初中数学华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数随堂练习题

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册26.1 二次函数随堂练习题，共18页。
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），连接OC．
（1）求抛物线的表达式及线段AB，AC的长；
（2）若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点A，O，C，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，6），对称轴x＝﹣2交x轴于E，点D为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC＝2S△DAC．求P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．抛物线y＝ax2+bx+8（a为常数，a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P是第一象限内该抛物线上的动点．
①当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
②BC与该抛物线的对称轴l相交于点E，M是线段DE上一点，当点P在对称轴的右侧时，若△MPE是等腰直角三角形，求点M的坐标．
初三数学 二次函数综合训练一
参考答案与试题解析
一．解答题（共11小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，0），B（﹣2，4），C（﹣4，0），直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣2，4），（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4；
（2）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），
∴MG＝﹣m2+2，
∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，
∴当m＝0时，△ABM的面积最大，
此时M（0，4）；
（3）设F（x，y），
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴E（﹣1，3），
①当BE为对角线时，，
解得，
∴F（1，7）；
②当BC为对角线时，，
解得，
∴F（﹣5，1）；
③当BF为对角线时，，
解得，
∴F（﹣3，﹣1）；
综上所述：F点的坐标为（1，7）或（﹣5，1）或（﹣3，﹣1）．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x﹣1，
设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），
∴PQ＝﹣a2﹣3a，
∴S△PAB＝×3×（﹣a2﹣3a）＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，△PAB的面积有最大值；
（3）设点C（﹣2，y），
∵A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4），
∴AB2＝32+32＝18，BC2＝22+（y+1）2，AC2＝12+（y+4）2，
①当AB＝BC时，
∴22+（y+1）2＝18，
解得，
∴；
②当AB＝AC时，
∴12+（y+4）2＝18，
解得，
∴；
③当BC＝AC时，
∴22+（y+1）2＝12+（y+4）2，
解得y＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣2）；
综上所述：C点坐标为或或（﹣2，﹣2）．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），连接OC．
（1）求抛物线的表达式及线段AB，AC的长；
（2）若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点A，O，C，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x；
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4．
∵OA＝OB，
∴OB＝4．
Rt△AOB中，AB＝．
作CD⊥y轴于点D，
在Rt△BCD中，BC＝．
∴AC＝AB+BC＝4+2＝6；
（2）过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分．
①当S△COP：S△AOP＝1：2时，即CP：AP＝1：2．
由（2）知BC：AB＝＝1：2．
∴点P与点B重合，
∴P（0，4），
②当S△AOP：S△COP＝1：2时，即AP：PC＝1：2．
∴AP＝2．
∴点P为AB的中点．
∴P（﹣2，2）；
综上，点P的坐标为：（﹣2，2）或（0，4）；
（3）存在，理由：
设点M（m，n），
当AC为对角线时，有中点坐标公式得：
2﹣4＝m且6＝n，
即m＝﹣2，n＝6，
即点M（﹣2，6）；
当AO或AM是对角线时，同理可得：
﹣4＝m+2且0＝6+n或m﹣4＝2且n＝6，
则m＝n＝﹣6或m＝n＝6，
则点M（6，6）或（﹣6，﹣6）；
综上，点M的坐标为：（6，6），（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，6），对称轴x＝﹣2交x轴于E，点D为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC＝2S△DAC．求P的坐标；
（3）M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），点C（0，6）代入抛物线解析式，由对称轴x＝﹣2，
得，
解得，，
∴抛物线解析式为：．
（2）将x＝﹣2代入抛物线解析式得：，
∴顶点D（﹣2，8），
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，
∴，∠OAC＝∠OCA＝45°，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
将点A（﹣6，0），点C（0，6）代入，
得，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y＝x+6，
如图，设直线AC与对称轴的交点为F，将x＝﹣2代入y＝x+6＝﹣2+6＝4，
∴点F（﹣2，4），
∴DF＝4，
∴，
∴S△PAC＝2S△DAC＝2×12＝24，
设△PAC中AC边上的高为h，则，
∴，
如图，设在直线AC下方的y轴上有一点G到AC的距离为GH，且，
∵∠OCA＝45°，∠GHC＝90°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴，
∴点P在过点G与直线AC平行的直线上，
即将直线AC向下平移8个单位长度即可得到直线PG，
∴直线PG的解析式为：y＝x﹣2
联立，
解得：或，
∴点P的坐标为（2，0），（﹣8，﹣10）．
（3）存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵点A与点B关于对称轴x＝﹣2对称，点A（﹣6，0），
∴点B（2，0），
∴，
①如图，连接BC，以点C为圆心，BC的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点M，此时CM＝CB，△BCM为等腰三角形．
由图知：点M位于点C上方时，B、C、M三点共线，所以此点舍去；
点M位于点C下方时，点M与点E重合，此时点M的坐标为（﹣2，0）．
②如图，以点B为圆心，BC的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点M，此时BM＝BC，
△BCM为等腰三角形．
∵在Rt△BEM中，，BE＝4，
∴，
∴此时点M的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣）．
③如图，作线段BC的垂直平分线，与BC交于点P，与y轴交于点Q，与对称轴的交点即为所求点M，此时MB＝MC，△BCM为等腰三角形．
连接QB，∵PQ为线段BC的垂直平分线，
∴QB＝QC，点P为BC中点，
∵B（2，0），C（0，6），
∴由中点坐标公式得点P（1，3），
设OQ＝x，则QB＝QC＝6﹣x，
在Rt△OBQ中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：，
∴点Q（0，）；
设直线PQ的解析式为：y＝k1x+b1，
将P（1，3），Q（0，）代入解析式，
得，
解得，
∴直线PQ解析式为：，
将x＝﹣2代入直线PQ解析式得：，
∴此时点M（﹣2，2）．
∴综上所述：点M的坐标为（﹣2，0）或（﹣2，2）或或．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）存在．
理由：设D（t，t2+t﹣4），连接OD．
令y＝0，则x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣t2﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，此时D（﹣2，﹣4）；
（3）设点E（﹣1，t），
由点A、B、E的坐标得，AB2＝32，AE2＝9+t2，BE2＝1+（t+4）2，
当AB为斜边时，则32＝9+t2+1+（t+4）2，
解得：t＝﹣2±，
即点E（﹣1，﹣2+）或（﹣1，﹣2﹣）；
当AE为斜边时，则9+t2+1+（t+4）2＝32，
解得：t＝﹣5，
即点E的坐标为：（﹣1，﹣5）；
当BE为斜边时，则32+9+t2＝1+（t+4）2，
解得：t＝3，
即点E的坐标为：（﹣1，3）；
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴直线为x＝1，
由（1）知，C（0，﹣3），
∵A（2，﹣3），
∴点A，C关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
∴直线AB与对称轴直线x＝1的交点为点P，
设直线AB的解析式为y＝kx+c，
∵点A（2，﹣3），B（﹣1，0）在直线AB上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，
令x＝1，则y＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）设点N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0），
①当AB与MN为对角线时，AB与MN互相平分，
∴（2﹣1）＝（m+1），
∴m＝0，
∴M（0，﹣3）；
②当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，
∴（1+2）＝（m﹣1），
∴m＝4，
∴M（4，5），
③当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分
，（m+2）＝（1﹣1），
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
即：满足条件的点M坐标为（0，﹣3）或M（4，5）或（﹣2，5）．
8．抛物线y＝ax2+bx+8（a为常数，a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P是第一象限内该抛物线上的动点．
①当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
②BC与该抛物线的对称轴l相交于点E，M是线段DE上一点，当点P在对称轴的右侧时，若△MPE是等腰直角三角形，求点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
即﹣16a＝8，则a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+8①；
（2）①过点A作直线n∥BC交y轴于点N，在点C上方取点M使CM＝CN，则S△PBC＝S△ABC，
过点M作直线m∥BC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+8，
则直线n的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则点N（0，﹣2），则CN＝10，则CM＝6，
即点M（0，14），
则直线m的表达式为：y＝﹣x+14②，
联立①②得：﹣x2+3x+8＝﹣x+14，
解得：x＝2或6，
即点P的坐标为：（2，12）或（6，8）；