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苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)专题6.2角(专项拔高卷)特训（学生版+解析）
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这是一份苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)专题6.2角(专项拔高卷)特训（学生版+解析），共34页。试卷主要包含了2 角，57，5x，，5，，5°，等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•秦淮区期末）把两块三角板按如图所示拼在一起，那么∠ABC的度数是（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
2．（2分）（2019秋•高新区期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
3．（2分）（2022秋•太仓市期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50°B．75°C．60°D．55°
4．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是一副特制的三角板，仅用这副特制的三角板不能画出的角度是（ ）
A．84°B．68°C．48°D．24°
5．（2分）（2022秋•高新区期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠B′FC′＝α，则∠EFG的度数是（ ）
A．45°+αB．2α﹣90°C．D．
6．（2分）（2022秋•南京期末）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（ ）
A．30°B．36°C．40°D．45°
7．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
8．（2分）（2021秋•江阴市期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒B．31秒C．5秒或41秒D．5秒或67秒
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
10．（2分）（2015秋•崇川区期末）如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45°B．45°+∠AOCC．60°﹣∠AOCD．90°﹣∠AOC
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•常州期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则∠AOB的度数为 ．
12．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点分）
13．（2分）（2021秋•启东市期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
14．（2分）（2022秋•兴化市期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝8°，则∠EAF的度数为 ．
15．（2分）（2022秋•姜堰区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠FEH＝12°，则∠AEF＝ ．
16．（2分）（2022秋•大丰区期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ 度．
17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠A'ED'＝18°，则∠DEC的度数为 ．
18．（2分）（2022秋•兴化市期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE＝∠DOE＝15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC＝x°，∠NOE＝y°，则x与y之间的数量关系为 ．
19．（2分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，则∠ABC＝ ．
20．（2分）（2021秋•亭湖区期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
22．（6分）（2020秋•高新区校级期末）将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
23．（8分）（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
24．（8分）（2018秋•盐都区期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图①，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止．
①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由．
25．（8分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ °，∠AOD+∠BOC＝ °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
26．（8分）（2022秋•邗江区期末）已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC
牛刀小试：（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
类比说明：（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
猜想发现：（3）如图2，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠DOE与∠AOC的关系，直接写出结论．
27．（8分）（2021秋•广陵区期末）如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠COB＝ ；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为 ；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
28．（8分）（2021秋•姜堰区期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
（3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题6.2 角（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•秦淮区期末）把两块三角板按如图所示拼在一起，那么∠ABC的度数是（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：C．
2．（2分）（2019秋•高新区期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE，
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：C．
3．（2分）（2022秋•太仓市期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50°B．75°C．60°D．55°
解：∵∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+60°＝170°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA＝AOC＝85°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝110°﹣85°＝25°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+30°＝55°．
故选：D．
4．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是一副特制的三角板，仅用这副特制的三角板不能画出的角度是（ ）
A．84°B．68°C．48°D．24°
解：A、84°＝72°+72°﹣60°，则84°角能画出，故A不符合题意；
B、68°不能写成36°，72°，90°，30°，60°的和或差的形式，则68°角不能画出，故B符合题意；
C、48°＝30°+90°﹣72°，则48°角能画出，故C不符合题意；
D、24°＝60°﹣36°，则24°角能画出，故D不符合题意；
故选：B．
5．（2分）（2022秋•高新区期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠B′FC′＝α，则∠EFG的度数是（ ）
A．45°+αB．2α﹣90°C．D．
解：由折叠的性质可知，∠EFB＝∠EFB′，∠CFG＝∠C′FG，
设∠EFG＝β，
∴∠EFB+∠CFG＝180°﹣∠EFG＝180°﹣β，
∴∠EFB′+∠C′FG＝180°﹣β，
∴∠B'FC'＝∠EFB+∠EFB′+∠CFG+∠C′FG﹣180°
＝（180°﹣α）+（180°﹣α）﹣180°
＝180°﹣2α，
∴2α＝180°﹣∠B′FC′，
∴∠EFG＝β＝90°﹣∠B′FC′＝90°﹣α．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•南京期末）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（ ）
A．30°B．36°C．40°D．45°
解：∵∠BOD＝110°，
∴∠AOB+∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵∠COD＝2∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+2∠DOE＝∠AOB+∠DOE+∠DOE，
∴∠DOE+70°＝110°，
∴∠DOE＝40°．
故选：C．
7．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
解：∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠COD
＝（∠AOB+∠BOD）+（∠AOC+∠COD）+∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠AOD+∠AOD+∠BOC
＝3∠AOD+∠BOC
＝3y+x，
故选：A．
8．（2分）（2021秋•江阴市期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒B．31秒C．5秒或41秒D．5秒或67秒
解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC＝×130°＝65°，
∴（90﹣65）÷5
＝25÷5
＝5（秒），
（270﹣65）÷5
＝205÷5
＝41（秒），
故选：C．
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝16°，
∴∠DAF＝16°+β，
∠BAE＝16°+α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴16°+β+β+16°+16°+α+α＝90°，
∴α+β＝21°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
＝16°+α+β
＝16°+21°
＝37°．
则∠EAF的度数为37°．
故选：D．
10．（2分）（2015秋•崇川区期末）如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45°B．45°+∠AOCC．60°﹣∠AOCD．90°﹣∠AOC
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠BOA
＝90°
＝45°．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•常州期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则∠AOB的度数为 120° ．
解：∵∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，
∴设∠COB＝2∠AOC＝2x，∠AOD＝∠BOD＝1.5x，
∴∠COD＝0.5x＝20°，
∴x＝40°，
∴∠AOB的度数为：3×40°＝120°．
故答案为：120°．
12．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： 6点分或6点分 ．（结果形如6点分）
解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，
依题意得：分时针与分针重合前，0.5m+180﹣6m＝100，
解得：，
分时针与分针重合后，6m﹣（0.5m+180）＝100，
解得：，
故答案为：6点分或6点分．
13．（2分）（2021秋•启东市期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如图：
∠BON＝∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
14．（2分）（2022秋•兴化市期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝8°，则∠EAF的度数为 41° ．
解：∵∠B'AD'＝8°，
∴2∠EAF＝90°﹣8°＝82°，
∴∠EAF＝41°．
故答案为：41°．
15．（2分）（2022秋•姜堰区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠FEH＝12°，则∠AEF＝ 116° ．
解：根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
设∠AEF＝x°，
则∠AEF＝∠A'EF＝x°，∠A'EH＝∠A'EF﹣∠FEH＝（x﹣12）°，
∴，
由∠AEF+∠FEH+∠HEG＝180°可得，
解得：x＝116，
即∠AEF＝116°，
故答案为：116°．
16．（2分）（2022秋•大丰区期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ 20或30或40 度．
解：若∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①∠NPQ＝2∠MPQ，此时∠MPQ＝20°；
②∠MPN＝2∠MPQ，此时∠MPQ＝30°；
③∠MPQ＝2∠NPQ，此时∠MPQ＝40°；
故答案为：20或30或40．
17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠A'ED'＝18°，则∠DEC的度数为 35° ．
解：由折叠得：
∠AEA′＝2∠BEA＝128°，
∵∠A'ED'＝18°，
∴∠AED′＝∠AEA′﹣∠A′ED′＝110°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝70°，
由折叠得：
∠DEC＝∠D′EC＝∠DED′＝35°，
故答案为：35°．
18．（2分）（2022秋•兴化市期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE＝∠DOE＝15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC＝x°，∠NOE＝y°，则x与y之间的数量关系为 x+2y＝255或x﹣2y＝105 ．
解：设运动的时间为t秒，
∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝∠DOE＝15°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣15°＝75°，
当OM与OC成一条直线时，则75+60t＝180，
∴t＝1.75，
∵＝3（秒），＝2.5（秒），
∴2.5秒时停止运动，
当0＜t≤1.75时，x＝75+60t，y＝90﹣30t，
∴x﹣75＝180﹣2y＝60t，
∴x+2y＝255；
当1.75＜t≤2.5时，x＝360﹣75﹣60t＝285﹣60t，y＝90﹣30t，
∴285﹣x＝180﹣2y＝60t，
∴x﹣2y＝105，
故答案为：x+2y＝255或x﹣2y＝105．
19．（2分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，则∠ABC＝ 20° ．
解：∵BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，
∴∠A'BE＝2∠A′BD＝2×70°＝140°，
∴∠ABA'＝180°﹣∠A'BE＝180°﹣140°＝40°，
∵折叠顶点A落在A′处，BC为折痕，
∴∠ABC＝∠A'BC＝×∠ABA'＝×40°＝20°，
故答案为：20°．
20．（2分）（2021秋•亭湖区期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 （n+2）（n+1） 个角．
解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；
若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
…
若引n条射线，图中共有1+2+3+…+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
故答案为：（n+2）（n+1）．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠AOB，
∴
∵OE分别平分∠AOC，∠AOC＝40°．
∴
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝60°﹣20°
＝40°．
（2）若射线OC在∠AOB的内部，如图2
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝
＝（m﹣n）°．
所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE＝（n﹣m）°．
若射线OC在∠AOB外部时，如图3
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE
＝
＝（n+m）°．
所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE＝（n+m）°．
22．（6分）（2020秋•高新区校级期末）将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
解：（1）由三角板知，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝45°+60°＝105°；
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+22.5°＝82.5°；
（3）设∠BOC＝x，
则∠AOC＝60°﹣x，
∠BOD＝45°﹣x，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60°﹣x＝3（45°﹣x），
解得x＝37.5°，
此时，∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+（60°﹣37.5°）＝45°+22.5°＝67.5°．
23．（8分）（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 相等 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
解：（1）∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠COD＝∠DOA，
故答案为：相等；
（2）∠COE与∠AOD的差保持不变，理由如下：
∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠COE＝130°﹣∠AOE，
∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠COE﹣∠AOD＝130°﹣∠AOE﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠COE与∠AOD的差保持不变．
24．（8分）（2018秋•盐都区期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ④ ；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图①，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止．
①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵135°＝90°+45°，120°＝90°+30°，75°＝30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①∵∠COD＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠EOD＝×120°＝60°，
∵∠AOB＝45°，
∴α＝∠EOB﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°；
②当OA在OD的左侧时，如图②，
则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时如图③，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
25．（8分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ 30 °，∠AOD+∠BOC＝ 180 °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
解：（1）由转动角度γ＝30°可知，∠BOD＝30°，
∵α＝β＝90°，即：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝（∠AOC+∠COD）+（∠AOB﹣∠AOC）＝180°，
故答案为：30；180；
（2）∠AOD+∠BOC＝180°，理由如下：
如图，OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB外部时，
∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
综上，∠AOD+∠BOC＝180°；
（3）A、O、D线γ＝180°﹣β，360°﹣β，
B、O、C线γ＝α﹣α+180°，
①当0＜γ＜α时，∠AOC＝γ，则∠AOD＝β+γ，∠BOC＝α﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β；
②当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD＝β+γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD﹣∠BOC＝α+β，
③当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β，
④当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝360°﹣（γ﹣α）＝360°﹣γ+α，
∴∠BOC﹣∠AOD＝α+β，
⑤当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD＝γ﹣180°﹣（180°﹣β）＝γ+β﹣360°，∠BOC＝360°﹣γ+α，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β，
综上，当0＜γ＜α时，∠AOD+∠BOC＝α+β；
当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD﹣∠BOC＝α+β；
当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β；
当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠BOC﹣∠AOD＝α+β；
当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD+∠BOC＝α+β．
26．（8分）（2022秋•邗江区期末）已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC
牛刀小试：（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
类比说明：（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
猜想发现：（3）如图2，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠DOE与∠AOC的关系，直接写出结论．
解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
又∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠COE＝∠BOC＝×150°＝75°，
∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣75°＝15°；
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠COE＝∠BOC＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）∵OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE，
∵∠COD是直角，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，
∴2∠DOE＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COE，
∴2∠DOE＝∠AOC．
27．（8分）（2021秋•广陵区期末）如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠COB＝ 150°或30° ；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为 45° ；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：（1）分为两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，
∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°；
②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，
∠COB＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°；
（2）在图3中，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝×30°＝15°，∠COE＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+30°＝45°；
在图4中，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝×（90°+60°）＝75°，∠COE＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝75°﹣30°＝45°；
（3）能求出∠DOE的度数．
①当OC在∠AOB内部时，如图3，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°﹣α°，∠COE＝∠AOC＝α°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（45°﹣α°）+α°＝45°；
②当OC在∠AOB外部时，如图4，
∵∠AOB＝90，∠AOC＝2α°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α°，∠COE＝∠AOC＝α°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝（45°+α°）﹣α°＝45°；
综合上述，∠DOE＝45°．
故答案为：150°或30°；45°．
28．（8分）（2021秋•姜堰区期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
（3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
解：（1）∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC＝40°，∠NOC＝∠BOC＝40°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+40°＝80°；
（2）小明是说法正确，
∵∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝80°；
（3）①当OA⊥ON时，
∵∠AOB＝120°，OA⊥ON，
∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝120°﹣90°＝30°，
∵ON是∠BOC的三等分线，
∴∠BOC＝3∠BON＝90°，
∴∠AOC＝120°﹣90°＝30°；
②当OM⊥OB时，
∵∠AOB＝120°，OM⊥OB，
∴∠AOM＝∠AOB﹣∠BOM＝120°﹣90°＝30°，
∵OM是∠AOC的三等分线，
∴∠AOC＝3∠AOM＝90°．
综上，∠AOC的度数是30°或90°
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•秦淮区期末）把两块三角板按如图所示拼在一起，那么∠ABC的度数是（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
2．（2分）（2019秋•高新区期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
3．（2分）（2022秋•太仓市期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50°B．75°C．60°D．55°
4．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是一副特制的三角板，仅用这副特制的三角板不能画出的角度是（ ）
A．84°B．68°C．48°D．24°
5．（2分）（2022秋•高新区期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠B′FC′＝α，则∠EFG的度数是（ ）
A．45°+αB．2α﹣90°C．D．
6．（2分）（2022秋•南京期末）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（ ）
A．30°B．36°C．40°D．45°
7．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
8．（2分）（2021秋•江阴市期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒B．31秒C．5秒或41秒D．5秒或67秒
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
10．（2分）（2015秋•崇川区期末）如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45°B．45°+∠AOCC．60°﹣∠AOCD．90°﹣∠AOC
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•常州期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则∠AOB的度数为 ．
12．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点分）
13．（2分）（2021秋•启东市期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
14．（2分）（2022秋•兴化市期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝8°，则∠EAF的度数为 ．
15．（2分）（2022秋•姜堰区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠FEH＝12°，则∠AEF＝ ．
16．（2分）（2022秋•大丰区期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ 度．
17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠A'ED'＝18°，则∠DEC的度数为 ．
18．（2分）（2022秋•兴化市期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE＝∠DOE＝15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC＝x°，∠NOE＝y°，则x与y之间的数量关系为 ．
19．（2分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，则∠ABC＝ ．
20．（2分）（2021秋•亭湖区期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
22．（6分）（2020秋•高新区校级期末）将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
23．（8分）（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
24．（8分）（2018秋•盐都区期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图①，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止．
①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由．
25．（8分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ °，∠AOD+∠BOC＝ °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
26．（8分）（2022秋•邗江区期末）已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC
牛刀小试：（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
类比说明：（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
猜想发现：（3）如图2，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠DOE与∠AOC的关系，直接写出结论．
27．（8分）（2021秋•广陵区期末）如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠COB＝ ；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为 ；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
28．（8分）（2021秋•姜堰区期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
（3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题6.2 角（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•秦淮区期末）把两块三角板按如图所示拼在一起，那么∠ABC的度数是（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：C．
2．（2分）（2019秋•高新区期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE，
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：C．
3．（2分）（2022秋•太仓市期末）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50°B．75°C．60°D．55°
解：∵∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+60°＝170°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA＝AOC＝85°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝110°﹣85°＝25°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝25°+30°＝55°．
故选：D．
4．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是一副特制的三角板，仅用这副特制的三角板不能画出的角度是（ ）
A．84°B．68°C．48°D．24°
解：A、84°＝72°+72°﹣60°，则84°角能画出，故A不符合题意；
B、68°不能写成36°，72°，90°，30°，60°的和或差的形式，则68°角不能画出，故B符合题意；
C、48°＝30°+90°﹣72°，则48°角能画出，故C不符合题意；
D、24°＝60°﹣36°，则24°角能画出，故D不符合题意；
故选：B．
5．（2分）（2022秋•高新区期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠B′FC′＝α，则∠EFG的度数是（ ）
A．45°+αB．2α﹣90°C．D．
解：由折叠的性质可知，∠EFB＝∠EFB′，∠CFG＝∠C′FG，
设∠EFG＝β，
∴∠EFB+∠CFG＝180°﹣∠EFG＝180°﹣β，
∴∠EFB′+∠C′FG＝180°﹣β，
∴∠B'FC'＝∠EFB+∠EFB′+∠CFG+∠C′FG﹣180°
＝（180°﹣α）+（180°﹣α）﹣180°
＝180°﹣2α，
∴2α＝180°﹣∠B′FC′，
∴∠EFG＝β＝90°﹣∠B′FC′＝90°﹣α．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•南京期末）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（ ）
A．30°B．36°C．40°D．45°
解：∵∠BOD＝110°，
∴∠AOB+∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵∠COD＝2∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+2∠DOE＝∠AOB+∠DOE+∠DOE，
∴∠DOE+70°＝110°，
∴∠DOE＝40°．
故选：C．
7．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
解：∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠COD
＝（∠AOB+∠BOD）+（∠AOC+∠COD）+∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠AOD+∠AOD+∠BOC
＝3∠AOD+∠BOC
＝3y+x，
故选：A．
8．（2分）（2021秋•江阴市期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒B．31秒C．5秒或41秒D．5秒或67秒
解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC＝×130°＝65°，
∴（90﹣65）÷5
＝25÷5
＝5（秒），
（270﹣65）÷5
＝205÷5
＝41（秒），
故选：C．
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝16°，
∴∠DAF＝16°+β，
∠BAE＝16°+α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴16°+β+β+16°+16°+α+α＝90°，
∴α+β＝21°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
＝16°+α+β
＝16°+21°
＝37°．
则∠EAF的度数为37°．
故选：D．
10．（2分）（2015秋•崇川区期末）如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45°B．45°+∠AOCC．60°﹣∠AOCD．90°﹣∠AOC
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠BOA
＝90°
＝45°．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•常州期末）如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则∠AOB的度数为 120° ．
解：∵∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，
∴设∠COB＝2∠AOC＝2x，∠AOD＝∠BOD＝1.5x，
∴∠COD＝0.5x＝20°，
∴x＝40°，
∴∠AOB的度数为：3×40°＝120°．
故答案为：120°．
12．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： 6点分或6点分 ．（结果形如6点分）
解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，
依题意得：分时针与分针重合前，0.5m+180﹣6m＝100，
解得：，
分时针与分针重合后，6m﹣（0.5m+180）＝100，
解得：，
故答案为：6点分或6点分．
13．（2分）（2021秋•启东市期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如图：
∠BON＝∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
14．（2分）（2022秋•兴化市期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝8°，则∠EAF的度数为 41° ．
解：∵∠B'AD'＝8°，
∴2∠EAF＝90°﹣8°＝82°，
∴∠EAF＝41°．
故答案为：41°．
15．（2分）（2022秋•姜堰区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠FEH＝12°，则∠AEF＝ 116° ．
解：根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
设∠AEF＝x°，
则∠AEF＝∠A'EF＝x°，∠A'EH＝∠A'EF﹣∠FEH＝（x﹣12）°，
∴，
由∠AEF+∠FEH+∠HEG＝180°可得，
解得：x＝116，
即∠AEF＝116°，
故答案为：116°．
16．（2分）（2022秋•大丰区期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ 20或30或40 度．
解：若∠MPN＝60°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①∠NPQ＝2∠MPQ，此时∠MPQ＝20°；
②∠MPN＝2∠MPQ，此时∠MPQ＝30°；
③∠MPQ＝2∠NPQ，此时∠MPQ＝40°；
故答案为：20或30或40．
17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠A'ED'＝18°，则∠DEC的度数为 35° ．
解：由折叠得：
∠AEA′＝2∠BEA＝128°，
∵∠A'ED'＝18°，
∴∠AED′＝∠AEA′﹣∠A′ED′＝110°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝70°，
由折叠得：
∠DEC＝∠D′EC＝∠DED′＝35°，
故答案为：35°．
18．（2分）（2022秋•兴化市期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE＝∠DOE＝15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC＝x°，∠NOE＝y°，则x与y之间的数量关系为 x+2y＝255或x﹣2y＝105 ．
解：设运动的时间为t秒，
∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝∠DOE＝15°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣15°＝75°，
当OM与OC成一条直线时，则75+60t＝180，
∴t＝1.75，
∵＝3（秒），＝2.5（秒），
∴2.5秒时停止运动，
当0＜t≤1.75时，x＝75+60t，y＝90﹣30t，
∴x﹣75＝180﹣2y＝60t，
∴x+2y＝255；
当1.75＜t≤2.5时，x＝360﹣75﹣60t＝285﹣60t，y＝90﹣30t，
∴285﹣x＝180﹣2y＝60t，
∴x﹣2y＝105，
故答案为：x+2y＝255或x﹣2y＝105．
19．（2分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，则∠ABC＝ 20° ．
解：∵BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，
∴∠A'BE＝2∠A′BD＝2×70°＝140°，
∴∠ABA'＝180°﹣∠A'BE＝180°﹣140°＝40°，
∵折叠顶点A落在A′处，BC为折痕，
∴∠ABC＝∠A'BC＝×∠ABA'＝×40°＝20°，
故答案为：20°．
20．（2分）（2021秋•亭湖区期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 （n+2）（n+1） 个角．
解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；
若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
…
若引n条射线，图中共有1+2+3+…+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
故答案为：（n+2）（n+1）．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠AOB，
∴
∵OE分别平分∠AOC，∠AOC＝40°．
∴
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝60°﹣20°
＝40°．
（2）若射线OC在∠AOB的内部，如图2
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝
＝（m﹣n）°．
所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE＝（n﹣m）°．
若射线OC在∠AOB外部时，如图3
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE
＝
＝（n+m）°．
所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE＝（n+m）°．
22．（6分）（2020秋•高新区校级期末）将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
解：（1）由三角板知，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝45°+60°＝105°；
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+22.5°＝82.5°；
（3）设∠BOC＝x，
则∠AOC＝60°﹣x，
∠BOD＝45°﹣x，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60°﹣x＝3（45°﹣x），
解得x＝37.5°，
此时，∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+（60°﹣37.5°）＝45°+22.5°＝67.5°．
23．（8分）（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 相等 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
解：（1）∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠COD＝∠DOA，
故答案为：相等；
（2）∠COE与∠AOD的差保持不变，理由如下：
∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠COE＝130°﹣∠AOE，
∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠COE﹣∠AOD＝130°﹣∠AOE﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠COE与∠AOD的差保持不变．
24．（8分）（2018秋•盐都区期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ④ ；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图①，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止．
①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵135°＝90°+45°，120°＝90°+30°，75°＝30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①∵∠COD＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠EOD＝×120°＝60°，
∵∠AOB＝45°，
∴α＝∠EOB﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°；
②当OA在OD的左侧时，如图②，
则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时如图③，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
25．（8分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ 30 °，∠AOD+∠BOC＝ 180 °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
解：（1）由转动角度γ＝30°可知，∠BOD＝30°，
∵α＝β＝90°，即：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝（∠AOC+∠COD）+（∠AOB﹣∠AOC）＝180°，
故答案为：30；180；
（2）∠AOD+∠BOC＝180°，理由如下：
如图，OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB外部时，
∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
综上，∠AOD+∠BOC＝180°；
（3）A、O、D线γ＝180°﹣β，360°﹣β，
B、O、C线γ＝α﹣α+180°，
①当0＜γ＜α时，∠AOC＝γ，则∠AOD＝β+γ，∠BOC＝α﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β；
②当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD＝β+γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD﹣∠BOC＝α+β，
③当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β，
④当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝360°﹣（γ﹣α）＝360°﹣γ+α，
∴∠BOC﹣∠AOD＝α+β，
⑤当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD＝γ﹣180°﹣（180°﹣β）＝γ+β﹣360°，∠BOC＝360°﹣γ+α，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β，
综上，当0＜γ＜α时，∠AOD+∠BOC＝α+β；
当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD﹣∠BOC＝α+β；
当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β；
当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠BOC﹣∠AOD＝α+β；
当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD+∠BOC＝α+β．
26．（8分）（2022秋•邗江区期末）已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC
牛刀小试：（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
类比说明：（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
猜想发现：（3）如图2，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠DOE与∠AOC的关系，直接写出结论．
解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
又∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠COE＝∠BOC＝×150°＝75°，
∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣75°＝15°；
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠COE＝∠BOC＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）∵OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE，
∵∠COD是直角，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，
∴2∠DOE＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COE，
∴2∠DOE＝∠AOC．
27．（8分）（2021秋•广陵区期末）如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠COB＝ 150°或30° ；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为 45° ；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：（1）分为两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，
∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°；
②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，
∠COB＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°；
（2）在图3中，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝×30°＝15°，∠COE＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+30°＝45°；
在图4中，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝×（90°+60°）＝75°，∠COE＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝75°﹣30°＝45°；
（3）能求出∠DOE的度数．
①当OC在∠AOB内部时，如图3，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°﹣α°，∠COE＝∠AOC＝α°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（45°﹣α°）+α°＝45°；
②当OC在∠AOB外部时，如图4，
∵∠AOB＝90，∠AOC＝2α°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α°，∠COE＝∠AOC＝α°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝（45°+α°）﹣α°＝45°；
综合上述，∠DOE＝45°．
故答案为：150°或30°；45°．
28．（8分）（2021秋•姜堰区期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
（3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
解：（1）∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC＝40°，∠NOC＝∠BOC＝40°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+40°＝80°；
（2）小明是说法正确，
∵∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝80°；
（3）①当OA⊥ON时，
∵∠AOB＝120°，OA⊥ON，
∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝120°﹣90°＝30°，
∵ON是∠BOC的三等分线，
∴∠BOC＝3∠BON＝90°，
∴∠AOC＝120°﹣90°＝30°；
②当OM⊥OB时，
∵∠AOB＝120°，OM⊥OB，
∴∠AOM＝∠AOB﹣∠BOM＝120°﹣90°＝30°，
∵OM是∠AOC的三等分线，
∴∠AOC＝3∠AOM＝90°．
综上，∠AOC的度数是30°或90°
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
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