北师大版九年级上册数学第一次月考模拟试卷（含答案解析）

这是一份北师大版九年级上册数学第一次月考模拟试卷（含答案解析），共36页。试卷主要包含了对其进行如下操作等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．B．3C．D．﹣0.3
2．（4分）函数y＝的图象经过点A（2，﹣1），则k的值为（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
3．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADE
C．∠C＝∠AEDD．AE•BC＝AC•DE
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．2B．6C．8D．9
6．（4分）若m＜﹣1＜m+1，则整数m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．图象顶点坐标为（3，﹣1）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
8．（4分）有机化学中“烷烃”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…，可分别按如图对应展开，则C10Hm中m的值是（ ）
A．18B．20C．22D．24
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知有序代数式串：x，x﹣1，（x≠0，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，x﹣1，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，x﹣1，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，x﹣1，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为（x﹣1）2；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：sin60°﹣cs30°﹣tan45°＝ ．
12．（4分）如果，那么＝ ．
13．（4分）如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 ．
14．（4分）如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和2个小灯泡L1，L2，任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是 ．
15．（4分）一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为 ．
16．（4分）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a有 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，连接CD．将△BCD沿CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC⊥DE于点F，BC＝4，则AF的长度为 ．
18．（4分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“差双数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1632，∵1+6﹣（3+2）＝2，∴1632是“差双数”，F（1632）＝1+6+3+2＝12；m＝6397，∵6+3﹣（9+7）＝﹣7≠2，∴6397不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d（1≤a≤4，0≤b≤3，0≤c≤9，1≤d≤9，1≤x≤9，a，b，c，d，x是整数），已知F（M）+F（N）﹣2能被6整除，且为整数，则满足条件的所有的M的值之和为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）；
（2）．
20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴
∴△ABF≌
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 .
21．（10分）北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75；
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
22．（10分）上周末，小马约上小唐一起出发去离学校240km的A地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前18分钟到达A地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米/小时）
（2）A地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往B地，小马的车行驶了2小时后发生故障，小马原地检修用了20分钟后以原速度的80%行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AB上一点，，动点P从点A出发，沿着A→C→B方向运动至点B处停止．连接DP、BP，设点P的运动路程为x，△BDP的面积为y．
（1）直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请在图2中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）图2中已经画出在第一象限的图象，根据函数图象，直接写出当y＞y1时，自变量x的取值范围（保留一位小数）．
24．（10分）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东15°方向．在商店C北偏西30°，且刚好在小刚家西北方向，AC＝4千米（参考数据≈1.4，．
（1）求小明家到学校的距离（答案保留整数）；
（2）一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线CB继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按25km/h沿路线DB直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为40km/h（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由．
25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点Q作QH∥x轴交BC于点H，求的最大值以及点P的坐标；
（3）将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点（1，﹣4），记平移后的点C对应点为C'，连接AC'，点G为平移后新抛物线上一动点，若满足∠AC'G＝∠OCB，直接写出符合题意所有点G的横坐标．
26．（10分）已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点．
（1）如图1，点P在△ABC内部，连接AP并延长交BC于点D，连接BP并延长交AC于点E，若BD＝CE，求∠APB的度数：
（2）如图2，点P，D在△ABC外部，满足DC＝DP，连接CP，DP，DC，DA，BP，其中E为BP中点，连接AE，DE；若∠ACD+∠CBP﹣∠DPB＝60°，求证；
（3）如图3，点P在△ABC外部，∠APC＝135°，将△ABC沿着AC翻折，得到△AB′C，连接B′P，M为线段AP上一点，且，连接B′M；若AB＝6，当线段B′P的长取最小值时，直接写出△AB′M的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．B．3C．D．﹣0.3
【解答】解：倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，
∴﹣3的倒数为，
故选：C．
2．（4分）函数y＝的图象经过点A（2，﹣1），则k的值为（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．
∵函数y＝的图象经过点A（2，﹣1），
∴﹣1＝，
解得k＝﹣2．
故选：D．
3．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误，不符合题意；
csA＝，故选项B正确，符合题意；
tanA＝，故选项C错误，不符合题意；
tanB＝，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
4．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADE
C．∠C＝∠AEDD．AE•BC＝AC•DE
【解答】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意；
B、符合两角法，故本选项正确，不符合题意；
C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意；
D、由AE•BC＝AC•DE，得，不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．2B．6C．8D．9
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，
∴AB：DE＝OB：OE＝2：3，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△DEF＝S△ABC＝×4＝9．
故选：D．
6．（4分）若m＜﹣1＜m+1，则整数m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：根据题意解不等式组，
得﹣2＜m＜﹣1，
∵m是整数，
∴m＝1．
故选：B．
7．（4分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．图象顶点坐标为（3，﹣1）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【解答】解：关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，
a＝2＞0，开口向上，A不符合题意；
对称轴为直线x＝3，B不符合题意；
顶点坐标为（3，1），C不符合题意；
当x＜3时，y随x的增大而减小，D符合题意；
故选：D．
8．（4分）有机化学中“烷烃”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…，可分别按如图对应展开，则C10Hm中m的值是（ ）
A．18B．20C．22D．24
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形的对应的分子式为CH4，
第2个图形的对应的分子式为C2H6，
第3个图形的对应的分子式为C3H8，
…，
所以第n个图形的对应的分子式为∁nH2n+2，
当n＝10时，
2n+2＝22，
即第10个图形的对应的分子式为C10H22．
故选：C．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠DAF＝∠DCE，
∵AF＝CE，
∴△DFA≌△DEC（SAS），
∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，
∵BF＝2AF，
∴AF＝1，BF＝2，
∴DF＝＝＝DE，
∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF＝2，
∵FH∥BC，
∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，
又∵∠BAC＝45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴FH＝AF＝CE，
∵∠FGH＝∠EGC，
∴△FGH≌△EGC（AAS），
∴FG＝EG，
∵∠ABC＝90°，
∴BG＝EF＝，
故选：A．
10．（4分）已知有序代数式串：x，x﹣1，（x≠0，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，x﹣1，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，x﹣1，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，x﹣1，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为（x﹣1）2；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式÷＝，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，x﹣1，，，
故①正确；
依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，x﹣1，，，；
第5次操作后得到新的代数式串：x，x﹣1，，，，x；
第6次操作后得到新的代数式串：x，x﹣1，，，，x，x﹣1；
第7次操作后得到新的代数式串：x，x﹣1，，，，x，x﹣1，；
，
观察可知，从第7次操作开始，第x次操作与第（n﹣6）次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，
故②错误；
观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照：x，x﹣1，，，的顺序循环，每个循环的积为1，
第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，2026÷6＝，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数的积为：x•（x﹣1）••＝，
∴第2024次操作后得到的代数式串之积为（x﹣1）
故③错误；
综上可知，正确的个数是1，
故选B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：sin60°﹣cs30°﹣tan45°＝ ﹣1 ．
【解答】解：sin60°﹣cs30°﹣tan45°
＝﹣﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（4分）如果，那么＝ ．
【解答】解：给的分子分母同除y2，得＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 66° ．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△CDF是等边三角形，
∴CB＝CF＝CD，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD＝＝108°，
设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°，
根据题意得：∠CBF+∠BCD+∠CDF+∠BFD＝180°×（4﹣2），
即x+108+60+x+60＝360，
解得：x＝66，
∴∠CBF＝66°．
故答案为：66°．
14．（4分）如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和2个小灯泡L1，L2，任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是 ．
【解答】解：由电路图可知，闭合开关S1，S3时，小灯泡L1发亮，闭合开关S2，S3时，小灯泡L2发亮．
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的结果有：（S1，S3），（S2，S3），（S3，S1），（S3，S2），共4种，
∴任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是＝．
故答案为：．
15．（4分）一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为 ．
【解答】解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
16．（4分）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a有 ﹣2，0 ．
【解答】解：分式方程去分母得：a﹣3x﹣3＝1﹣x，
解得：x＝，
由分式方程有负整数解，得到＜0且≠﹣1，即a＜4，且a≠2，
不等式组整理得：，
由解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
则整数a＝﹣2，0．
故答案为：﹣2，0．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，连接CD．将△BCD沿CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC⊥DE于点F，BC＝4，则AF的长度为 ．
【解答】解：取BC中点H，连接AH，取BH中点G，连接DG，作DM⊥CE于点M．
∵AB＝AC，H为BC的中点，
∴AH⊥BC，AD＝BD，BH＝HC＝2．
∵点D是AC的中点，∠AHC＝90°，
∴DG是△AHB的中位线，
∴DG∥AH，
∴∠DGC＝∠AHC＝90°，
∴DG⊥BC于点G，
设EF＝a，AD＝x，由折叠可知AD＝BD＝DE＝x，则DF＝x﹣a，
∵AB＝AC，
∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，
又由折叠得∠ABC＝∠CED，C E＝B C＝4，
∴∠ACB＝∠CED，
∴cs∠ACB＝cs∠CED，即，
∴，
解得：，
∴，
∵DG是△AHB的中位线，
∴，AH＝2DG，
∴CG＝3，
由折叠知∠DEM＝∠DBG，ED＝BD，
在△EMD和△BGD中，
，
∴△EMD≌△BGD（AAS），
∴DG＝MD．
∵DE⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠DEC+∠ECF＝90°．
又∵∠BAH+∠ABC＝90°，且∠ABC＝∠DEC，
∴∠ECF＝∠BAH，
∴∠ECF+∠ACB＝90°，
∴∠DMC＝∠MCG＝∠CGD＝90°，
∴四边形MCGD是正方形，
∴DG＝CG＝3，
∴AH＝2DG＝6．
在 Rt△AHB中，AH2+HB2＝AB2，
∴62+32＝（2x）2，
解得：，
∴，，即，，
在Rt△AFD中，．
故答案为：．
18．（4分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“差双数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1632，∵1+6﹣（3+2）＝2，∴1632是“差双数”，F（1632）＝1+6+3+2＝12；m＝6397，∵6+3﹣（9+7）＝﹣7≠2，∴6397不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 3432 ；已知M，N均为“差双数”，其中M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d（1≤a≤4，0≤b≤3，0≤c≤9，1≤d≤9，1≤x≤9，a，b，c，d，x是整数），已知F（M）+F（N）﹣2能被6整除，且为整数，则满足条件的所有的M的值之和为 10428 ．
【解答】解：∵与都是“差双数”，
∴（5+k）﹣（4+1）＝2，（3+s）﹣（t+2）＝2．
∴k＝2，s﹣t＝1．
∵，
∴5+2+4+1＝3+s+t+2，
∴s+t＝7．
∴．
解得：．
∴“差双数”＝3×1000+4×100+3×10+2＝3432；
∵M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d，
∴M＝2a×1000+b×100+c×10+d，N＝x•1000+3b•100+3×10+（10﹣d）．
∴M千位上的数字是2a，百位上的数字是b，十位上的数字是c，个位上的数字是d，N千位上的数字是x，百位上的数字是3b，十位上的数字是3，个位上的数字是10﹣d．
∴F（M）＝2a+b+c+d，F（N）＝x+3b+3+10﹣d＝x+3b+13﹣d．
∵M，N均为“差双数”，
∴（2a+b）﹣（c+d）＝2，（x+3b）﹣（3+10﹣d）＝2．
∴2a+b＝2+c+d，x+3b＝15﹣d．
∴F（M）＝2c+2d+2，F（N）＝28﹣2d．
∴F（M）+F（N）﹣2＝2c+2d+2+28﹣2d﹣2＝2c+28，
＝＝．
∵F（M）+F（N）﹣2能被6整除，
∴＝＝4+是整数．
∵0≤c≤9，且c为整数，
∴c＝1或c＝4或c＝7．
当c＝1时，＝＝．
∵为整数，1≤d≤9，d为整数，
∴d＝2或d＝6；
当c＝4时，＝＝．
∵为整数，1≤d≤9，d为整数，
∴d不存在；
当c＝7时，＝＝．
∵为整数，1≤d≤9，d为整数，
∴d不存在．
①c＝1，d＝2．
∵2a+b＝2+c+d，
∴2a+b＝5．
∵1≤a≤4，0≤b≤3，
∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝1．
∵x+3b＝15﹣d．
当a＝2，b＝1，c＝1，d＝2时，x＝10，不符合题意，舍去．
∴M＝2000a+100b+10c+d＝2312．
②c＝1，d＝6．
∵2a+b＝2+c+d，
∴2a+b＝9．
∵1≤a≤4，0≤b≤3，
∴a＝3，b＝3，或a＝4，b＝1．
∵x+3b＝15﹣d．
当a＝3，b＝3，c＝1，d＝6时，x＝0，不符合题意，舍去．
∴M＝2000a+100b+10c+d＝8116．
∴满足条件的所有的M的值之和为：2312+8116＝10428．
故答案为：3432，10428．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab
＝﹣4a2﹣2b2；
（2）原式＝•
＝﹣•
＝﹣．
20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝ AD
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴ ∠BAE＝∠DAN
∴△ABF≌ △ADN
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 两交点到顶点的距离相等 .
【解答】解：作图如下：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
AB＝AD，
∠ABC＝∠ADC，
，
∵AE⊥BC，AM⊥CD，
∴∠AEB＝∠AMD＝90°，
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°，
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°，
∴∠BAE＝∠DAN，
∴△ABF≌△ADN，
∴AF＝AN，
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等．
故答案为：①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．
21．（10分）北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75；
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ 88 ，b＝ 77.5 ，c＝ 25 ；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
【解答】解：（1）∵被抽取的学生测试得分的所有数据中，88出现3次是出现次数最多的数据，
∴a＝88；
∵C组占比为：＝25%，
∴c＝25；
∵九年级被抽取的学生测试得分A组有：20×15%＝3（个），B组有：20×（100%﹣15%﹣25%﹣30%﹣10%）＝4（个），
∴九年级被抽取的学生测试得分的中位数是第10，第11个数据是C组的77，78，
∴b＝＝77.5．
故答案为：88，77.5，25；
（2）答案不唯一，比如：
八年级更高．理由如下：
因为八，九年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数80.5分大于九年级成绩的中位数77.5分，所以八年级的学生对事件的关注与了解程度更高；
（3）∵八年级处于C组的有4个数据，占比＝20%，九处于C组的占比25%，
∴估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有20%×900+25%×800＝380（人），
答：估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人．
22．（10分）上周末，小马约上小唐一起出发去离学校240km的A地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前18分钟到达A地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米/小时）
（2）A地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往B地，小马的车行驶了2小时后发生故障，小马原地检修用了20分钟后以原速度的80%行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
【解答】解：（1）设小马的车速为x千米/小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，
解得x＝100，
经检验x＝100是原方程的解，
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为100千米/小时和75千米/小时；
（2）设小唐的行驶速度提高y千米/小时，
由题意得：，
解得：y≥30，
答：小唐的行驶速度至少提高30千米/小时．
23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AB上一点，，动点P从点A出发，沿着A→C→B方向运动至点B处停止．连接DP、BP，设点P的运动路程为x，△BDP的面积为y．
（1）直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请在图2中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）图2中已经画出在第一象限的图象，根据函数图象，直接写出当y＞y1时，自变量x的取值范围（保留一位小数）．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥AB于点H，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，则AB＝4，
∵，
∴AD＝，
∵AP＝x，∠A＝45°，
∴PH＝x，
当点P在AC上运动时，
则y＝BD•PH＝×3×x＝x；
当点P在BC上运动时，
同理可得：y＝×3×＝﹣x+12，
即y＝；
（2）画图如下：
性质：①增减性：当0＜x＜4时，y随x的增大而减增大，当4＜x＜8时，
y随x的增大而增减小，
②最值：当x＝4时，函数有最大值为6；
③对称性：函数图象关于直线 x＝4 轴对称；
（2）画图如下：
性质：①增减性：当0＜x＜4时，y随x的增大而减增大，当4＜x＜8时，
y随x的增大而增减小，
②最值：当x＝4时，函数有最大值为6；
③对称性：函数图象关于直线 x＝4 轴对称；
（3）由图象得，当y＞y1时，自变量x的取值范围2.3＜x＜7.3．
24．（10分）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东15°方向．在商店C北偏西30°，且刚好在小刚家西北方向，AC＝4千米（参考数据≈1.4，．
（1）求小明家到学校的距离（答案保留整数）；
（2）一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线CB继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按25km/h沿路线DB直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为40km/h（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由．
【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M，
由题意得：∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝180﹣75°﹣60°＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∴sin∠ACM＝sin60°＝＝，AC＝4km，
∴AM＝2km，
∴AB＝2≈5km，
∴小明家到学校的距离约为5km；
（2）小刚先到学校，理由如下：
过A作AN⊥BD于N，
∵∠ACM＝60°，
∴∠CAM＝90°﹣60°＝30°，
∴CM＝AC＝2km，
∵△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝CM+BM＝（2+2）km，
∵∠D＝45°，∠BAD＝75°，
∴∠ABN＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BAN＝90°﹣60°＝30°，
∴NB＝AB＝（km），
∴AN＝BN＝3（km），
∵△AND是等腰直角三角形，
∴DN＝AN＝3km，
∴BD＝（+3）km，
∵小明到学校用的时间是×60+3≈17.1（分钟），小刚到学校用的时间是×60≈16.1（分钟），
∴小刚先到学校．
25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点Q作QH∥x轴交BC于点H，求的最大值以及点P的坐标；
（3）将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点（1，﹣4），记平移后的点C对应点为C'，连接AC'，点G为平移后新抛物线上一动点，若满足∠AC'G＝∠OCB，直接写出符合题意所有点G的横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
同理可得：直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣3），
∴PQ＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
∵QH∥x轴，
∴点H的纵坐标为﹣t﹣3，代入y＝3x﹣3，
得﹣t﹣3＝3x﹣3，
解得：x＝﹣t，
∴H（﹣t，﹣t﹣3），
∴QH＝﹣t﹣t＝﹣t，
∴PQ+QH＝﹣t2﹣3t+×（﹣t）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣2时，PQ+QH取得最大值4，此时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴OB＝1，OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠OCB＝＝，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，相当于向右平移m个单位，向下平移m个单位，
∴平移后的新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣m）2﹣4﹣m，
∵新抛物线经过点（1，﹣4）时，
∴﹣4＝（1+1﹣m）2﹣4﹣m，
解得：m＝1或4，
当m＝1时，新抛物线的解析式为y＝x2﹣5，则C′（1，﹣4），如图，
在x轴上取点L（﹣1，0），连接C′L交新抛物线于点G，过点L作LJ⊥AC于J，则AL＝2，
∵OA＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝3，
∴∠LAJ＝45°，
又∠AJL＝90°，
∴△ALJ是等腰直角三角形，
∴AJ＝LJ＝，
∴CJ＝2，
∵CC′＝＝，
∴C′J＝CC′+CJ＝3，
∴tan∠AC′L＝＝＝，
∴tan∠AC′L＝tan∠OCB，
∴∠AC′L＝∠OCB，即∠AC'G＝∠OCB，
设直线C′L的解析式为y＝k1x+b1，则，
解得：，
∴直线C′L的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立，
解得：或（舍去），
∴G（﹣3，4）；
在y轴上取点S（0，﹣），连接C′S交新抛物线于点G，过点S作ST⊥AC于点T，
则CS＝，
∵∠SCT＝∠ACO＝45°，∠CTS＝90°，
∴△CST是等腰直角三角形，
∴CT＝ST＝CS＝，
∴C′T＝CC′﹣CT＝﹣＝，
∴tan∠AC′G＝＝＝，
∴∠AC′G＝∠OCB，
同理可得直线C′S的解析式为y＝﹣x﹣，
联立，
解得：或（舍去），
∴G（﹣，﹣）；
当m＝4时，新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣8，则C′（3，﹣8），如图，
在y轴上取点L（0，1），连接C′L交新抛物线于点G，过点L作LJ⊥AC于点J，
同理可得∠AC′G＝∠OCB，G（0，1）；
在y轴上取点S（0，﹣5），连接C′S交新抛物线于点G，过点S作ST⊥AC于点T，
同理可得∠AC′G＝∠OCB，G（，﹣）；
综上所述，符合题意所有点G的横坐标为﹣3或﹣或0或．
26．（10分）已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点．
（1）如图1，点P在△ABC内部，连接AP并延长交BC于点D，连接BP并延长交AC于点E，若BD＝CE，求∠APB的度数：
（2）如图2，点P，D在△ABC外部，满足DC＝DP，连接CP，DP，DC，DA，BP，其中E为BP中点，连接AE，DE；若∠ACD+∠CBP﹣∠DPB＝60°，求证；
（3）如图3，点P在△ABC外部，∠APC＝135°，将△ABC沿着AC翻折，得到△AB′C，连接B′P，M为线段AP上一点，且，连接B′M；若AB＝6，当线段B′P的长取最小值时，直接写出△AB′M的面积．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAP+∠ABP＝∠ABP+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝180°﹣（∠BAP+∠ABP）＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：延长DE至N，使EN＝DE，连接AN，BN，如图2，
∵E为BP中点，
∴BE＝EP，
又∵∠BEN＝∠DEP，
∴△BEN≌△PED（SAS），
∴BN＝DP，∠PBN＝∠DPB，
∵DC＝DP，
∴BN＝CD，
∵∠CBP﹣∠DPB＝∠CBP﹣∠PBN＝∠NBC，∠ACD+∠CBP﹣∠DPB＝60°，
∴∠ACD+∠NBC＝60°，
∵∠NBC+∠ABN＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝∠ABN，
∵BN＝CD，AB＝AC，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴∠BAN＝∠CAD，AN＝AD，
∴∠BAC＝∠NAC＝60°，
∴△ADN为等边三角形，
∵DE＝EN，
∴AE⊥DN，
∵∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°
∴AD＝2DE，
∴；
（3）解：取AP、CP的垂直平分线交点O，连OA、OC、OP、OB′，如图3，
∴OA＝OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP，∠OAP＝∠OPA，
∴∠OAP+∠APC+∠OCP＝∠OPA+∠OPC+∠APC＝2∠APC＝270°，
∴∠AOC＝360°﹣∠OAP﹣∠APC﹣∠OCP＝90°，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴，
∴为定值，
又∵O为定点，B为定点，
∴OB为定长，
由两点之间线段最短知OP+B′P≥OB′，
即B′P≥OB′﹣OP，当O、B′、P在一条直线时B′P有最小值，
设OB′交AC于Q，
由折叠知AB′＝AB＝BC＝B′C，
又∵OB′＝OB′，OA＝OC，
∴△OAB′≌△OCB′（SSS），
∴∠AOB′＝∠COB′＝∠AOC＝45°，∠AB′O＝∠CB′O＝∠AB′C＝30°，
∵OA＝OC，
∴OQ垂直平分AC，
∴AQ＝3＝QC，
又∵∠AOC＝90°，
∴OQ＝AQ＝3，
∴，
∴．
∴S△AOB′＝OB′×AQ＝×（3+3）×3＝，
又∵，，
∴，
∴＝＝，
∴S△APB′＝＝＝，
∵＝，
∴S△AMB′＝＝＝．平均数
众数
中位数
八年级
77
a
80.5
九年级
77
89
b
S1
S2
S3
S1
（S1，S2）
（S1，S3）
S2
（S2，S1）
（S2，S3）
S3
（S3，S1）
（S3，S2）
平均数
众数
中位数
八年级
77
a
80.5
九年级
77
89
b