福建省福州福清市2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份福建省福州福清市2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
2、（4分）某次文艺演中若干名评委对八（1）班节目给出评分.在计算中去掉一个最高分和最低分.这种操作，对数据的下列统计一定不会影响的是( )
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
3、（4分）直线上两点的坐标分别是，，则这条直线所对应的一次函数的解析式为( )
A．B．C．D．
4、（4分）在中，点为的中点，平分，且于点，延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
5、（4分）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为( )
A．7B．8C．6或8D．7或8
6、（4分）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
8、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，DE平分∠ADC，则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将长为20cm、宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x之间的关系式为_______．
10、（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；
11、（4分）将一张长与宽之比为的矩形纸片ABCD进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．已知AB=1，则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ；第2016次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ．
12、（4分）计算的结果等于__________．
13、（4分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点在x轴上.
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)此函数的图象经过哪几个象限?
(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
15、（8分）某工厂甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，
(1)甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？
(2)该工厂计划加工920个零件，甲参与加工这批零件不超过12小时，则乙至少加工多少小时才能加工完这批零件？
16、（8分）在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，
(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；
(2)如图1，若DF=，求AE的长；
(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、，连接、，点G是的中点,连接AG，试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
17、（10分）如图，一张矩形纸片.点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，
（1）若，则的度数为 °;
（2）若,求的长.
18、（10分）为贯彻落实关于“传承和弘扬中华优秀传统文化”的重要讲话精神，2018年5月27日我市举办了第二届湖南省青少年国学大赛永州复赛.本次比赛全市共有近200所学校4.6万名学生参加.经各校推荐报名、县区初赛选拔、市区淘汰赛的层层选拔，推选出优秀的学生参加全省的总决赛.下面是某县初赛时选手成绩的统计图表（部分信息未给出）.
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中， ， .
（2）请将频数直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于120分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）请你写出一个有一根为0的一元二次方程：______．
20、（4分）小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买________枝钢笔．
21、（4分）已知点（2，7）在函数y=ax+3的图象上，则a的值为____．
22、（4分）已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是______cm，面积是______cm1．
23、（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，且，则k的值为_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，△ABC与△AFD为等腰直角三角形，∠FAD＝∠BAC＝90°，点D在BC上，则：
（1）求证：BF＝DC．
（2）若BD＝AC，则求∠BFD的度数．
25、（10分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离．
根据图象解答下列问题：
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多少时间？
（4）求张强从文具店回家过程中与的函数解析式．
26、（12分）我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角.如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”.
初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是______；
问题探究：在完美四边形中，，，，，求该完美四边形的周长与面积；
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．
2、B
【解析】
根据平均数、中位数、方差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到平均数、方差，可能会影响到众数，
一定不会影响到中位数，
故选B．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、方差及众数的意义，难度不大．
3、A
【解析】
利用待定系数法求函数解析式．
【详解】
解：∵直线y=kx+b经过点P（-20，5），Q（10，20），
∴ ，
解得，
所以，直线解析式为．
故选：A．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，是中考的热点之一，需要熟练掌握．解题的关键是掌握待定系数法．
4、B
【解析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得BD-DN，AB-AN，再求出CN，然后判断出DM是ABCN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
【详解】
解：∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD
∴BD=DN，AB=AN=4，
∴ CN=AC-AN-6-4=2
又∵M为△ABC的边BC的中点
∴DM是△BCN的中位线，
∴мD=CN=×2=1，
故选：B.
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与性质并作辅助线构造出以MD为中位线的三角形是解题的关键.
5、D
【解析】
因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；
当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为1．
故选D．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
6、C
【解析】
由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】
由勾股定理得：cm,
∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
7、C
【解析】
先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．
【详解】
∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1−15%−45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
8、B
【解析】
只要证明CD=CE=4，根据BE=BC-EC计算即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴DC=CE=AB=4，
∴BE=BC-CE=6-4=2，
故选B．
本题考查了平行线性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形性质等知识点，关键是求出BC、CE的长．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y=17x+1
【解析】
由图可知，将x张这样的白纸粘合后的总长度=x张白纸的总长-(x-1)个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式．
【详解】
解：
由题意可得：y=20x-1(x-1)=17x+1，
即：y与x间的函数关系式为：y=17x+1．
故答案为：y=17x+1．
观察图形，结合题意得到：“白纸粘合后的总长度=x张白纸的总长-（x-1）个粘合部分的宽”是解答本题的关键．
10、
【解析】
首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.
【详解】
作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,
∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,
又∠DAB+∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠CBE,
又AB=BC,∠ADB=∠BEC.
∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,
在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC=,
在Rt△ABC中,根据勾股定理,
得AC=
故答案为
本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.
11、第3次操作后所得到标准纸的周长是：，
第2016次操作后所得到标准纸的周长为：.
【解析】
分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得
第n次对开后所得标准纸的周长=.
【详解】
对开次数：
第一次，周长为：，
第二次，周长为：，
第三次，周长为：，
第四次，周长为：，
第五次，周长为：，
第六次，周长为：，
…
∴第3次操作后所得到标准纸的周长是：，
第2016次操作后所得到标准纸的周长为：.
本题结合规律和矩形的性质进行考察，题目新颖，解题的关键是分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律.
12、1
【解析】
分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
详解：原式=（）2-（）2
=6-1
=1，
故答案为：1．
点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
13、1
【解析】
根据折叠的性质知：可知：BN=BP，从而可知∠BPN的值，再根据∠PBQ=∠CBQ，可将∠PBQ的角度求出．
【详解】
根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ
∴BN=BC=BP
∵∠BNP=90°
∴∠BPN=1°
∴∠PBQ=×60°=1°．
故答案是：1．
已知折叠问题就是已知图形的全等，根据边之间的关系，可将∠PBQ的度数求出．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)y=-x+1(2)第一、二、四象限(3)
【解析】
(1)先确定直线y＝4x－3与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)由k、b的符号确定一次函数的图象所经过的象限；(3)求三角形的面积时要先求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
15、（1）甲每小时加工零件50个，乙每小时加工零件40个（2）乙至少加工8天才能加工完这批零件.
【解析】
（1）根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用的时间相等”可得出相等关系，从而只需不是出™各自的时间就可以了；（2）根据题目条件列出不等式求出加工天数.
【详解】
解：（1）设乙每小时加工零件个 ，则甲每小时加工零件个
由题可得：
解得：
经检验 是原方程的解，则
答：甲每小时加工零件50个，乙每小时加工零件40个.
（2）设乙至少加工天才能加工完这批零件，则

解之得：
答：乙至少加工8天才能加工完这批零件.
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
16、（1）见解析；（2）AE＝；（3）（3），理由见解析.
【解析】
（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，设AG＝，则AE= GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通过计算求得AE的长；
（3）延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得，可得≌，从而得到 ，可知∥, 再根据题意证明≌，进一步说明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形AMFN是正方形，
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND是Rt△
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，
设AG＝
则AE= GE=
易得△GBE是等腰直角三角形
∴BG=EG＝
∴AB=BC=
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF= ，HF=
∴BF=BH+HF=
∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
∴易得CF=DF=
∴BC=BF-CF=
∴
∴
∴AE＝
（3）；
理由：如图2中,延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,则≌,
∴ ,
∴∥,
∴
∵
∴
∴,
∵
∴≌（SAS）
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.
17、（1）；（2）1
【解析】
（1）根据折叠可得∠BFG=∠GFB′,再根据矩形的性质可得∠DFC=40°，从而∠BFG=70°即可得到结论；
(2) 首先求出GD=9-=，由矩形的性质得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB′=FB，由此即可解决问题．
【详解】
（1）根据折叠可得∠BFG=∠GFB′,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF=∠BFG，∠ADF=∠DFC，
∵
∴∠DFC=40°
∴∠BFD=140°
∴∠BFG=70°
∴∠DGF=70°;
（2）∵AG=，AD=9，
∴GD=9-=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，
∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=，
∵CD=AB=4，∠C=90°，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
∴BF=BC-CF=9-，
由翻折不变性可知，FB=FB′=，
∴B′D=DF-FB′=-=1．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
18、 (1)m=0.2，n=20；（2）图见解析；（3）50%.
【解析】
（1）根据成绩在105≤x＜120的频数和频率可以求得本次调查的人数，从而可以求得m、n的值；
（2）根据（1）中n的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以得到本次测试的优秀率．
【详解】
解：（1）由表可知：105≤x＜120的频数和频率分别为15、0.3，
∴本次调查的人数为：15÷0.3=50，
∴m=10÷50=0.2，
n=50×0.4=20，
故答案为：0.2，20；
（2）由（1）知，n=20，
补全完整的频数分布直方图如右图所示；
（3）成绩不低于120分为优秀，则本次测试的优秀率:（0.4+0.1）×100%=50%，
答：本次测试的优秀率是50%．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据一元二次方程定义，只要是一元二次方程，且有一根为0即可.
【详解】
可以是，=0等.
故答案为：
本题考核知识点：一元二次方程的根. 解题关键点：理解一元二次方程的意义.
20、1
【解析】
解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔，
根据题意，可得，可求得y≤
因为y为正整数，所以最多可以买钢笔1支．
故答案为：1．
21、1．
【解析】
利用待定系数法即可解决问题；
【详解】
∵点（1，7）在函数y=ax+3的图象上，∴7=1a+3，∴a=1，
故答案为:1．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
22、10，14
【解析】
解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，根据勾股定理，边长==5cm，所以，这个菱形的周长是5×4=10cm，面积=×8×6=14cm1．故答案为10，14．
点睛：本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，另外，菱形的面积可以利用底乘以高，也可以利用对角线乘积的一半求解．
23、
【解析】
先根据解析式确定点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案.
【详解】
令中y=0得x=-，令x=0得y=2，
∴点A（-，0），点B（0,2），
∴OA=，OB=2，
∵，
∴，
解得k=，
故答案为：.
此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解OA、OB的长度是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）67.5°．
【解析】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，则有∠BAF＝∠CAD，即可利用SAS证明△ABF≌△ACD，则结论可证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后由△ABF≌△ACD得出∠ABF＝∠ACD＝45°，最后利用∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF即可求解．
【详解】
（1）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAD，且AB＝AC，AF＝AD
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴BF＝DC
（2）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝45°
∵AB＝AC＝BD
∴∠BDA＝∠BAD＝67.5°
∴∠BDF＝22.5°
∵△ABF≌△ACD，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF＝67.5°
本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理是解题的关键．
25、（1）体育场离张强家，张强从家到体育场用了；（2）体育场离文具店；（3）张强在文具店停留了；（4）（）
【解析】
（1）根据y轴的分析可得体育场离张强家的距离，根据x轴可以分析出张强从家到体育场用了多少时间.
（2）通过图象可得张强在45min的时候，到达了文具店，通过图象观察体育场离文具店的距离为2.5-1.5=1.
（3）根据图象可得张强在45min到65min之间是运动的路程为0，因此可得在文具店停留的时间.
（4）已知在65min是路程为1.5,100min是路程为0,采用待定系数法计算可得一次函数的解析式.
【详解】
解：
（1）体育场离张强家，张强从家到体育场用了
（2）体育场离文具店
（3）张强在文具店停留了
（4）设张强从文具店回家过程中与的函数解析式为，
将点，代入得
，
解得，
∴（）
本题主要考查图象的分析识别能力，这是考试的热点，应当熟练掌握，注意第四问要写出自变量的范围.
26、①矩形②
【解析】
（1）根据完美四边形的定义即可判断；
（2）根据题意画出图形，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可求解.
【详解】
解：（1）初步运用：矩形
（2）问题探究：根据完美四边形的定义，结合题意可画出图形如下：
∵，，
∴，
∵，∴，.
∵，
∴，
∴.
在等腰中，过点作于点.
∴，由勾股定理可得：，，
∴完美四边形的周长为15.
∵，.
∴完美四边形的面积为.
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等腰梯形.等腰三角形及直角三角形的性质.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分