北师大版九年级上册数学第一次月考测试卷（含答案）

这是一份北师大版九年级上册数学第一次月考测试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+1x2=0 B.ax²+bx+c=0 C.(x--1)(x+2)=0 D.3x²−2xy−5y²=0
2.四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中能判定此四边形是正方形的是( )
①AC=BD,AB∥CD,AB=CD;②AD∥BC,∠BAD=∠BCD;③AO=CO,BO=DO,AB=BC;④AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知方程 x²+px+q=0的两个根分别是2和-3，则 x²−px+q可分解为( )
A.(x+2)(x+3) B.(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x+3) D.(x+2)(x--3)
4.如图所示,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点 P,Q,K 分别为线段BC,CD,BD 上任意一点,则PK+QK 的最小值为( )
A.1 B. 3
C.2 D.3+1
5.已知α,β是方程. x²+2006x+1=0的两个根，则 1+2008α+α²1+2008β+β²的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.用配方法解一元二次方程 x²−6x−4=0,，下列变形正确的是( )
A.x−6²=−4+36 B.x−6²=4+36
C.x−3²=−4+9 D.x−3²=4+9
7.如图所示，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段 AB 长度的一半的长为半径画弧，相交于点 C，D，则直线CD 即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
8.教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了 240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是( )
A. x(x+1)=240 B. x(x-1)=240 C.2x(x+1)=240 D.12xx+1=240
9.如图所示,在矩形ABCD 中,边AB的长为3,点E,F 分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF 是菱形,且 EF=AE+FC,则BC的长为( )
A.23 B.33 C.63 D.923
10.如图所示,在一张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,点 E,F 分别在AD,BC上,将纸片 ABCD 沿直线EF折叠，点C落在AD 上的一点H 处，点 D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形 CFHE 是菱形；②CE平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点 H 与点A 重合时, EF=25.以上结论中，你认为正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)
11.关于x的方程 kx2−4x−23=0有实数根，则k的取值范围是 .
12.如图,AB∥GH∥CD,点 H 在 BC 上,AC 与 BD 交于点G, AB=2,BG:DG=2:3,,则GH 的长为
13.如图所示,在四边形 ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H 分别为边AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
14.将相同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，以此类推，摆放2 014个时,实线部分长为 .
15.已知 3x²−2x−1=0的二根为x₁,x₂,则 c1+x2= ,x1x2= ,1x1+1x2= ,x12+ x22= ,x1−x2= .
16.如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点C'处,折痕为EF,若 ∠ABE=20°,那么∠EFC'的度数为 度.
17.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为 .
18.如图,菱形ABCD 与矩形BNDM 有公共的对角线BD,M,N在AC 上,且 AC=2BD,则 DA:DM=
三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)解下列方程:
12x−3²=9
23x²−10x+6=0.题号
一
二
三
总分
得分




20.(8分)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点, AE=BC,DF⊥AE,垂足为 F,连接DE.求证: AF=BE.
21.(10分)某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元?
22.(10分)如图所示,在. Rt△ABC中, ∠ACB=90°,过点 C 的直线. MN‖AB,D M 为AB 边上一点，过点D 作 DE⊥BC,,交直线 MN于E,垂足为 F,连接CD,BE.
(1)求证 CE=AD;
(2)当D为AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊的四边形?说明你的理由；
(3)若D为AB 中点,则当 ∠A的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由.23.(10分)已知关于x的一元二次方程. x²+m+3x+m+1=0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x₁,x₂ 是原方程的两根,且 x₁,x₂ |x1−x2|=22,求m的值，并求出此时方程的两根.
24.(12分)问题情境:
如图(1)所示，四边形ABCD 是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE 平分 ∠DAM.
探究展示：
(1)求证 AM=AD+MC;
2AM=DE+BM是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
拓展延伸：
(3)若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图(2)所示，探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断，不需要证明.
参考答案
1. C 2. A 3. D 4. B 5. D 6. D 7. B 8. B 9. B 10. C11.k≥—6 12. 65 13.12 14.5 035
15. 23- 13-2 109± 4316.125
17.25或36 18.5:2
19.解(1)直接开平方,得
2x-3=±3,
∴2x--3=3或2x--3=--3,
∴x₁=3,x₂=0;
(2)方程两边同时除以3，得
x2−103x+2=0
移项，得： x2−103x=−2,
配方，得
x2−103x+532=−2+532,
即 x−532=79.
∴x−53=±73,
∴x1=5+73,x2=5−73.
20.证明∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD‖BC,∴∠DAE=∠BEA,
在 △ABE和 △DFA中 ∠B=∠DFA∠BEA=∠FAD,AE=AD
∴△ABE≅△DFAAAS,∴AF=BE.
21.解 设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得((40-x)(20+2x)=1200,
整理，得 x²−30x+200=0,解得 x₁=10,x₂=20.
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x₁=10应略去,∴x=20.
答：每件衬衫应降价 20元.
22.(1)证明∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.
(2)解 四边形BECD是菱形.
理由:∵D为AB 中点,∴AD=BD.
由(1)知CE=AD,∴BD=CE.
又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB 中点,
∴CD=BD,∴四边形BECD 是菱形.
(3)解 当. ∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由:∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC.
又∵D为AB 中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
由(2)知四边形BECD是菱形,
∴四边形BECD是正方形.
23.(1)证明 ∴b²−4ac=m+3²−4m+1=m+1²+4,
∴无论m取何值是， m+1²+4的值恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根.
(2)解∵x₁,x₂是原方程的两根，
∴x₁+x₂=−m+3,x₁x₂=m+1.
∵|x1−x2|=22,
∴x1−x22=222=8,
∴x₁+x₂²−4x₁x₂=8,∴−m+3²−4m+1=8,
∴m²+2m−3=0,解得 m₁=−3,m₂=1.
当m=-3时，原方程化为 x₂−2=0,解得 x1=2,x2= −2.
当m=1时，原方程化为 x₂+4x+2=0,解得 x₁=−2+ 2,x2=−2−2.
24.(1)证明延长AE,BC交于点N,如图(1)所示.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中, ∠DAE=∠CNE,∠AED=∠NEC,DE=CE,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD−MC
(2)解 AM=DE+BM成立.
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中, ∠FAB=∠DAE,AB=AD,∠ABF=∠D=90∘,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)解(1)成立;(2)不成立.