专题01直线斜率 与倾斜角（考题猜想）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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题型大集合直线方程求倾斜角
动点求斜率范围最值
方向向量与斜率
直线斜率比大小
斜率范围求倾斜角
函数值域型求倾斜角
直线与线段有交点求斜率范围
直线相交受限型求倾斜角
斜率公式几何意义
截距型直线斜率
直线斜率倾斜角求参
直线倾斜角型求参数
综合应用
题型大通关
一． 直线方程求倾斜角（共2小题）
1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率的定义结合诱导公式即可求解.
【详解】因为，所以直线的倾斜角为146°.
故选：D
2．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（ ）．
A．0B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据直线的方程即可求解.
【详解】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
二．动点求斜率最值范围（共2小题）
3．（23-24高二上·四川·期中）已知点，，则直线斜率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线斜率公式及二次函数性质可得最值.
【详解】，
当时，直线的斜率取得最小值，且最小值为，
故选：A.
4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】由斜率的定义可得，即，解得.
故选：D.
三． 方向向量与斜率 （共2小题）
5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.
故选：B
6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】直线的方向向量与共线，可求的值.
【详解】由，，有，
经过，两点的直线的方向向量为，则有.
故选：C.
四． 直线斜率比大小（共2小题）
7．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，
.
故选：D.
8．（23-24高二上·山西·开学考试）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.
【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.
故选：B
五． 斜率范围求倾斜角（共2小题）
9．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的单调性可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，，
因为正切函数在、上均为增函数，
当时，即，此时，；
当时，即，此时，.
因此，直线的倾斜角的取值范围为.
故选：B.
10．（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，结合正切函数的图像即可求出倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得，
因为，即，
结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．
故选：A.
六． 函数值域型求倾斜角 （共5小题）
11．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质分析求解.
【详解】当时，方程变为，其斜率不存在，倾斜角为；
当时，由直线方程可得斜率，因为且，
则，即，又因为，；
综上所述：倾斜角的范围是．故选：C．
12．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
直线的斜率为，当时，则；
当时，则.
综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.
13．（23-24高二上·辽宁·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.
【详解】当时，方程为，倾斜角为。当时，直线的斜率，
因为，则，所以；
综上所述：线的倾斜角的范围是.故选：C．
14．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，综上，，故选：C.
15．（22-23高二上·黑龙江大庆·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当
时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.
【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，且，
，即，又，，
由上知，倾斜角的范围是．故选：C．
七．直线与线段有交点求斜率范围（共3小题）
16．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合图形及斜率定义可得答案.
【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负，
当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为；
当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正，
当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为；
当公共点在O点时，直线l的斜率不存在.
综上，直线l的斜率的取值范围是.故选：C
17．（21-22高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解.
【详解】依题意，直线的斜率分别为，
如图所示：若直线过点且与线段相交，
则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或 .故选：B
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，B2,1，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.故选：A
八． 直线相交受限型求倾斜角（共1小题）
19．（2014高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.
【详解】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
九．斜率公式几何意义（共3小题）
20．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.
【详解】由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.

21．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，数形结合求出临界值，从而求出的取值范围，即可得解.
【详解】如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，

点，，点是线段（含端点）上任一点，
，，
或，
的取值范围是．
故选：A．
22．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】可化为，表示圆心为，半径为的圆,表示圆上的点与点连线的斜率, 设过且与圆相切的直线为，利用点到直线的距离等于半径，结合图形即可求解.
【详解】可化为，
表示圆心为，半径为的圆.
表示圆上的点与点连线的斜率.
设过且与圆相切的直线为，即，
所以，化简可得，解得或，
由图可得的最大值为.故选:A.
十． 截距型直线斜率（共3小题）
23．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）直线在坐标系中的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，判断出，对照四个选项即可得到答案.
【详解】直线的斜率 .
因为，所以.
对照四个选项，只有选项C符合.
故选：C
24．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围.
【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为，
l过点的斜率，
l过点的斜率，
故直线l的斜率k的取值范围为.故选：C
25．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．或
【答案】C
【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】由题意设直线的方程为，则①，
又，∴②，
由①②解得，或，，
又由知，则，，
则直线的斜率为．故选：C．
十一．直线斜率倾斜角求参（共2小题）

【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.
所以，解得：.
故选：A
27．（21-22高二上·全国·阶段练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合倾斜角与斜率的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】直线的方程是倾斜角为，
当时，直线的斜率不存在，则；
当时，.
若，则，求得；
若，则，求得.
综上可得，的取值范围为.
故选：B.
十二．直线倾斜角型求参（共3小题）
26．（21-22高二上·吉林四平·期末）已知直线l：的倾斜角为，则（ ）
A．B．1C．D．－1
【答案】A
【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.
28．（山东省多校2023-2024学年高二上学期12月联合质量检测数学试题）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的倾斜角，进而可求得直线的倾斜角，进而可得直线的斜率，即可得解.
【详解】直线的斜率为，则倾斜角为，
因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，解得.
故选：A.
29．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合斜率公式和斜率的定义，列出方程，即可求解.
【详解】由直线过点，，可得的斜率为，
因为直线的倾斜角为，可得，所以.
故答案为：.
十三．综合应用（共3小题）
30．（21-22高一 ·湖南长沙·期中）曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.
【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选A.
【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.
31．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断.
【详解】解：由图可知，，，
故选：AC．
32．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】利用倾斜角与斜率的关系及截距的定义一一判定选项即可.
【详解】对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；
直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故B正确；
对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，故C错误；
直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.
故选:ACD.