安徽省合肥蜀山区七校联考2025届数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份安徽省合肥蜀山区七校联考2025届数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，作BF⊥AM于点F，连接BE. 若AF=1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．
2、（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3、（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数x与方差S2：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4、（4分）点（3，-4）到x轴的距离为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．-4
5、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，圆O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若，则（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案都不对
7、（4分）某青年排球队12名队员的年龄情况如下表所示：
这12名队员的平均年龄是（ ）
A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁
8、（4分）下表是校女子排球队12名队员的年龄分布：
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A．中位数是14B．中位数是14.5C．众数是15D．众数是5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知菱形的边长为4，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为___________．
10、（4分）一种盛饮料的圆柱形杯子（如图），测得它的内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出5.2 cm，则吸管的长度至少为_______cm．
11、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，△BCD为等边三角形，点E为△BCD围成的区域（包括各边）内的一点，过点E作EM∥AB，交直线AC于点M，作EN∥AC，交直线AB于点N，则的最大值为_____.
12、（4分）我区有15所中学，其中九年级学生共有3000名．为了了解我区九年级学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．
①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．
则正确的排序为________ （填序号）
13、（4分）已知不等式组的解集为，则的值是________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB边上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
求证：四边形ADCE是菱形．
15、（8分）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、.
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出时，的取值范围.
16、（8分）已知：如图，一次函数与的图象相交于点.
（1）求点的坐标；
（2）结合图象，直接写出时的取值范围.
17、（10分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1．
（1）在图中画出位似中心点O；
（1）若AB=1cm，则A′B′的长为多少?
18、（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如下图
所示：
（1）根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为____________．
20、（4分）从多边形的一个顶点出发能画5条对角线，则这个多边形的边数是_______.
21、（4分）若ab，则32a__________32b（用“＞”、“”或“＜”填空）．
22、（4分）若，则等于______．
23、（4分）在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，如．根据这个规则可得方程的解为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：
（1）＝2+；
（2）．
25、（10分）如图，直线y＝x＋9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．
26、（12分）某经销商从市场得知如下信息：
他现有40000元资金可用来一次性购进该品牌空调扇和电风扇共100台，设该经销商购进空调扇台，空调扇和电风扇全部销售完后获得利润为元.
（1）求关于的函数解析式；
（2）利用函数性质，说明该经销商如何进货可获利最大？最大利润是多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
先证明ΔABF≌ΔDAE得到BF=AE，设BF=x，则AE=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积=得，解之即可求得BF的长.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90º，
∴∠DAE+∠BAF=90º，
∵BF⊥AM，DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90º，
∴∠ABF+∠BAF=90º，
∴∠ABF=∠DAE，
在ΔABF和ΔDAE中
∴ΔABF≌ΔDAE(AAS)，
∴BF=AE，DE=AF=1
设BF=x，则AF=x，
由四边形ABED的面积为6得：
，即，
解得：（舍去），
∴BF=3，
故选：B.
本题主要考查正方形的性质、三角形面积公式以及全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的知识是解答的关键.
2、D
【解析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
3、A
【解析】
根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
【详解】
∵S甲2=3.5，S乙2=3.5，S丙2=12.5，S丁2=15，
∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，
∵甲=175， 乙=173，
∴甲=乙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故选A．
4、B
【解析】分析：-4的绝对值即为点P到x轴的距离．
详解：∵点P到x轴的距离为其纵坐标的绝对值即|−4|=4，
∴点P到x轴的距离为4.
故选B.
点睛：本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值.
5、B
【解析】
根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论，
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=27°，
故选B.
本题主要考查了圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握这些性质是解题的关键.
6、B
【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，4-x=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=1，
所以，三角形的周长为1．
故选B.
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
7、C
【解析】
根据平均数的公式 求解即可．
【详解】
这12名队员的平均年龄是
（岁），
故选：C．
本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
8、C
【解析】
根据众数、中位数的定义逐一计算即可判断．
【详解】
观察图表可知：人数最多的是5人，年龄是1岁，故众数是1．
共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是1．
故选：．
本题主要考查众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1或3
【解析】
数形结合，画出菱形，根据菱形的性质及勾股定理即可确定BP的值
【详解】
解：连接AC和BD交于一点O，
四边形ABCD为菱形
垂直平分AC,



点P在线段AC的垂直平分线上，即BD上
在直角三角形APO中，由勾股定理得


如下图所示，当点P在BO之间时，BP=BO-PO=2-1=1;
如下图所示，当点P在DO之间时，BP=BO+PO=2+1=3
故答案为：1或3
本题主要考查了菱形的性质及勾股定理，熟练应用菱形的性质及勾股定理求线段长度是解题的关键.
10、18.2
【解析】
由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：；
故吸管的长度最少要：13+5.2=18.2（cm）．
故答案为：18.2.
本题考查勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
11、
【解析】
作辅助线，构建30度的直角三角形将转化为NH，将，即：过A点作AM∥BC，过作交的延长线于点，，由△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AP的最大值时E在D点时，通过直角三角形性质和勾股定理求出DH’即可得到结论．
【详解】
解：过A点作AP∥BC，过作交的延长线于点，

，，
四边形是平行四边形，
设，，
∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，
∴∠CAM=90°，∠NAH=30°，
中，，
∵NE∥AC，NH∥AC，
∴E、N、H在同一直线上，
，
由图可知：△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AM距离最大的点在D点，
过D点作，垂足为.
当在点时，=取最大值.
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，，
∴AC=3，AB=，四边形ACGH’是矩形，
∴，
∵△BCD为等边三角形，，
∴=,
∴，
∴的最大值为，
故答案为．
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度．解题关键是根据在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半对进行转化，使得最大值问题转化为点到直线的距离解答.
12、②①④⑤③
【解析】
根据统计调查的一般过程: ①问卷调查法……收集数据,②列统计表……整理数据,③画统计图……描述数据,所以解决上述问题要经历的及格重要步骤进行排序为: ②设计调查问卷,①收集数据,④整理数据,⑤分析数据,③用样本估计总体,故答案为: ②①④⑤③.
13、
【解析】
根据不等式的解集求出a,b的值，即可求解.
【详解】
解得
∵解集为
∴=1，3+2b=-1，
解得a=1,b=-2,
∴=2×（-3）=-6
此题主要考查不等式的解集，解题的关键是熟知不等式的性质及解集的定义.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析
【解析】
试题分析：欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直即可．
证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC=DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD．
∴EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°．
∴平行四边形ADCE是菱形．
15、 (1)，；(2)S△ABC=；(3)时，.
【解析】
（1）把点P（-2，-5）分别代入函数y1=2x+b和y2=ax-3，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【详解】
(1)∵将点代入，得，解得.
将点代入，得，解得.
这两个函数的解析式分别为和.
(2)∵在中，令，得.
.
∵在中，令，得，
.
.
(3)由函数图象可知，当时，.
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
16、（1）点A的坐标为；（2）
【解析】
（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【详解】
解：（1）依题意得：，
解得：，
∴点A的坐标为；
(2) 由图象得，当时，的取值范围为：.
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17、（1）见解析；（1）的长为
【解析】
（1）根据位似图形的性质直接得出位似中心即可；
（1）利用位似比得出对应边的比进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：连接BB′、CC′，它们的交点即为位似中心O；
（1）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1，
AB=1cm，
∴A′B′的长为4 cm．
此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于对应边的比得出是解题关键．
18、（1）（0≤x≤10）；（0≤x≤6）（2）（3）A加油站到甲地距离为150km或300km
【解析】
（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；
（2）分别根据当0≤x＜时，当≤x＜6时，当6≤x≤10时，求出即可；
（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．
【详解】
（1）设y1=k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
∴10k1=600，
解得：k1=60，
∴y1=60x（0≤x≤10），
设y2=k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
，
解得：
∴y2=-100x+600（0≤x≤6）；
（2）由题意，得
60x=-100x+600
x=，
当0≤x＜时，S=y2-y1=-160x+600；
当≤x＜6时，S=y1-y2=160x-600；
当6≤x≤10时，S=60x；
即；
（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（-100x+600）-60x=200，
解得x=，
此时，A加油站距离甲地：60×=150km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x-（-100x+600）=200，
解得x=5，此时，A加油站距离甲地：60×5=300km，
综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=30，BD=60，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=1．
故答案为：1．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
20、1
【解析】
根据从n边形的一个顶点最多可以作对角线（n-3）条，求出边数即可．
【详解】
解：∵从多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n-3=5，
解得n=1．
故答案为：1．
本题考查多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
21、
【解析】
根据不等式的性质进行判断即可
【详解】
解：∵ab，
∴2a2b
∴32a32b
故答案为：＜
本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
22、
【解析】
依据比例的基本性质，即可得到5a=7b，进而得出=.
【详解】
解：∵，
∴5a-5b=2b，
即5a=7b，
∴=，
故答案为：.
本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是利用比例的基本性质进行化简变形．
23、
【解析】
运算“※”的意思是两数的倒数之和．由于是在正数范围内，所以-2可看作※后面的x的系数，根据新定义列出式子计算即可．
【详解】
∵，
∴，
去分母得：，
解得：
经检验是原方程的解．
故答案为．
本题除了定义运算外，还考查简单的分式方程的解法．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）x＝0；（1）x＝1．
【解析】
(1)两边同时乘以x-1，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可；
(1)两边同时乘以3(x-3)，化为整式方程，解整式方程后进行验根即可得.
【详解】
(1)两边同时乘以x-1，得：
3x﹣5＝1(x﹣1)﹣x﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x-1≠0，
所以x=0是分式方程的解；
(1)两边同时乘以3(x-3)，得
1x﹣1＝11x﹣11+x﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，3(x-3)≠0，
所以x=1是分式方程的解．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法以及注意事项是解题的关键.解分式方程要进行验根.
25、（1）；（2）或
【解析】
（1）首先根据一次函数的解析式即可得出A，B的坐标，然后利用勾股定理求出AB的长度，然后根据角平分线的性质得出，再利用即可得出CD的长度，从而求出点C的坐标；
（3）首先利用平行四边形的性质找出所有可能的M点，然后分情况进行讨论，利用待定系数法即可求解．
【详解】
（1）令，则，
令，则，解得 ，
∴，
，
．
过点C作交AB于点D，
∵BC平分， ，
．
，
，
解得 ，
．
（2）如图，能与A，B，C构成平行四边形的点有三处：，
①点C与在同一直线，是经过点C与AB平行的直线，设其直线的解析式为 ，
将代入中，
得，解得 ，
∴CM所在的直线的解析式为；
②∵四边形是平行四边形，
∴ ．
，
．
设直线 的解析式为 ，
将代入解析式中得
解得
∴直线解析式为 ，
综上所述，CM所在的直线的解析式为或．
本题主要考查一次函数与几何综合，平行四边形的判定与性质，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
26、（1）y=140x+6000（0＜x≤50）；（2）购进该品牌空调扇和电风扇各50台时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
【解析】
（1）根据利润y=（空调扇售价﹣空调扇进价）×空调扇的数量+（电风扇售价﹣电风扇进价）×电风扇的数量，根据总资金不超过40000元得出x的取值范围，列式整理即可；
（2）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
【详解】
（1）y=（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）=140x+6000，其中700x+100（100﹣x）≤40000，解得：x≤50，即y=140x+6000（0＜x≤50）；
（2）∵y=140x+6000，k=140＞0，∴y随x的增大而增大，∴x=50时，y取得最大值，此时100﹣x=100﹣50=50（台）
又∵140×50+6000=13000，∴选择购进该品牌空调扇和电风扇各50台时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
本题考查了一次函数的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调扇x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
175
173
175
174
方差S2（cm2）
3.5
3.5
12.5
15
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（名）
1
4
5
2
某品牌空调扇
某品牌电风扇
进价（元/台）
700
100
售价（元/台）
900
160