上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似
B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似
C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似
D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似
2．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．将二次函数和的图像画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图像都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次联结四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，那么__________．
8．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行?答：__________．
9．已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________．
10．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么__________．（填“>”“<”或“=”）
11．已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是__________．
12．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是__________．
13．已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为__________．
14．如图，是线段上一点，，联结并延长交于点，联结并延长交于点．已知，那么__________．
15．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域）
16．如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则__________．
17．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________．
18．为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：__________；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：__________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）计算：．
20．（本题满分10分）已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为．
（1）求线段的长；
（2）平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．
21．（本题满分10分）如图，在四边形中，，对角线交于点．
（1）设，试用的线性组合表示向量．
（2）如果，求四边形的面积．
22．（本题满分10分）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）．
（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度．
（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度．
23．（本题满分12分）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
24．（本题满分12分）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为．
①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长；
②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．
25．（本题满分14分）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，联结．

（1）求证：；
（2）如果与相似，求其相似比；
（3）如果，求的大小．