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    山东省青岛第十七中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)

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    山东省青岛第十七中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)

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    这是一份山东省青岛第十七中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案),共14页。试卷主要包含了在中,已知是边上一点,若,则,下列说法中正确的是,已知向量,则等内容,欢迎下载使用。
    命题人:程子辰 审核人:王克辉、张甜甜
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
    A.单位向量都相等
    B.若,则的长度相等而方向相同或相反
    C.若向量满足,则
    D.相等向量其方向相同
    2.已知,且,则的值为( )
    A.5B.-5C.3D.4
    3.已知为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
    A.B.
    C.D.
    4.如图,在四面体中,,点分别在线段上,且,则等于( )
    A.B.
    C.D.
    5.若数据的平均数是4,方差是4,数据的平均数是,标准差是,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,
    C.,D.13,
    6.在中,已知是边上一点,若,则( )
    A.2B.1C.-2D.-1
    7.已知空间向量,则向量在向量上的投影向量是( )
    A.B.
    C.D.
    8.以等腰直角三角形斜边上高为折痕,把和折成的二面角.若,则最小值为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题6分,共24分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.下列说法中正确的是( )
    A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
    B.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为
    C.若,则直线的倾斜角为
    D.若直线过点,且它的倾斜角为,则这条直线必过点
    10.已知向量,则( )
    A.B.
    C.D.
    11.设易两个随机事件,且,则下列结论正确的是( )
    A.若是互斥事件,则
    B.若,则
    C.若是相互独立事件,则
    D.若,则是相互独立事件
    12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图-1)把三片这样的达,芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则( )
    A.
    B.异面直线与所成角正弦值为
    C.点到直线的距离是
    D.为线段上的一个动点,则的最大值为3
    三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
    13.已知,则与夹角的余弦值为______.
    14.如图,平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为,点分别在棱上,且,则______.
    15.如图,在长方体中,,以为原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,若为线段的中点,则点到平面的距离为______.
    16.已知,若点在线段上;则的最小值为______.
    四、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    17.(10分)如图,在四棱锥中,,平面,分别是棱的中点.
    (l)证明:平面;
    (2)求平面与平面的夹角的正弦值.
    18.(12分)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李明答对每道题目的概率都是0.6.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.用表示答对题目,用表示没有答对题目,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,那么
    (1)在树状图中填写样本点,并写出样本空间;
    (2)求李明第二次答题通过面试的概率;
    (3)求李明最终通过面试的概率.
    19.(14分)在Rt中,分别是上的点,满足且经过的重心.将沿折起到的位置,使是的中点,如图所示.
    (1)求证:平面;
    (2)求与平面所成角的大小;
    (3)在线段上是否存在点,使平面与平面成角余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
    青岛十七中2023级高二2024—2025学年度第一学期阶段性检测一
    数学试题参考答案
    1.D【详解】对于A,单位向量长度相等,方向不确定,故A错误;
    对于B,只能说明的长度相等而方向不确定,故B错误;
    对于C.向量作为矢量不能比较大小,故C错误;
    对于D,相等向量方向相同大小相等,故D正确.
    2.D【详解】由题意可得,则,解之可得.
    3.B【详解】对于A,设,即
    ,解得,
    所以共面,不能构成空间的一个基底,故A错误;
    对于,设无解,
    所以不共面,能构成空间的一组基底,故B正确;
    对于C,设,解得,
    所以共面,不能构成空间的一个基底,故C错误;
    对于D,设,解得,
    所以共面,不能构成空间的一个基底,故D错误.
    4.A【详解】由题意

    5.D【详解】因为数据的平均数是4,方差是4,
    即,,
    数据的平均数
    数据的方差
    所以标准差是.
    6.C【详解】,
    ,因为三点共线,所以
    即.
    7.C【详解】因为,

    故向量在向量上的投影向量是,
    8.C【详解】由已知得,
    所以是和折成的二面角的平面角,所以,
    又,所以,
    ,所以,
    因为,其中,
    所以点在平面内,则的最小值为点到平面的距离,
    设点到平面的距离为,
    因为平面,
    所以平面,所以是点到平面的距离,
    所以,
    又中,,所以,
    而为三角形内角,所以,
    则.
    所以,解得,所以的最小值为.
    【点睛】关键点点晴:空间向量中的线段长度的最值问题,可根据向量代数式的几何意义转化为点面距的问题来处理.
    9.CD【详解】
    A:倾斜角为锐角.斜率为正:倾斜角为钝角时,斜率为负,错;
    B:直线的倾斜角为时,直线的斜率不存在,错;
    C:由知两点横坐标相同,直线方程为,直线的倾斜角为,对;
    D:过两点的斜率为:,对.
    10.BD【详解】对于,故,故A错误:
    对于B,,故正确:
    对于C,,故,故错误;
    对于D.,故,故D正确.
    11.CD【详解】A项,若是互斥事件,不可能同时发生,,故错误;
    B项,若,则,则,故B错误;
    C项,若相互独立,则,
    所以,故正确;
    项,由,且事件互斥,则,
    若,则,
    又,故相互独立,故正确.
    12.BD【详解】如图建立空间直角坐标系,则
    故,

    对于A,所以,A错误;
    对于B,记异面直线与所成角为,则

    所以,故B正确.
    对于C,记同向的单位向量为,
    则点到直线的距离,故C错误;
    对于,设点,使,
    则,故,
    则,
    因,则时,即点与点重合时,取得最大值3,故项正确;
    【点睛】方法点睛:解决此类问题的主要方法有:
    (1)定义法:运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析;
    (2)基底表示法:将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算;
    (3)建系法:通过建立空间直角坐标系,引入相关点的坐标,利用点线距离公式,空间向量的夹角公式等公式计算即得.
    13.【详解】.
    14.【详解】连接,
    则由题得
    所以
    故.
    15.【详解】如图可得,
    设平面法向量为,
    所以,令,所以,所以
    所以到平面的距离为.
    16.—3【详解】如图,因为表示点和点连线的斜率,又,所以,由图知,的最小值为—3.
    17.(1)证明见解析(2).
    【详解】(1)如图所示,连接.因为分别是棱的中点,
    所以.
    因为,
    所以,
    所以四边形是平行四边形,
    则.
    因为平面平面,
    所以平面.
    (2)因为平面,
    平面,
    所以,
    又因为,
    所以两两垂直,
    以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
    由题中数据可得.
    设平面的法向量为,则令,得.
    因为,
    所以平面
    平面的一个法向量为.
    设平面与平面的夹角为,则.
    故,即平面与平面的夹角的正弦值为.
    18.(1)树状图见解析,样本空间为
    (2)0.24
    (3)0.936
    【详解】(1)解:根据题意,可得树状图及样本点,如图所示,
    其样本空间为.
    (2)解:由题意知,,
    所以第二次答题通过面试的概率.
    (3)解:由题意,李明未通过的概率为,
    所以李明通过面试的概率为.
    19.(1)证明见解析(2)(3)存在,或
    【详解】(1)因为在Rt中,,且,
    所以,则折叠后,,
    又平面,
    所以平面平面,所以,
    又已知且都在面内,所以平面;
    (2)由(1),以为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.
    因为,故,由几何关系可知,,
    故,
    设平面的法向量为,则,即,
    不妨令,则.
    设与平面所成角的大小为,则有,
    设为与平面所成角,故,即与平面所成角的大小为;
    (3)假设在线段上存在点,使平面与平面成角余弦值为.
    在空间直角坐标系中,,,,
    设,则,,
    设平面的法向量为,则有,即.
    不妨令,则,所以,
    设平面的法向量为,则有,即
    不妨令,则,所以,
    若平面与平面成角余弦值为.
    则满足,
    化简得,解得或,即或.
    故在线段上存在这样的点,使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    答案
    D
    D
    B
    A
    D
    C
    C
    C
    CD
    BD
    题号
    11
    12
    答案
    CD
    BD

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