)−2x1x2−8x1x2−(x1+x2)+1
又x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2(k2−2)1+2k2，则λ+μ= 5⋅4k21+2k2−2⋅2(k2−2)1+2k2−82(k2−2)1+2k2−4k21+2k2+1=20k2−4k2+8−8−16k22k2−4−4k2+1+2k2=0.
所以λ+μ为定值0.
双曲线的标准方程（共2个小题）
65.（22-23高二下·北京延庆·期中）已知F10,−3，F20,3，动点P满足PF1−PF2=4，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x24−y25=1B．y24−x25=1
C．x24−y25=1x>0D．y24−x25=1y>0
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求解即可.
【详解】由PF1−PF2=4可知，点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线上支，
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1y>0，可知c=3，2a=4，
所以a=2，b2=c2−a2=32−22=5，a2=4，
所以双曲线的方程为y24−x25=1y>0.
故选：D.
66.（23-24高二下·江苏南京·期中）若双曲线x2−y2m=1的一个焦点为−3,0，则m等于（ ）.
A．7B．−7C．22D．8
【答案】D
【分析】利用a2+b2=c2可得答案.
【详解】由题意知，1+m=32，∴m=8.
故选：D.
双曲线的焦点三角形（共2个小题）
67.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知F1，F2分别是双曲线C:y29−x24=1的上、下焦点，过F1的直线l交C的上支于A，B两点，若AB的长等于虚轴长的3倍，则△ABF2的周长为 ．
【答案】36
【分析】易得AB的值，结合双曲线的定义即可得结果.
【详解】由题意得AB=3×2b=12，则AF2+BF2=AF1+2a+BF1+2a=AB+12=24，
所以△ABF2的周长为AF2+BF2+AB=36．
故答案为：36.
68.（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±x，且点M2,1在该双曲线上.
(1)求双曲线C方程；
(2)若点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积.
【答案】(1)x23−y23=1
(2)3
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得ab=1，根据点M(2,1)在双曲线上列方程22a2−12b2=1，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和PF1⊥PF2列方程组求解PF1·PF2，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【详解】（1）由题知，ba=122a2−12b2=1解得，a=3b=3
所以双曲线C的方程为：x23−y23=1
（2）∵PF1⊥PF2 ∴PF12+PF22=F1F22=2c2=24
根据双曲线的定义得，PF1−PF2=2a=23
∴PF1−PF2=23PF12+PF22=24解方程得，PF1·PF2=6
S△PF1F2=12PF1·PF2=12×6=3
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
双曲线的离心率（共2个小题）
69.（21-22高二下·甘肃金昌·期中）若双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=12x，则离心率e为（ ）
A．32B．52C．3D．5
【答案】B
【分析】根据离心率公式，结合渐近线方程求解即可.
【详解】x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）渐近线方程为y=±bax，则ba=12.
离心率e=ca=(ca)2=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)2=1+(12)2=52.
故选：B
70.（23-24高二下·上海松江·期中）设a>1，则双曲线x2a2−y2(a+1)2=1的离心率的取值范围是 .
【答案】2,5
【分析】由双曲线方程得到c2，即可表示出离心率e=1a+12+1，再由a的取值范围计算可得.
【详解】双曲线x2a2−y2(a+1)2=1，则c2=a2+a+12=2a2+2a+1，
所以离心率e=ca=c2a2=2a2+2a+1a2=1a2+2a+2=1a+12+1，
因为a>1，所以00)，由待定系数法列方程组求解；
（2）法一：由题可得A1(−x1,y1),B1(x2, −y2)，可得k, k1,kk1的表达式，结合x124−y123=1, x224−y223=1作差可得结论；
法二：由题可得A1(−x1,y1),B1(x2,−y2)，设直线l方程为y=kx+t，所以k1=−k−2tx1+x2，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理可得k1=−34k，可得结论.
【详解】（1）设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a> 0,b>0)，
双曲线C经过点6,62，则有6a2−64b2=1，
因为e=1+b2a2=72，所以b2a2=34，即4b2=3a2.
所以4a2=1，所以a2=4,b2=3，
所以双曲线C的标准方程为x24−y23=1.
（2）法一：由题可得A1(−x1,y1),B1(x2,−y2)，
所以k=y2−y1x2−x1,k1=−y1+y2x1+x2，所以kk1=−y22−y12x22−x12，
因为x124−y123=1,x224−y223=1，所以x22−x124−y22−y123=0，
所以y22−y12x22−x12=34，所以kk1=−34.
所以k与k1的乘积为定值，定值为−34.
法二：由题可得A1(−x1,y1),B1(x2,−y2)，
设直线l方程为y=kx+t，则y1=kx1+t,y2=kx2+t，
所以A1(−x1,kx1+t),B1(x2,−kx2−t)，所以k1=−k−2tx1+x2，
由y=kx+tx24−y23=1，得(3−4k2)x2−8ktx−4t2−12=0，
所以x1+x2=8kt3−4k2，
所以k1=−k−2t⋅3−4k28kt=−k−3−4k24k，即k1=−34k，所以kk1=−34，
所以k与k1的乘积为定值，定值为−34.
80.（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点F2(2,0)，并且与圆F1:(x+2)2+y2=4外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线F2Q与圆F1相切于点Q，求F2Q的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点F2的直线l1与曲线C交于E，F两点，设直线l:x=12，点D(−1,0)，直线ED交l于点M，证明直线FM经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)F2Q=23
(2)x2−y23=1，x>0；
(3)证明见解析，定点1,0
【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；
（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；
（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示kFQ=kMQ，即可求解定点.
【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，F1Q⊥F2Q，
所以点F2Q=F1F22−4=16−4=23；
（2）由题意可知，设动圆半径为R，PF2=R，PF1=R+2，F1F2=4，
即PF1−PF2=20；
（3）当直线l1的斜率不存在时，E2,3，F2,−3，
直线ED:y=x+1，当x=12，得y=32，即M12,32，直线FM:3x+y−3=0，
此时直线过点1,0，
当直线l1的斜率存在时，设直线l1:y=kx−2，Ex1,y1，Fx2,y2，
直线ED:y=y1x1+1x+1，当x=12时，yM=3y12x1+1，
M12,3y12x1+1，
联立y=kx−23x2−y2=3，得3−k2x2+4k2x−3+4k2=0，
3−k2≠0，x1+x2=−4k23−k2，x1x2=−3+4k23−k2，
下面证明直线FM经过点Q1,0，即证kFQ=kMQ，−3y1x1+1=y2x2−1，
把y1=kx1−2，y2=kx2−2代入整理得4x1x2−5x1+x2+4=0，
即4×−3+4k23−k2−5×−4k23−k2+4=12+16k2−20k2k2−3+4=−4+4=0，
所以直线FM经过点1,0，
综上可知，直线FM经过定点，定点坐标为1,0.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
抛物线的标准方程（共2个小题）
81.（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线y2=2pxp>0的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，PQ=6，则抛物线方程是（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【答案】B
【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求.
【详解】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x22=2，即x1+x2=4．
又|PQ|=x1+x2+p=6，即p=2，∴抛物线方程为y2=4x．
故选：B.
82.（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足BF−AF=4，AB=42，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 .
【答案】y2=12x
【分析】先根据焦半径公式得到x1,x2的关系，由弦长公式求解出直线AB的斜率，再结合斜率坐标公式以及点在抛物线上求出p的值.
【详解】设直线AB的斜率为k，Ax1,y1,Bx2,y2，
由BF−AF=4，得(x2+p2)−(x1+p2)=4，解得x2−x1=4，
又AB=1+k2⋅x1−x2=42，则k2=1，由A,B都在第一象限，得k=1，
而k=y2−y1x2−x1=y2−y1y222p−y122p=2py1+y2=1，且y1+y2=6×2=12，则2p=12，
所以抛物线方程为y2=12x，
故答案为：y2=12x
抛物线的准线（共2个小题）
83.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为2π3，若抛物线C上存在点M与点N−32,0关于直线l对称，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．x=−12B．x=-1C．x=−2D．x=−14
【答案】A
【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可.
【详解】由题意可知，F的坐标为p2,0.设点Mx0,y0，则MF=NF，MN⊥l，
即x0+p2=p2−−32，得x0=32，kMN⋅tan2π3=−1，
即kMN=y0−0x0−−32=y03=33，得y0=3，因此32=2p×32，
解得p=1，故抛物线C的准线方程为x=−p2=−12.
故选：A
84.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（ ）
A．116B．14C．18D．1
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出焦点坐标和准线方程，进而可求出焦点到准线的距离.
【详解】抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，则2p=12，得p=14，
所以焦点坐标为0,18，准线方程为y=−18，
所以焦点到准线距离为14.
故选：B.
和差距离问题（共2个小题）
85.（23-24高二上·重庆·期中）已知抛物线C：y2=4x上一点Px0,y0，点A3,21，则y022+2PA的最小值是（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线定义将y022+2PA转化为2(x0+1+PA)−2=2(|PF|+PA)−2，继而数形结合，根据线段和的几何意义求得|PF|+PA的最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知抛物线C：y2=4x上一点Px0,y0，则y02=4x0,∴y024=x0，
又(21)2>4×3，故A3,21在抛物线C：y2=4x的外部，
则y022+2PA=2(y024+PA)=2(x0+PA)=2(x0+1+PA)−2，
因为抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，则|PF|=x0+1，
故y022+2PA=2(x0+1+PA)−2=2(|PF|+PA)−2，
由于|PF|+PA≥|AF|，当A,P,F三点共线（P在A,F之间）时，
|PF|+PA取到最小值|AF|=(3−1)2+(21)2=5,
则y022+2PA=2(|PF|+PA)−2的最小值为2×5−2=8，
故选：B
86.（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线E：y2=8x的准线为l，A0,3，点B是E上任意一点，过B作BC⊥l，垂足为C，则AB+BC的最小值为 .
【答案】13
【分析】根据抛物线的定义BC=BF，可知AB+BC的最小值为AF进而可得.
【详解】
如图，抛物线y2=8x的焦点坐标为2,0，
根据抛物线的定义BC=BF，所以AB+BC=AB+BF，
故当A，B，F三点共线时，AB+BC取得最小值为AF,
AF=OA2+OF2=32+22=13,
故答案为：13
抛物线解答题（共2个小题）
87.（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线C:y2=2px(0