专题01 高一上期中真题精选（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

这是一份专题01 高一上期中真题精选（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册），文件包含专题01高一上期中真题精选原卷版docx、专题01高一上期中真题精选解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
集合的概念
集合间的基本关系
集合的基本运算
充分性与必要性
全称量词与存在量词
基本不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
函数的概念及其表示
函数的基本性质
一、集合的概念（共6小题）
1．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数.
【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数，
又，，，
所以这个和为、、、，
则，
所以，，，
即这个数分别为、、、，
故这个数中最小的数为.
故选：C
2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.
【详解】解不等式，解得，
又因为，所以满足的的值有，
所以集合为，
故选：C
3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（ ）
A．1，2B．
C．D．
【答案】C
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解.
【详解】对于方程，解得或，
所以，故C正确，ABD错误.
故选：C.
4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数
【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可.
【详解】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B
5．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可.
【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确；
对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确.
故选：BCD.
6．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 .
【答案】
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
二、集合间的基本关系（共5小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由集合且，得，所以.
故选：D
2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】ABD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值.
【详解】因为，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合间的关系可得解.
【详解】由合，，且，
则，
故答案为：.
4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
【知识点】集合新定义
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素，
故满足条件的集合有，共6个集合.
故答案为：6
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．
【答案】，，，．
【知识点】求集合的子集（真子集）
【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集.
【详解】当时，，
集合A的所有子集有，，，．
三、集合的基本运算（共9小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由集合且，得，所以.
故选：D
2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】ABD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值.
【详解】因为，且，
当时，，符合题意；
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或.
故选：ABD
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合间的关系可得解.
【详解】由合，，且，
则，
故答案为：.
4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
【知识点】集合新定义
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素，
故满足条件的集合有，共6个集合.
故答案为：6
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．
【答案】，，，．
【知识点】求集合的子集（真子集）
【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集.
【详解】当时，，
集合A的所有子集有，，，．
四、充分性与必要性（共5小题）
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，
所以，可得.
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【知识点】充分条件的判定及性质
【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论.
【详解】易知集合是集合的真子集，
即可得，所以是的充分而不必要条件.
故选：A
3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合.
(1)若，求与；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数
【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，可得，
因为集合，
则
又由或，
则或或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得，
因为，，
可得−1−2a≤1a−2≥5且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围为.
4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算
【分析】（1）解不等式得到，求出补集，从而利用交集概念求出答案；
（2）是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，
，故或x>5，
故或x>5；
（2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集，
，，
故，解得，
故实数的取值范围是
5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合．
(1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）
(2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)充分不必要条件
(2)
【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断；
（2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定.
【详解】（1）由，得，所以，
当时，由，得，所以，
因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
（2）因为命题“”是真命题，所以，
由，得，
①若，则，，舍去，
②若，则，，舍去，
③若，则，因为，所以，
综上，的取值范围是．
五、全称量词与存在量词（共5小题）
1．（23-24高一上·北京·期中）命题，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.
【详解】因为命题，，所以：，.
故选：C
2．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．
【详解】当时，，
则当时，取得最大值，依题意，，解得，
因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是；
显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是；
是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是．
故选：D
3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以大于等于在上的最小值，即，
选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确.
故选：BD.
5．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】取得到，恒成立，得到答案.
【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题.
故答案为：
六、基本不等式（共5小题）
1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，为正实数，且，所以,
当且仅当时取等号.
故选：C
2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．4B．C．6D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.
故选：B
3．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
4．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值；
（2）设，求的最小值.
【答案】（1）1；（2）.
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值
【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可；
（2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为1；
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为.
5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值．
【答案】3
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】a与b均为正数，且，则，
当且仅当，即，时取等号．
所以的最小值为3.
七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题）
1．（多选）（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确，
对于B，由，解得或，所以B正确，
对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误，
对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确，
故选：ABD
2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .
【答案】 ， .
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论.
【详解】当时，不等式可化为，
所以，
所以或，
所以不等式的解集是，
由已知对任意的，不等式恒成立，
当时，，此时，
当时，不等式，可化为，
所以，其中，
所以，所以，
所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是.
故答案为：，.
3．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【详解】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可．
【分析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，解得且．
故答案为：且．
4．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可.
【详解】结合题意知．即解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可；
（2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
即.
（2）由，可得不等式，即，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
6．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上．
(1)试求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)实数的取值范围为.
【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列出方程组求解即得.
（2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解即得.
【详解】（1）由点都在二次函数的图象上，得，
所以.
（2）由（1）知，
不等式恒成立，即恒成立，
因此，解得，
所以实数的取值范围为.
八、函数的概念及其表示（共9小题）
1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据题意求出的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解的定义域.
【详解】由题可得：，所以，解得：,
则的定义域为；
故选：A
2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.
【详解】对于A，和定义域均为R， ，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为，定义域为R，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为R，定义域为，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【知识点】解分段函数不等式、函数新定义
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数f(x)=x2−x,x>0−x2−x,x