专题04 高一上期中考前必刷卷02（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【答案】（1）；（2）.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，由一元二次方程中根的判别式建立不等式解之可得答案.
（2）分和两种情况讨论，当时，由一元二次方程中根的判别式建立方程解之可求得实数的取值集合.
【详解】（1）对于方程，若，则，不合题意，故，此时方程是关于的一元二次方程.
集合中没有元素，则，即.
所以实数的取值集合为.
（2）对于方程，若，则，符合题意；
若，方程是关于的一元二次方程.中只有一个元素，即，即.
综上，实数的取值集合为.
16．（15分）
【答案】(1)
(2)为增函数，证明见解析
【知识点】由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）根据函数奇偶性及已知条件代入即可求出未知参量，从而得出.
（2）先下结论，再根据单调性的定义法判断的单调性.
【详解】（1）由题函数是定义在上的奇函数，所以，解得，
又由，得，解得，
所以，
则定义域为，且，
所以.
（2）在区间上为增函数.证明如下：
设，则，
由，得，即，，，
所以，即，所以函数在上单调递增.
17．（15分）
【答案】(1)长度为4米时，报价最低
(2)
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
（2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），
则屋子前面新建墙体长为，
则
即，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；
（2）由题意可知，当对任意的恒成立，
即，所以，即，
，
当，，即时，的最小值为12，
即，
所以的取值范围是.
18．（17分）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；
（2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证；
（3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）令，得，，
，
令，，，
所以函数是奇函数；
（2）设任意且，
由题意，，
又由（1）是奇函数，
得，
，，
已知当时，，从而有，
故，即，
在上单调递增，
根据奇函数的性质可知在上也单调递增，
故在上是增函数；
（3）对任意恒成立，即，
由（2）得，在上是增函数，
所以当时，，
又（1）可知，函数是奇函数，则，即.
所以对任意恒成立，
设，，要使恒成立，
则，即，
解得或，所以实数的取值范围是．
（17分）
【答案】(1)在区间上具有性质M
(2)．
【知识点】函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，根据题意，解得即可;
（2）分为和两种情况，，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不相等的实根，构造函数结合函数性质求出参数范围.
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以在上函数值的取值范围是，
若函数具有性质M，应有
因为，所以，
故时，函数在区间上具有性质M．
（2），
①当时，在上单调递减，
∴，即，
两式相除，得，整理得，
∵与矛盾，∴当时，不合题意．
②当时，在上单调递增，
∴，即
所以方程在上有两个不相等的实根，
即在上有两个不相等的实根，
令，
∵在上单调递增，在上单调递减，
且，，
∴由图可知，实数m的取值范围是．
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B
B
C
D
B
C
C
C
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BCD
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