初中数学华东师大版（2024）九年级下册第26章 二次函数26.1 二次函数同步训练题

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册第26章 二次函数26.1 二次函数同步训练题，共37页。试卷主要包含了已知经过点，已知抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．a+b+c＜0
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，交x轴于（3，0），下列说法正确的是（ ）
A．b＜0B．b2＜4acC．a+c＝bD．2a﹣b＝0
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4ac＝0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜0
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．abc＜0
B．a+b+c＝2
C．b2﹣4ac＞0 D．当x＞﹣1时，y随x增大而减小
5．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为直线x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2﹣b2＜0； ④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）
A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：
①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．2C．5D．6
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＜0；正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：
①c＜1； ②2a+b＝0； ③b2＜4ac； ④若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
15．能确定二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b+2a＝0．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），给出下列结论：①abc＜0；②b＝2a；③4a﹣2b+c＞0；④a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（ ）
①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0．
A．4个B．3个C．2个D．1个
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0； ④b2＜4ac；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0； ②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．x1+x2＝﹣1 C．4a﹣2b+c＞0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
23．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴x＝﹣1，且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间．则下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③a﹣b＜m（am+b），其中m≠﹣1；④一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个根x1，且2＜x1＜3．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0； ②a+b+c＝2； ③； ④b＜1．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
二．填空题（共10小题）
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点为（﹣3，0），现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是： ．
27．函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）与y＝x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜1；③3a+b＝0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤4a+c＞0．其中正确的有 .（填序号）
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，经过点A（5，0），对于下列结论，其中正确的为 ．
①b＞0；②对任意实数m，满足am2+bm≤4a+2b；③c﹣3a＜0；④多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）．
30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①a＞0； ②c＞0； ③b2﹣4ac＜0； ④9a+3b+c＝0．
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 ．（填序号）
32．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④9a+3b+2c＜0；⑤点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣3，x2＝5．其中正确的有 （填序号）．
33．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0； ②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为 ．
34．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③5a+b+c＜0；④对于任意实数m（m≠1），都有a+b＞m（am+b）．其中正确结论的序号是 ．
35．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a＞c；④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论是 ．（写序号）
初三数学 二次函数图像与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．a+b+c＜0
【解答】解：由所给图形可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
当x＝1时，函数值大于零，
则a+b+c＞0．
故选：D．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，交x轴于（3，0），下列说法正确的是（ ）
A．b＜0B．b2＜4acC．a+c＝bD．2a﹣b＝0
【解答】解：如图，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，故A错误．
又抛物线与x轴交于两点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac，故B错误．
∵对称轴是直线x＝1，且抛物线过（3，0），
∴抛物线必过点（﹣1，0）．
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0．
∴a+c＝b，故C正确．
∵b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故D错误．
故选：C．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4ac＝0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜0
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
即b2﹣4ac＞0．
故B选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以a﹣b+c＝0．
故C选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
又因为抛物线开口向上，
所以当x＝2时，函数值小于零，
即4a+2b+c＜0．
故D选项正确．
故选：D．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．abc＜0
B．a+b+c＝2
C．b2﹣4ac＞0
D．当x＞﹣1时，y随x增大而减小
【解答】解：∵抛物线开口向上，a＞0，抛物线对称轴是x＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
b2﹣4ac＞0，
故C正确，不符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，
故B正确，不符合题意；
根据图象可知：当x＞﹣1，且在对称轴左侧时，y随x增大而减小，在对称轴右侧时，y随x增大而增大，故B错误，符合题意，
故选：D．
5．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为直线x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
∴①错误．
∵当x＝﹣1时，y＝0．
∴a﹣b+c＝0，
∴②错误．
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∴③正确．
∵对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0
∴④正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴⑤错误．
故选：B．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0
D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故A选项不符合题意．
将点（﹣3，0）和（1，0）代入函数解析式得，
，
两式相减得，
8a﹣4b＝0，
所以2a﹣b＝0．
故B选项不符合题意．
将b＝2a代入a+b+c＝0得，
a+2a+c＝0，
所以3a+c＝0．
故C选项不符合题意．
因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝．
又因为抛物线开口向下，
所以当x＝﹣1时，函数取得最大值a﹣b+c，
所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2+bm≤a﹣b．
故D选项符合题意．
故选：D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以，
即2a﹣b＝0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零，
所以x＝﹣3时，函数值小于零，
则9a﹣3b+c＜0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0，
又因为b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正确．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0
∴abc＞0，故①正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．
∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），
且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），故④正确．
故选：A．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①如图所示，图象开口向上，
∴a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴下方
∴c＜0，
∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确；
④由图可得，﹣＞﹣1，
∵a＞0，
∴2a＞b，
∴2a﹣b＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，a+b+c＝2，
∴a+c＝2﹣b，
∵a﹣b+c＜0，
∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1，
∴2﹣b＜1，
∴a+c＜1，故⑤正确；
综上所述，共有4个是正确的；
故选：D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴a、b同号，即b＞0，
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），
∴与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴与x轴有两个交点，
即：b2﹣4ac＞0，故②错误；
③对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①③④正确．
故选：C．
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：
①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．2C．5D．6
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴a2＞4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误；
⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
故选：B．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＜0；正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，
∴a＜0，c＞0，﹣＝1．
∴2a+b＝0，即b＝﹣2a＞0．
∴abc＜0，故①②正确．
∵抛物线的图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点在﹣1与0之间，且对称轴是直线x＝1，
∴另一个交点在2与3之间．
∴当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＜0，即9a+3b+c＜0，故④正确．
∴正确的有3个．
故选：C．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：
①c＜1；
②2a+b＝0；
③b2＜4ac；
④若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【解答】解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；
∵抛物线的对称轴为，∴2a+b＝0，选项②正确；
由抛物线与x轴有两个交点，得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；
令抛物线解析式中y＝0，得到ax2+bx+c＝0，
∵方程的两根为x1，x2，且，及，
∴，选项④正确，
综上，正确的结论有②④．
故选：C．
15．能确定二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b+2a＝0．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴①③正确；
∵对称轴为x＝＝1，得2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴a、b异号，即b＞0，
∴②错误，⑤正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴④错误．
综上所知①③⑤正确．
故选：C．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），给出下列结论：①abc＜0；②b＝2a；③4a﹣2b+c＞0；④a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＝2a＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误，②正确；
∵4a﹣2b+c＝4a﹣2•2a+c＝c＞0；故③正确；
∵当x＝﹣1时，y最大为a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣b≥m（am+b），故④错误；
故选：B．
17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（ ）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0．
由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故该结论错误；
②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x＝﹣＝1，则2a+b＝0．
故该结论正确；
③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0．
故该结论正确；
④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0．
故该结论正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线过（﹣1，0），
∴抛物线必过点（2+3，0），即（5，0）．
∴抛物线与x轴有两个交点．
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2＝﹣，
∴b＝﹣4a，则4a+b＝0，故②正确．
∵由图象可得当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故③错误．
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c
又b＝﹣4a，
∴﹣4a＝a+c，故c＝﹣5a．
∴﹣3b+c＝﹣3×（﹣4a）﹣5a＝7a，
∵抛物线的开口向下，a＜0，
∴7a＜0，故④错误．
∵顶点坐标为（2，4），
又抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c有最大值为4．
∴直线y＝5与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点．
∴方程ax2+bx+c＝5没有实数根，故⑤正确．
综上，正确的有3个．
故选：B．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0； ④b2＜4ac；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由图象得：抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝1＝﹣，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，abc＜0，故①③都是错误的，
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②是正确的，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故④是错误的，
故选：A．
20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0； ②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴＞0．
∴a、b异号，
∴ab＜0，故①正确；
②∵对称轴x＝＝1，
∴2a+b＝0；
故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，
故③错误；
④∵根据图示知，当x＝1时，有最大值a+b+c；
又当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
当m＝1时，am2+bm+c＝a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm≤a+b，
∴a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故④正确．
⑤观察图象可得：当﹣1＜x＜3时，y也可能等于0或小于0．
故⑤错误．
综上，正确的序号由：①②④，
故选：C．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．x1+x2＝﹣1
C．4a﹣2b+c＞0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线 与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，
∴，
∴x1+x2＝﹣2，故结论错误，不符合题意；
C、根据对称轴为直线x＝﹣1，0＜x1＜1，则﹣3＜x2＜﹣2，
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论错误，不符合题意；
D、当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c为最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c，即am2+bm≥a﹣b（m为任意实数），故结论正确，符合题意．
故选：D．
22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
23．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴x＝﹣1，且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间．则下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③a﹣b＜m（am+b），其中m≠﹣1；④一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个根x1，且2＜x1＜3．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线交y的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）之间．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个根x1，且1＜x1＜2．故④错误；
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，所以②错误；
∵当x＝﹣1时，函数有最小值，
∴当m≠﹣1时，a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜m（am+b），所以③正确；
故选：B．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，则﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．
综上，正确的个数有三个．
故选：C．
25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②当x＝1时，由图象知y＝2，
把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确；
③由图象得，﹣＞﹣1，
∴b＜2a，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c，
∴3a+c＞2，
∴a＞（2﹣c），
∵c＜0，
∴2﹣c＞2，
∴a＞，
∴a＞，故③正确；
④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2，
∴2b＞2，
∴b＞1，故④错误；
综上，②③正确．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点为（﹣3，0），现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是： ②③④ ．
【解答】解：由题意得及图象得：a＞0，c＜0，＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，2a﹣b＝0，故①错误，②正确；
由抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为：（1，0），
∴a+b+c＝0，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故③正确；
故答案为：②③④．
27．函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）与y＝x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜1；③3a+b＝0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解答】解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故此选项正确；
②由图象可知：抛物线过点（1，1）即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，故此选项错误；
③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点（0，3）和（3，3），
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
当x＝0时，c＝3，
∴3a+b＝0，
故③正确；
④由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
即当1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0，故此选项正确；
故答案为：①③④．
28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤4a+c＞0．其中正确的有 ②③④ .（填序号）
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0．
又对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0．
又抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0．
∴abc＜0，故①错误．
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴③正确．
∵当x＝﹣1时，y＝0；且对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1+2＝3时，y＝0．
又抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④正确．
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故⑤错误．
故答案为：②③④．
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，经过点A（5，0），对于下列结论，其中正确的为 ①② ．
①b＞0；②对任意实数m，满足am2+bm≤4a+2b；③c﹣3a＜0；④多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）．
【解答】解：由函数图象可知，
抛物线开口向下，
所以a＜0．
因为抛物线的对称轴为直线x＝2，
所以，
则b＝﹣4a，
所以b＞0．
故①正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝2，
所以当x＝2时，函数取得最大值为4a+2b+c，
所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其纵坐标不大于4a+2b+c，
则am2+bm+c≤4a+2b+c，
即am2+bm≤4a+2b．
故②正确．
因为a＜0，c＞0，
所以c﹣3a＞0．
故③错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），且对称轴为直线x＝2，
所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0），
所以方程ax2+bx+c＝0的两个根为5和﹣1，
则原方程可变形为a（x+5）（x﹣1）＝0，
即多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1）（x﹣5）．
故④错误．
故答案为：①②．
30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是 ②④ ．（填序号）
①a＞0； ②c＞0； ③b2﹣4ac＜0； ④9a+3b+c＝0．
【解答】解：由图象可知，a＜0，①错误，故不符合要求；
当x＝0时，y＝c＞0，②正确，故符合要求；
∵函数图象与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＞0，③错误，故不符合要求；
将（3，0）代入得，9a+3b+c＝0，④正确，故符合要求；
故答案为：②④．
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 ①③⑤ ．（填序号）
【解答】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴②错误．
∵b＝﹣2a，
∴③正确．
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴④错误．
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．
∴⑤正确．
故答案为：①③⑤．
32．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④9a+3b+2c＜0；⑤点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣3，x2＝5．其中正确的有 ①③⑥ （填序号）．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＜0，b＞0，c＞0，
所以abc＜0．
故①正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以b2﹣4ac＞0．
故②错误．
由函数图象可知，
当x＝﹣2时，函数值小于零，
则4a﹣2b+c＜0．
又因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
即b＝﹣2a，
所以4a﹣2（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0．
故③正确．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
则9a+3b+c＝0．
又因为c＞0，
所以9a+3b+2c＞0．
故④错误．
当点C（x1，y2）、D（x2，y2）在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，
即x1＜x2时，y1＞y2．
故⑤错误．
方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的根可看成函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝n的交点的横坐标，
因为抛物线经过点（﹣3，n），
所以函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝n的一个交点的横坐标为﹣3．
又因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝n的另一个交点的横坐标为5，
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣3，x2＝5．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
33．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为 ②③ ．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；
当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，
∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，
∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
34．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③5a+b+c＜0；④对于任意实数m（m≠1），都有a+b＞m（am+b）．其中正确结论的序号是 ②③④ ．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
由图可知，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，②正确；
∵把x＝m，x＝1分别代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝am2+bm+c，y＝a+b+c．
∵m≠1，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴a+b＞m（am+b），故④正确；
∵x＝3时，与∵x＝﹣1时所对应的函数值是相等的，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+2b+b+c＝9a+2×（﹣2a）+b+c＝5a+b+c＜0，故③正确．
故答案为：④．
35．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a＞c；④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论是 ②③⑤ ．（写序号）
【解答】解：由图象可知：y＝ax2+bx+c（a≠0）中a＜0，c＞0，，
∴b＝﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性可知当x＝2时，所对应的函数值与x＝0时函数值相同，
即：y＝4a+2b+c＝c＞0，故②正确；
∵当x＝﹣1时，所对应的函数值y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，故③正确；
∵图象关于x＝1对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在x＜1范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴y1＜y2，故④错误；
∵函数的最大值为当x＝1时所对应的函数值y＝a+b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c﹣am2﹣bm﹣c＞0，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．