专题02圆的方程及位置关系（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】圆的方程
一、圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心和半径
2.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是CM=r，即（x−a）2+（y−b）2=r两边平方，得
（x−a）2+（y−b）2=r2，此式通常称为圆的标准方程．
二、圆的一般方程
1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为
r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
3.当D2＋E2－4F0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
四．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【清单04】圆与圆的位置关系及切线、弦长
一.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。
二.圆与圆位置关系的判定
1.几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
2.代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up7(消元))一元二次方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇒相交；,Δ＝0⇒内切或外切；,Δ＜0⇒内含或外离Ｗ.))
注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
2.圆与圆相交，两圆有两个公共点；
3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.
三. 两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 两圆的公切线有如图所示的五种情况：
1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
3.相交时，有2条公切线，都是外公切线；
4.内切时，有1条公切线；
5.内含时，无公切线.
四．两圆相交时公共弦所在直线的方程：
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
【考点题型一】圆的方程及解法
方法总结：
1.已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入，
2.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法:步骤如下:
(1)根据题意设出圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
(2)根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组;
(3)求出a，b，r的值，代入所设方程中即可
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程
【例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）圆心在x轴上，并且过点A−1,3和B1,1的圆的标准方程是（ ）
A．x+42+y2=18B．x+32+y2=10
C．x−22+y2=10D．x+22+y2=10
【答案】D
【分析】设圆心为Ea,0，由EA=EB可求出a的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心为Ea,0，由EA=EB可得a+12+0−32=a−12+0−12，解得a=−2，
所以，圆心为E−2,0，圆的半径为EA=−2−12+0−12=10，
故所求圆的标准方程为x+22+y2=10.
故选：D.
【变式1-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x−y+6=0上的圆的标准方程是 ．
【答案】x+22+y−22=4或x+62+y+62=36
【分析】设所求圆的标准方程为x−a2+y−b2=a2，由题意可得b=±a，分b=a、b=−a两种情况讨论，根据圆心在直线2x−y+6=0上，求出a的值，即可得出所求圆的标准方程.
【详解】设所求圆的标准方程为x−a2+y−b2=a2，
因为所求圆与两坐标轴都相切，则b=±a，
当b=a时，则圆心a,a在直线2x−y+6=0上，则2a−a+6=a+6=0，解得a=−6，
此时，所求圆的标准方程为x+62+y+62=36；
当b=−a时，则圆心a,−a在直线2x−y+6=0上，则2a+a+6=3a+6=0，解得a=−2，
此时，所求圆的标准方程为x+22+y−22=4.
综上所述，所求圆的标准方程为x+22+y−22=4或x+62+y+62=36.
故答案为：x+22+y−22=4或x+62+y+62=36.
【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知△ABC的顶点为A0，2，B6，4，C4，0．
(1)求边AC的垂直平分线的一般式方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
【答案】(1)2x−y−3=0
(2)(x−3)2+(y−3)2=10
【分析】（1）求出直线AC的斜率，可得出AC边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于D,E,F的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出△ABC的外接圆的方程.
【详解】（1）设AC中点为D，所以D0+42,2+02，即D2,1，
由题意得kAC=0−24−0=−12，所以边AC上高的斜率为2，
又因为AC的垂直平分线过点D2,1，
所以AC的垂直平分线的方程为：y−1=2x−2，即2x−y−3=0．
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
将A，B，C三点坐标代入上式得2E+F+4=0，6D+4E+F+52=04D+F+16=0，，解得D=−6E=−2F=8，
所以圆M的方程为x2+y2−6x−6y+8=0，即(x−3)2+(y−3)2=10．
【变式1-3】（23-24高二上·江西·阶段练习）若圆x2+y2−4x+8y+2m=0的半径为2，则实数m的值为（ ）
A．-9B．-8
C．9D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由x2+y2−4x+8y+2m=0，得(x−2)2+(y+4)2=20−2m，
所以r=20−2m=2，解得m=8.
故选：D.
【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知圆M：x2+y2−6x+2y+5=0，则该圆的圆心坐标为（ ）
A．−3,1B．−3,−1
C．3,1D．3,−1
【答案】D
【分析】把一般方程化为标准方程即可求解
【详解】圆M：x2+y2−6x+2y+5=0化为标准方程得
x−32+y+12=5，
所以圆心坐标为3,−1，
故选：D
【考点题型二】圆的一般方程
方法总结：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
【例2】（23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若a∈−2,−1,0,12,34,1 ，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a−1=0表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.
【详解】由题意可知：a2+2a2−42a2+a−1=−3a2−4a+4>0⇒3a−2a+2