重难点03 指、对、幂数比较大小问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc6550" 【题型1 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc6550 \h 2
\l "_Tc6066" 【题型2 中间值法比较大小】 PAGEREF _Tc6066 \h 3
\l "_Tc24583" 【题型3 特殊值法比较大小】 PAGEREF _Tc24583 \h 4
\l "_Tc4986" 【题型4 作差法、作商法比较大小】 PAGEREF _Tc4986 \h 6
\l "_Tc5758" 【题型5 构造函数法比较大小】 PAGEREF _Tc5758 \h 7
\l "_Tc11593" 【题型6 数形结合比较大小】 PAGEREF _Tc11593 \h 9
\l "_Tc24977" 【题型7 含变量问题比较大小】 PAGEREF _Tc24977 \h 12
\l "_Tc4660" 【题型8 放缩法比较大小】 PAGEREF _Tc4660 \h 14
1、指、对、幂数的大小比较问题
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=lg0.33，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.
【解答过程】a=30.3>30=1，0b>cC．a>c>bD．b>a>c
【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，
b=1−2lg2=1−lg4，且0=lg1