福建省福州市福州一中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份福建省福州市福州一中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，那么四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
2、（4分）在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
3、（4分）如图，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是( )
A．B．C．D．
4、（4分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A．B．C．D．
5、（4分）若，则变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，BC=3cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．不能确定
7、（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．B．4C．D．6
8、（4分）使用同一种规格的下列地砖，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形地砖 B．正四边形地砖 C．正五边形地砖 D．正六边形地砖
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为_________________．
10、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．
11、（4分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝____度．
12、（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是_____．
13、（4分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．李欣和张帆恰好选择同线路游览的概率为_______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）我市开展“美丽自贡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？
（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．
15、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝1．
（1）当t＝3时，解这个方程；
（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．
16、（8分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．
（1）求证：AF=BE；
（2）求点E到BC边的距离．
17、（10分）已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点
（1）求a的值；
（2）求出一次函数的解析式；
（3）求的面积．
18、（10分）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在中，直径，弦于，若，则____
20、（4分）如图，，，，若，则的长为______．
21、（4分）为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m）分别为：2.21，2.12，2.1，2.39，2.1，2.40，2.1．这组数据的中位数和众数分别是_____．
22、（4分）化简：______.
23、（4分）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿A→B→C所走的路程是____m．(结果保留根号)
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算:
25、（10分）今年5月19日为第29个“全国助残日”我市某中学组织了献爱心捐款活动，该校数学课外活动小组对本次捐款活动做了一次抽样调查，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组含前一个边界，不含后一个边界）.
（1）填空：________，________.
（2）补全频数分布直方图.
（3）该校有2000名学生估计这次活动中爱心捐款额在的学生人数.
26、（12分）为引导学生广泛阅读古今文学名著，某校开展了读书活动．学生会随机调查了部分学生平均每周阅读时间的情况，整理并绘制了如下的统计图表：
学生平均每周阅读时间频数分布表
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）在频数分布表中，a=______，b=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该校有1600名学生，请你估计该校平均每周阅读时间不少于6小时的学生大约有多少人？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据中位线定义得出EF＝HG，EF∥HG，证明四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定法则即可判定
【详解】
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF＝ AC，EF∥AC，
同理，HG＝ AC，HG∥AC，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵F，G分别是边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，
∴∠FGH＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
故选：B．
此题考查三角形中位线的性质，矩形的判定，解题关键在于利用中位线的性质进行解答
2、B
【解析】
根据四边形的外角和等于360°可判断出外角中最多有三个钝角，而外角与相邻的内角是互补的，因此，四边形的内角中最多有3个锐角.
【详解】
因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，
多边形的内角中就最多有3个锐角．
故选：B．
本题考查了四边形的外角和定理和外角与内角的关系，把内角问题转化成外角问题是解答的关键.
3、A
【解析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可.
【详解】
添加的条件是AB＝CD；理由如下:
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
∵，
∴，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE＝R△DCF(HL)
所以A选项是正确的.
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键.
4、B
【解析】
△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选B．
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
5、D
【解析】
根据不等式的性质即可判断.
【详解】
若，
则x+2＜y+2，故A错误；
＜，故B错误；
x-2＜y-2，故C错误；
，故D正确；
故选D.
此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质及应用.
6、B
【解析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC===4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．
故选：B．
本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
7、C
【解析】
在Rt△ABD中，利用等腰直角三角形的性质列方程求解可求出AD和BD的长度，在Rt△ADC中；根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质可列方程解出CD，同理可得DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ADC和△CDE为直角三角形，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=16，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD =45°，则AD=BD，
设AD=BD=x，由勾股定理得：
，
解得：，即AD=BD=，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠ACD=60°，AD=，
∴∠CAD=30°，则，
设CD=x，则AC=2x，由勾股定理得：
，
解得：，即CD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=30°，
在Rt△CDE中，同理得：DE，
∴AE=AD﹣DE=﹣=，
故选：C．
本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，根据勾股定理构造方程是解题的关键．
8、C
【解析】试题解析：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意；
B、正四边形每个内角是90°，能整除360°，能密铺，故B不符合题意；
C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，故C符合题意；
D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故D不符合题意．
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（21008，21009）．
【解析】
观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，
∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．
∵2017=1008×2+1，
∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008），
即A2017（21008，21009）．
故答案为（21008，21009）．
【点睛】本题主要考查一次函数图象中点的坐标特征以及规律问题中点的坐标变化特征，解题的关键是找出变化规律A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．解决时的关键是要先写出一些点的坐标，根据坐标的特征找出变化的规律.
10、1
【解析】
连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.
【详解】
解：如图：连接BE
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，
∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F＝30°，
∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF，
在Rt△BED中，BE＝1DE＝1×1＝1，
∴EF＝1．
故答案为：1．
本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.
11、1
【解析】
首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【详解】
解：∵正五边形的外角为10°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝1°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝1°，
故答案为1．
本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
12、x=1
【解析】
依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣1，0），与y轴相交于点（0，3），
∴ ，
解得，
∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3，
解得x＝1，
故答案为：x＝1．
本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13、
【解析】
画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】
画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）144°；（3）众数为1.5小时、中位数为1.5小时．
【解析】
试题分析：（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，
（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果；
（3）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可．
解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），
∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），
补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：40%×360°=144°，
则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；
（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．
15、（2）x2＝3﹣，x2＝3+；（2）Q的最小值是﹣2．
【解析】
（2）把t＝3代入x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝2，再利用公式法即可求出答案；
（2）由根与系数的关系可得出m+n＝2t、mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4中可得出（m﹣2）（n﹣2）＝（t﹣3）2﹣2，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m﹣2）（n﹣2）的最小值．
【详解】
（2）当t＝3时，原方程即为x2﹣6x+7＝2，
，
解得，；
（2）∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝2的两实数根，
∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4＝t2﹣6t+8＝（t﹣3）2﹣2．
∵方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣26≥2，
∴t≥2，
∴（t﹣3）2﹣2≥（3﹣3）2﹣2＝﹣2．
故Q的最小值是﹣2．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝2（a≠2）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞2时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝2时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜2时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法．
16、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）利用ASA证明△AFO≌△BE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得AF=BE；
（2）如图，过点E作EN⊥BC，垂足为N，根据正方形的边长求得对角线的长，继而求得OC的长且∠ECN＝45°，由E是OC的中点，可得OE＝EC＝1，在直角三角形ENC中利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】
（1）∵正方形ABCD， ∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM，∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
，
∴△AFO≌△BE(ASA），
∴AF=BE；
（2）如图，过点E作EN⊥BC，垂足为N，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝＝4，CO＝2，且∠ECN＝45°，
∵E是OC的中点，∴OE＝EC＝1，
由EN⊥BC，∠ECN＝45°，得∠CEN＝45°，
∴EN＝CN，
设EN＝CN＝x，∵+＝，
∴+＝1 ，
∴ 因为x＞0，x，
即：点E到BC边的距离是.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
17、（1）1（2）（3）
【解析】
（1）将点B代入正比例函数即可求出a的值；
（2）将点A、B代入一次函数，用待定系数法确定k，b的值即可；
（3）可将分割成两个三角形求其面积和即可.
【详解】
（1）依题意，点在正比例函数的图象上，
所以，
（2）依题意，点A、B在一次函数图象上，
所以，，解得：，.
一次函数的解析式为：，
（3）直线AB与y轴交点为，
的面积为：
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，对于一般的三角形不易直接求面积时，可将其分割成多个易求面积的三角形.
18、（1）20°；（2）22.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；
（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．
解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,
∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据圆周角定理求出∠COB，根据正弦的概念求出CE，根据垂径定理解答即可．
【详解】
由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=2×=，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=2，
故答案为：2.
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
20、1
【解析】
作PE⊥OB于E，先根据角平分线的性质求出PE的长度，再根据平行线的性质得∠OPC＝∠AOP，然后即可求出∠ECP的度数，再在Rt△ECP中利用直角三角形的性质即可求出结果．
【详解】
解：作PE⊥OB于E，如图所示：
∵PD⊥OA，∴PE=PD=4，
∵PC∥OA，∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠OPC＝∠AOP＝15°，
∴∠ECP＝15°+15°＝30°，
∴PC＝2PE＝1．
故答案为：1．
本题考查了角平分线的性质定理、三角形的外角性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，作PE⊥OB构建角平分线的模型是解题的关键.
21、2.40，2.1．
【解析】
∵把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.1，2.1，2.1．
∴它们的中位数为2.40，众数为2.1．
故答案为2.40，2.1．
点睛:本题考查了中位数和众数的求法，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数.
22、
【解析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
．
故答案为．
本题考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
23、
【解析】
由图形可以看出AB=BC，要求AB的长，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，运用勾股定理求出计算和即可．
【详解】
解：折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC==米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+=2米
故答案为：2米.
本题考查了勾股定理的简单应用，在图形中正确找到直角三角形是解题关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、1-
【解析】
根据实数的性质进行化简即可求解.
【详解】
解：原式= +2- -1-
=1-
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.
25、（1），；（2）详见解析；（3）估计这次活动中爱心捐款额在的学生有1200人
【解析】
（1）先根据5≤x＜l0的频数及其百分比求出样本容量，再根据各组频数之和等于总人数求出a的值，继而由百分比的概念求解可得；
（2）根据所求数据补全图形即可得；
（3）利用可以求得．
【详解】
（1）样本容量=3÷0.75%=40，∴，.
（2）补图如下．
（3）（人）．
答：估计这次活动中爱心捐款额在的学生有1200人.
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26、（1）80，0.1；（2）见详解；（3）1000人
【解析】
（1）求出总人数，总人数乘以0.2即可得到a，110除以总人数即可得到b．
（2）根据（1）中计算和表中信息画图．
（3）根据用样本估计总体的方法求解．
【详解】
解：（1）10÷0.025=400人；
a=400×0.2=80人，b==0.1；
故答案为80，0.1．
（2）如图：
（3）1600×（0.1+0.25+0.1）=1000人．
本题考查了频数分布直方图、频数分布表，两图结合是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
捐款额（元）
频数
百分比
3
7.5%
7
17.5%
a
b
10
25%
6
15%
总计
100%
平均每周阅读时间x（时）
频数
频率
0≤x＜2
10
0.025
2≤x＜4
60
0.150
4≤x＜6
a
0.200
6≤x＜8
110
b
8≤x＜10
100
0.250
10≤x≤12
40
0.100
合计
400
1.000