北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知全集，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．设集合，，若，则等于（ ）
A．0B．1C．2D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
6．若是任意实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．1或2D．2或3
10．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（每小题5分，共25分）．
11．已知函数，则______．
12．设满足，且都是正数，则的最大值为______．
13．满足的集合的个数为______个．
14．已知集合，．若，则______．
15．函数的图像如图所示，则不等式的解集是______，不等式的解集是______．
三、解答题（六小题，共85分）
16．（本题14分）已知集合，集合．
（1）化简集合并求，．
（2）若全集，求．
17．（本题14分）完成如下三个小题并写出必要过程
（1）设，，比较的大小．
（2）已知，，求证：；
（3）已知，设；，比较与的大小．
18．（本题14分）已知集合，，
．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围
19．（本题14分）函数
（1）若，求的解集；
（2）当恒成立时，求的取值范围；
（3）若方程有两个实数根，且，求的取值范围．
20．（本题14分）设一个矩形长为，宽为．
（1）当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值．
（2）当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值．
（3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围．
21．（本题15分）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值组成的集合；
（3）若，求证：
参考答案：
1．C
【分析】根据集合交集运算求解即可．
【详解】，故选：C．
2．D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案．
【详解】，，
则命题的否定为，．
故选：D．
3．B
【解析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD选项的正误．
【详解】已知全集，，．
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项错误．
故选：B．
4．C
【分析】根据元素的确定性可得或，再利用元素的互异性可确定，，从而可得正确的选项．
【详解】由，得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，则或，由上知不合适，故，，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题．
5．C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答．
【详解】因为，则，当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为．
故选：C
6．D
【分析】利用不等式性质一一判定选项即可．
【详解】若，故A错误；
若，故B错误；
若，故C错误；
显然，故D正确．
故选：D
7．A
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得．
【详解】不等式，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A
8．A
【分析】根据集合的包含关系即可判断．
【详解】因为，
所以是的充分而不必要条件．
故选：A．
9．C
【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合，再根据求出的值．
【详解】由，即，解得，
所以，
又且，
所以或．
故选：C．
10．B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值．
【详解】由题设中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使最大，则各集合中尽量小，
所以集合的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设，，，，，有，
当时，，
当时，，
只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11．
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意最大则各集合中尽量小，并求出该情况下特征值之和关于的公式，再分析其最大取值．
11．15
【分析】代值求解可得．
【详解】，．
故答案为：15．
12．4
【解析】根据子集的定义即可得到集合的个数；
【详解】，
或或或，
故答案为：4．
13．25
【分析】由基本不等式即可求解．
【详解】由于都是正数，故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为25，
故答案为：25
14．
【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可．
【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）；
当时，可得，（舍），
此时，，满足条件，所以．
故答案为：
15．
【分析】根据图像求出之间的关系，再解不等式即可．
【详解】由函数图像知，的解集为；
从而且，解得且，
所以不等式等价于，等价于，解得；
故答案为：；．
16题．（1），；
（2）．
【分析】（1）解二次不等式得集合，利用交并运算的定义求解即可；
（2）先求补集，进而求交集即可．
【详解】（1），
，．
（2）或，
．
17题．
【分析】直接作差比较大小即可．
【详解】
18题．（1），
（2）或．
【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；
（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围．
【详解】（1），，
，．
（2），
当时，，．
当时，，．
综上所述，或．
19．（1）（2）（3）或
【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案；
（3）利用韦达定理及限制条件可得答案．
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为．
（2）当时，恒成立；
当时，恒成立，则有，解得，
当时，显然不恒成立．
综上，的取值范围是．
（3）有两个实数根，所以，，解得或，，，
因为，所以，
解得或，
综上可得或．
20．待完成
21．（1）
（2）（3）证明见解析
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）令，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解；
（3）记集合为，且，由和集合得到数的大小关系，求出有两种可能，当得，由及数的大小关系分别讨论和，讨论五种情况即可求解．
【详解】（1）（1）由，则，
．
（2）当，不妨记集合为，
且令，
则必有，
和中剩下的，，满足，
并且，，下列有四种可能：
一是，，，则；
二是与，与，与三对数有两对相等，
另一对不相等，则；
三是与，与，与三对数有一对相等，
其它两对不相等，则；
四是与，与，与三对数全不相等，则；
综上述，的所有可能的值组成的集合为．
（3）当，不妨记集合为，且，
则必有，
和中剩下的元素为，满足，
所以有两种可能，当，；当，；
ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让，
则必有，所以；
ⅱ）当，，
不妨记，，，，，
则，则必有，
积中剩下的满足，则，
下面先证明．
假设，由，则，，，
即，，，所以，
令，由，则，
所以，则，与事实不符，所以．
下面再证明．
由上述分析知：要使，积中剩下的，，满足，
必有两对积与，，，，，，七对中的两对相等，有如下五种情况：
一是，则可推得，令其比值为，则，
于是，，由，
则，则，显然无解，故此情况不能；
二是，则可推得，，令，，
显然，由，则，
所以，而显然，故此情况不可能；
三是，则可推得，令其比值为，则，由，
又，则，这与矛盾，故此情况不可能；
四是，可推得，令其比值为，则，
于是，，，，
于是由，则，
所以，代入得，推得，所以，
所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能；
五是，可推得，令其比值为，则，于是，，
由，则，则，
显然无解，故此情况不可能．所以．
综上，所以．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
C
D
A
A
C
B