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2023-2024学年人教版八年级下册数学 期中测试题
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这是一份2023-2024学年人教版八年级下册数学 期中测试题，共23页。试卷主要包含了下列各式是二次根式是，下列线段不能组成直角三角形的是，下列各式中,计算不正确的是，在▱ABCD中,∠A等内容，欢迎下载使用。
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一．选择题(共10小题)
1.下列各式是二次根式是( )
A. B. C. D.
2.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
3.式子在实数范围内有意义,则的取值范围是( )
A B. C. D.
4.下列线段不能组成直角三角形的是( )
A. a＝6,b＝8,c＝10B. a＝1,b＝,c＝
C. a＝1,b＝1,c＝D. a＝2,b＝3,c＝
5.在平行四边形ABCD中,,．则平行四边形ABCD的周长是( )．
A. 16B. 13C. 10D. 8
6.下列各式中,计算不正确的是( )
A. B. C. D.
7.在▱ABCD中,∠A：∠B：∠C：∠D可能是( )
A. 1：2：3：4B. 2：3：2：3C. 2：2：1：1D. 2：3：3：2
8.如图,在▱ABCD中,下列结论一定成立的是( )
A. AC⊥BDB. ∠BAD+∠ABC＝180°
C. AB＝ADD. ∠ABC＝∠BCD
9.如图,数轴上的点表示的数是-1,点表示的数是1,于点,且,以点为圆心,为半径画弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C. 2.8D.
10.已知在同一平面内,直线a,b,c互相平行,直线a与b之间的距离是3cm,直线b与c之间的距离是5cm,那么直线a与c的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. 不能确定
二．填空题(共8小题)
11.计算的结果是______．
12.如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是______．
13.如图,△ABC中,∠ACB＝90°,以它的各边为边向外作三个正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1＝6,S2＝8,则S3＝_____．
14.如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC周长为_____．
15.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
16.如图,点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点．若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为_____．
17.如图,将一张矩形纸片沿着AE折叠后,点D恰好与BC边上的点F重合,已知AB＝6cm,BC＝10cm,则EC的长度为_____cm．
18.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC＝60°,AB＝BC,连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC,成立结论有______．(填序号)
三．解答题(共7小题)
19.计算：
(1)
(2)
20.计算
21.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,AE＝CF．求证：DE＝BF．
22.已知：如图,△ABC中,AB＝4,∠ABC＝30°,∠ACB＝45°,求△ABC的面积．
23.如图,点E是平行四边形ABCD边CD上的中点,AE、BC的延长线交于点F,连接DF,求证：四边形ACFD为平行四边形.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF＝BC.若AB＝12,求EF的长．
25.规定：[m]为不大于m的最大整数；
(1)填空：[3.2]＝ ,[﹣4.8]＝ ；
(2)已知：动点C在数轴上表示数a,且﹣2≤[a]≤4,则a取值范围 ；
(3)如图：OB＝1,AB⊥OB,且AB＝10,动点D在数轴上表示的数为t,设AD﹣BD＝n,且6≤[n]≤7,求t的取值范围．
答案与解析
一．选择题(共10小题)
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数,即可判断．
[详解]解：A、﹣3＜0,故无意义,故选项不符合题意；
B、符合二次根式,符合题意；
C、是三次根式,故选项不符合题意；
D、3﹣π＜0,故无意义,故选项不符合题意．
故选：B．
[点睛]本题考查了二次根式的定义：是二次根式,必须有a≥0．
2.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
[答案]A
[解析]
分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中,勾为3,股为4,
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3.式子在实数范围内有意义,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]
[分析]
根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
[详解]由题意得：x-1≥0,
解得：x≥1,
故选C.
[点睛]本题考查了二次根式有意义的条件,熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
4.下列线段不能组成直角三角形的是( )
A. a＝6,b＝8,c＝10B. a＝1,b＝,c＝
C. a＝1,b＝1,c＝D. a＝2,b＝3,c＝
[答案]D
[解析]
[分析]
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
[详解]解：A、∵62+82＝102,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
B、∵12+()2＝()2,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
C、∵12+12＝()2,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
D、∵22+32≠()2,∴不能组成直角三角形,故本选项符合题意．
故选：D．
[点睛]本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形．
5.在平行四边形ABCD中,,．则平行四边形ABCD的周长是( )．
A. 16B. 13C. 10D. 8
[答案]A
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得DC=5,AD=3,然后再求出周长即可．
[详解]∵四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=CD,AD=BC,
∵AB=5,BC=3,
∴DC=5,AD=3,
∴平行四边形ABCD的周长为：5+5+3+3=16,
故选A．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形的对边相等．
6.下列各式中,计算不正确的是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]
按照根式的运算规则运算即可.
[详解]解：A. ,正确,
B. ,错误,应该是,
C. ,正确,
D. ,正确,
所以选B.
[点睛]对于此类题主要考查的运用.
7.在▱ABCD中,∠A：∠B：∠C：∠D可能是( )
A. 1：2：3：4B. 2：3：2：3C. 2：2：1：1D. 2：3：3：2
[答案]B
[解析]
[分析]
由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C,∠B＝∠D,即可得出结果．
[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A＝∠C,∠B＝∠D,
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：3：2：3；
故选：B．
[点睛]本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．
8.如图,在▱ABCD中,下列结论一定成立的是( )
A. AC⊥BDB. ∠BAD+∠ABC＝180°
C. AB＝ADD. ∠ABC＝∠BCD
[答案]B
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质判断即可．
[详解]解：A、∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,选项不能成立；
B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ABC＝180°,选项成立；
C、∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD,选项不能成立；
D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC+∠BCD＝180°,选项不成立；
故选：B．
[点睛]本题考查了平行四边形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9.如图,数轴上的点表示的数是-1,点表示的数是1,于点,且,以点为圆心,为半径画弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C. 2.8D.
[答案]A
[解析]
[分析]
根据勾股定理求出AC,根据实数与数轴的概念求出点D表示的数．
[详解]解：由题意得,AB＝2,
由勾股定理得,AC＝,
∴AD＝,
则OD＝−1,即点D表示的数为−1,
故选A．
[点睛]本题考查的是勾股定理、实数与数轴,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．
10.已知在同一平面内,直线a,b,c互相平行,直线a与b之间的距离是3cm,直线b与c之间的距离是5cm,那么直线a与c的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. 不能确定
[答案]C
[解析]
[分析]
分(1)直线a在直线b、c外,(2)直线a在直线b、c之间两种情况,画出图形(1)(2),根据图形进行计算即可．
[详解]解：有两种情况：如图
(1)直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；
(2)直线a与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米．
故选C．
[点睛]本题考查平行线之间的距离,注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．
二．填空题(共8小题)
11.计算的结果是______．
[答案]
[解析]
[分析]
根据二次根式的乘法公式化简即可．
[详解]解：=
故答案为：．
[点睛]此题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
12.如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是______．
[答案].
[解析]
[分析]
,一个无理数a与的积是有理数,那么即可判断a与是同类二次根式,即可写出a的值,答案不唯一.
[详解]解：∵,∴由题意得一个无理数a与的积是有理数,
∴a与是同类二次根式,答案不唯一.
故答案为：.
[点睛]本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质,解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可.
13.如图,△ABC中,∠ACB＝90°,以它的各边为边向外作三个正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1＝6,S2＝8,则S3＝_____．
[答案]14．
[解析]
[分析]
根据勾股定理即可得到结论．
详解]解：∵∠ACB＝90°,S1＝6,S2＝8,
∴AC2＝6,BC2＝8,
∴AB2＝14,
∴S3＝14,
故答案为：14．
[点睛]本题考查了勾股定理,正方形的面积,正确的识别图形是解题的关键．
14.如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为_____．
[答案]14
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质,三角形周长的定义即可解决问题；
[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD,
∵AC+BD=16,
∴OB+OC=8,
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14,
故答案为14．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．
15.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
[答案]10
[解析]
[分析]
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
[详解]解：过点D作DE⊥AB于E,连接BD．
在Rt△BDE中,DE＝8米,BE＝8−2＝6米．
根据勾股定理得BD＝10米．
故填：10.
[点睛]注意作辅助线构造直角三角形,解题的关键是熟知勾股定理的应用.
16.如图,点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点．若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为_____．
[答案]20
[解析]
[分析]
先根据中位线性质得：AB＝2EF,BC＝2DF,AC＝2DE,由周长得：EF+DE+DF＝10,所以2EF+2DE+2DF＝20,即AB+BC+AC＝20．
[详解]∵点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点,
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线,
∴AB＝2EF,BC＝2DF,AC＝2DE,
∵△DEF的周长为10,
∴EF+DE+DF＝10,
∴2EF+2DE+2DF＝20,
∴AB+BC+AC＝20,
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
[点睛]本题考查了三角形中位线的性质,解题的关键在于根据中位线等于第三边的一半转换求解.
17.如图,将一张矩形纸片沿着AE折叠后,点D恰好与BC边上的点F重合,已知AB＝6cm,BC＝10cm,则EC的长度为_____cm．
[答案]3．
[解析]
[分析]
先根据翻折变换的性质得出Rt△ADE≌Rt△AEF,再先设EC的长为x,则AF＝10cm,EF＝DE＝(8﹣x)cm,在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2,已知AB、AF的长可求出BF的长,又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF,在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝EC2+CF2,即：(8﹣x)2＝x2+(10﹣BF)2,将求出的BF的值代入该方程求出x的值,即求出了EC的长．
[详解]解：∵△AEF由△ADE翻折而成,
∴Rt△ADE≌Rt△AEF,
∴∠AFE＝90°,AD＝AF＝10cm,EF＝DE,
设EC＝xcm,则DE＝EF＝CD﹣EC＝(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2,
即82+BF2＝102,
∴BF＝6cm,
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm),
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝EC2+CF2,
即(8﹣x)2＝x2+42,
∴64﹣16x+x2＝x2+16,
∴x＝3(cm),即EC＝3cm,
故答案为：3．
[点睛]本题考查是图形的翻折变换及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键．
18.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC＝60°,AB＝BC,连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC,成立的结论有______．(填序号)
[答案]①②④
[解析]
[分析]
由四边形ABCD是平行四边形,得到∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,根据AE平分∠BAD,得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形,由于AB=BC,得到AE=BC,得到△ABC是直角三角形,于是得到∠CAD=30°,故①正确；由于AC⊥AB,得到S▱ABCD=AB•AC,故②正确,根据AB=BC,OB=BD,且BD＞BC,得到AB≠OB,故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB,于是得到OE=BC,故④正确．
[详解]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,
∵AB=BC,
∴AE=BC,
∴∠BAC=90°,
∴∠CAD=30°,故①正确；
∵AC⊥AB,
∴S▱ABCD=AB•AC,故②正确,
∵AB=BC,OB=BD,
∵BD＞BC,
∴AB≠OB,故③错误；
∵CE=BE,CO=OA,
∴OE=AB,
∴OE=BC,故④正确．
故答案为①②④．
[点睛]本题考查了平行四边形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,平行四边形的面积公式,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
三．解答题(共7小题)
19.计算：
(1)
(2)
[答案](1)4；(2)2
[解析]
[分析]
(1)直接利用二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别计算得出答案；
(2)直接化简二次根式进而利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
[详解]解：(1)
＝3+﹣1+1
＝4；
(2)
＝(8﹣6)÷
＝2÷
＝2．
[点睛]此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键．
20.计算
[答案]10+4
[解析]
[分析]
直接利用乘法公式计算得出答案．
[详解]解：(+2)2+(+2)(﹣2)
＝5+4+4+5﹣4
＝10+4．
[点睛]此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键．
21.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,AE＝CF．求证：DE＝BF．
[答案]详见解析
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质可得BO＝DO,AO＝CO,再利用等式的性质可得EO＝FO,然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF,进而利用平行四边形的判定和性质解答即可．
[详解]证明：连接BF,DE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO＝DO,AO＝CO,
∵AE＝CF,
∴AO﹣AE＝CO﹣FO,
∴EO＝FO,
在△BOE和△DOF中,
,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴BE＝DF,∠AEB＝∠CFD,
∴∠BEO＝∠DFO,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BF＝DE．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的对角线互相平分,证明三角形全等是解题的关键．
22.已知：如图,△ABC中,AB＝4,∠ABC＝30°,∠ACB＝45°,求△ABC的面积．
[答案]2+2
[解析]
[分析]
作AD⊥BC于D,利用30°的直角三角形的性质即可求得BD、再根据勾股定理可求得AD长,利用∠C＝45°可求得AD=CD,进而求得CD的长度,即可得到BC的长,然后利用三角形的面积公式即可求解．
[详解]解：作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠B＝30°,∠ADB=90°,
∴AD＝AB＝4；
BD＝＝2
∵∠C＝45°,∠ADC=90°,
∴∠DAC＝∠C＝45°,
∴DC＝AD＝2,
∴BC＝BD+CD＝2+2
∴S△ABC＝AD•BC＝2+2
[点睛]本题考查了30°的直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定,正确作出辅助线把三角形转化成两个直角三角形是关键．
23.如图,点E是平行四边形ABCD边CD上的中点,AE、BC的延长线交于点F,连接DF,求证：四边形ACFD为平行四边形.
[答案]证明见解析.
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD,然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.
[详解]证明：∵在▱ABCD中,AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点,
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中,,
∴△ADE≌△FCE(ASA)
∴AD=FC．
又∵AD∥FC,
∴四边形ACFD是平行四边形．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的判定和性质,关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF＝BC.若AB＝12,求EF的长．
[答案]5
[解析]
[分析]
如图,连接DC,根据三角形中位线定理可得,DE=BC,DE∥BC,又因CF=BC,可得DE=CF,进而得出四边形DEFC是平行四边形,即可得出答案．
[详解]解：连接DC,
∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE=BC,DE∥BC,
∵CF=BC,
∴DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴DC=EF,
DC=AB=5,
所以EF=DC=5．
考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
25.规定：[m]为不大于m的最大整数；
(1)填空：[3.2]＝ ,[﹣4.8]＝ ；
(2)已知：动点C在数轴上表示数a,且﹣2≤[a]≤4,则a的取值范围 ；
(3)如图：OB＝1,AB⊥OB,且AB＝10,动点D在数轴上表示的数为t,设AD﹣BD＝n,且6≤[n]≤7,求t的取值范围．
[答案](1)3,-5；(2)﹣2≤a＜5；(3)﹣≤t＜﹣或＜t≤．
[解析]
[分析]
(1)根据[m]为不大于m的最大整数数即可求解；
(2)根据[m]为不大于m的最大整数,可得﹣2≤a＜5即可求解；
(3)分两种情形：当点D在点B右边时,当点D在点B的左边时分别求解即可．
[详解]解：(1)[3.2]＝3,[﹣4.8]＝﹣5．
故答案为3,﹣5．
(2)∵﹣2≤[a]≤4
∴﹣2≤a＜5．
(3)如图,当点D在点B的右边时,
∵6≤[n]≤7,
∴6≤n＜8,
当n＝8时,﹣(t﹣1)＝8,
解得t＝,
当n＝6时,﹣(t﹣1)＝8,
解得t＝,
观察图象可知,＜t≤．
当点D在点B的左边时,同法可得﹣≤t＜﹣,
综上所述,满足条件t的值为﹣≤t＜﹣或＜t≤．
[点睛]本题考查实数与数轴,勾股定理,无理方程等知识,解题的关键是理解题意,学会结合新定义考查估算无理数的大小,灵活运用所学知识解决问题．
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一．选择题(共10小题)
1.下列各式是二次根式是( )
A. B. C. D.
2.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
3.式子在实数范围内有意义,则的取值范围是( )
A B. C. D.
4.下列线段不能组成直角三角形的是( )
A. a＝6,b＝8,c＝10B. a＝1,b＝,c＝
C. a＝1,b＝1,c＝D. a＝2,b＝3,c＝
5.在平行四边形ABCD中,,．则平行四边形ABCD的周长是( )．
A. 16B. 13C. 10D. 8
6.下列各式中,计算不正确的是( )
A. B. C. D.
7.在▱ABCD中,∠A：∠B：∠C：∠D可能是( )
A. 1：2：3：4B. 2：3：2：3C. 2：2：1：1D. 2：3：3：2
8.如图,在▱ABCD中,下列结论一定成立的是( )
A. AC⊥BDB. ∠BAD+∠ABC＝180°
C. AB＝ADD. ∠ABC＝∠BCD
9.如图,数轴上的点表示的数是-1,点表示的数是1,于点,且,以点为圆心,为半径画弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C. 2.8D.
10.已知在同一平面内,直线a,b,c互相平行,直线a与b之间的距离是3cm,直线b与c之间的距离是5cm,那么直线a与c的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. 不能确定
二．填空题(共8小题)
11.计算的结果是______．
12.如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是______．
13.如图,△ABC中,∠ACB＝90°,以它的各边为边向外作三个正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1＝6,S2＝8,则S3＝_____．
14.如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC周长为_____．
15.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
16.如图,点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点．若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为_____．
17.如图,将一张矩形纸片沿着AE折叠后,点D恰好与BC边上的点F重合,已知AB＝6cm,BC＝10cm,则EC的长度为_____cm．
18.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC＝60°,AB＝BC,连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC,成立结论有______．(填序号)
三．解答题(共7小题)
19.计算：
(1)
(2)
20.计算
21.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,AE＝CF．求证：DE＝BF．
22.已知：如图,△ABC中,AB＝4,∠ABC＝30°,∠ACB＝45°,求△ABC的面积．
23.如图,点E是平行四边形ABCD边CD上的中点,AE、BC的延长线交于点F,连接DF,求证：四边形ACFD为平行四边形.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF＝BC.若AB＝12,求EF的长．
25.规定：[m]为不大于m的最大整数；
(1)填空：[3.2]＝ ,[﹣4.8]＝ ；
(2)已知：动点C在数轴上表示数a,且﹣2≤[a]≤4,则a取值范围 ；
(3)如图：OB＝1,AB⊥OB,且AB＝10,动点D在数轴上表示的数为t,设AD﹣BD＝n,且6≤[n]≤7,求t的取值范围．
答案与解析
一．选择题(共10小题)
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数,即可判断．
[详解]解：A、﹣3＜0,故无意义,故选项不符合题意；
B、符合二次根式,符合题意；
C、是三次根式,故选项不符合题意；
D、3﹣π＜0,故无意义,故选项不符合题意．
故选：B．
[点睛]本题考查了二次根式的定义：是二次根式,必须有a≥0．
2.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
[答案]A
[解析]
分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中,勾为3,股为4,
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3.式子在实数范围内有意义,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]
[分析]
根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
[详解]由题意得：x-1≥0,
解得：x≥1,
故选C.
[点睛]本题考查了二次根式有意义的条件,熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
4.下列线段不能组成直角三角形的是( )
A. a＝6,b＝8,c＝10B. a＝1,b＝,c＝
C. a＝1,b＝1,c＝D. a＝2,b＝3,c＝
[答案]D
[解析]
[分析]
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
[详解]解：A、∵62+82＝102,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
B、∵12+()2＝()2,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
C、∵12+12＝()2,∴能组成直角三角形,故本选项不符合题意；
D、∵22+32≠()2,∴不能组成直角三角形,故本选项符合题意．
故选：D．
[点睛]本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形．
5.在平行四边形ABCD中,,．则平行四边形ABCD的周长是( )．
A. 16B. 13C. 10D. 8
[答案]A
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得DC=5,AD=3,然后再求出周长即可．
[详解]∵四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=CD,AD=BC,
∵AB=5,BC=3,
∴DC=5,AD=3,
∴平行四边形ABCD的周长为：5+5+3+3=16,
故选A．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形的对边相等．
6.下列各式中,计算不正确的是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]
按照根式的运算规则运算即可.
[详解]解：A. ,正确,
B. ,错误,应该是,
C. ,正确,
D. ,正确,
所以选B.
[点睛]对于此类题主要考查的运用.
7.在▱ABCD中,∠A：∠B：∠C：∠D可能是( )
A. 1：2：3：4B. 2：3：2：3C. 2：2：1：1D. 2：3：3：2
[答案]B
[解析]
[分析]
由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C,∠B＝∠D,即可得出结果．
[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A＝∠C,∠B＝∠D,
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：3：2：3；
故选：B．
[点睛]本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．
8.如图,在▱ABCD中,下列结论一定成立的是( )
A. AC⊥BDB. ∠BAD+∠ABC＝180°
C. AB＝ADD. ∠ABC＝∠BCD
[答案]B
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质判断即可．
[详解]解：A、∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,选项不能成立；
B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ABC＝180°,选项成立；
C、∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD,选项不能成立；
D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC+∠BCD＝180°,选项不成立；
故选：B．
[点睛]本题考查了平行四边形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9.如图,数轴上的点表示的数是-1,点表示的数是1,于点,且,以点为圆心,为半径画弧交数轴于点,则点表示的数为( )
A. B. C. 2.8D.
[答案]A
[解析]
[分析]
根据勾股定理求出AC,根据实数与数轴的概念求出点D表示的数．
[详解]解：由题意得,AB＝2,
由勾股定理得,AC＝,
∴AD＝,
则OD＝−1,即点D表示的数为−1,
故选A．
[点睛]本题考查的是勾股定理、实数与数轴,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．
10.已知在同一平面内,直线a,b,c互相平行,直线a与b之间的距离是3cm,直线b与c之间的距离是5cm,那么直线a与c的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. 不能确定
[答案]C
[解析]
[分析]
分(1)直线a在直线b、c外,(2)直线a在直线b、c之间两种情况,画出图形(1)(2),根据图形进行计算即可．
[详解]解：有两种情况：如图
(1)直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；
(2)直线a与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米．
故选C．
[点睛]本题考查平行线之间的距离,注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．
二．填空题(共8小题)
11.计算的结果是______．
[答案]
[解析]
[分析]
根据二次根式的乘法公式化简即可．
[详解]解：=
故答案为：．
[点睛]此题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
12.如果一个无理数a与的积是一个有理数,写出a的一个值是______．
[答案].
[解析]
[分析]
,一个无理数a与的积是有理数,那么即可判断a与是同类二次根式,即可写出a的值,答案不唯一.
[详解]解：∵,∴由题意得一个无理数a与的积是有理数,
∴a与是同类二次根式,答案不唯一.
故答案为：.
[点睛]本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质,解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可.
13.如图,△ABC中,∠ACB＝90°,以它的各边为边向外作三个正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1＝6,S2＝8,则S3＝_____．
[答案]14．
[解析]
[分析]
根据勾股定理即可得到结论．
详解]解：∵∠ACB＝90°,S1＝6,S2＝8,
∴AC2＝6,BC2＝8,
∴AB2＝14,
∴S3＝14,
故答案为：14．
[点睛]本题考查了勾股定理,正方形的面积,正确的识别图形是解题的关键．
14.如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为_____．
[答案]14
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质,三角形周长的定义即可解决问题；
[详解]解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD,
∵AC+BD=16,
∴OB+OC=8,
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14,
故答案为14．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．
15.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
[答案]10
[解析]
[分析]
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
[详解]解：过点D作DE⊥AB于E,连接BD．
在Rt△BDE中,DE＝8米,BE＝8−2＝6米．
根据勾股定理得BD＝10米．
故填：10.
[点睛]注意作辅助线构造直角三角形,解题的关键是熟知勾股定理的应用.
16.如图,点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点．若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为_____．
[答案]20
[解析]
[分析]
先根据中位线性质得：AB＝2EF,BC＝2DF,AC＝2DE,由周长得：EF+DE+DF＝10,所以2EF+2DE+2DF＝20,即AB+BC+AC＝20．
[详解]∵点D,E,F分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点,
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线,
∴AB＝2EF,BC＝2DF,AC＝2DE,
∵△DEF的周长为10,
∴EF+DE+DF＝10,
∴2EF+2DE+2DF＝20,
∴AB+BC+AC＝20,
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
[点睛]本题考查了三角形中位线的性质,解题的关键在于根据中位线等于第三边的一半转换求解.
17.如图,将一张矩形纸片沿着AE折叠后,点D恰好与BC边上的点F重合,已知AB＝6cm,BC＝10cm,则EC的长度为_____cm．
[答案]3．
[解析]
[分析]
先根据翻折变换的性质得出Rt△ADE≌Rt△AEF,再先设EC的长为x,则AF＝10cm,EF＝DE＝(8﹣x)cm,在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2,已知AB、AF的长可求出BF的长,又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF,在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝EC2+CF2,即：(8﹣x)2＝x2+(10﹣BF)2,将求出的BF的值代入该方程求出x的值,即求出了EC的长．
[详解]解：∵△AEF由△ADE翻折而成,
∴Rt△ADE≌Rt△AEF,
∴∠AFE＝90°,AD＝AF＝10cm,EF＝DE,
设EC＝xcm,则DE＝EF＝CD﹣EC＝(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2,
即82+BF2＝102,
∴BF＝6cm,
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm),
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝EC2+CF2,
即(8﹣x)2＝x2+42,
∴64﹣16x+x2＝x2+16,
∴x＝3(cm),即EC＝3cm,
故答案为：3．
[点睛]本题考查是图形的翻折变换及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键．
18.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC＝60°,AB＝BC,连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC,成立的结论有______．(填序号)
[答案]①②④
[解析]
[分析]
由四边形ABCD是平行四边形,得到∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,根据AE平分∠BAD,得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形,由于AB=BC,得到AE=BC,得到△ABC是直角三角形,于是得到∠CAD=30°,故①正确；由于AC⊥AB,得到S▱ABCD=AB•AC,故②正确,根据AB=BC,OB=BD,且BD＞BC,得到AB≠OB,故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB,于是得到OE=BC,故④正确．
[详解]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,
∵AB=BC,
∴AE=BC,
∴∠BAC=90°,
∴∠CAD=30°,故①正确；
∵AC⊥AB,
∴S▱ABCD=AB•AC,故②正确,
∵AB=BC,OB=BD,
∵BD＞BC,
∴AB≠OB,故③错误；
∵CE=BE,CO=OA,
∴OE=AB,
∴OE=BC,故④正确．
故答案为①②④．
[点睛]本题考查了平行四边形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,平行四边形的面积公式,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
三．解答题(共7小题)
19.计算：
(1)
(2)
[答案](1)4；(2)2
[解析]
[分析]
(1)直接利用二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别计算得出答案；
(2)直接化简二次根式进而利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
[详解]解：(1)
＝3+﹣1+1
＝4；
(2)
＝(8﹣6)÷
＝2÷
＝2．
[点睛]此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键．
20.计算
[答案]10+4
[解析]
[分析]
直接利用乘法公式计算得出答案．
[详解]解：(+2)2+(+2)(﹣2)
＝5+4+4+5﹣4
＝10+4．
[点睛]此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键．
21.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,AE＝CF．求证：DE＝BF．
[答案]详见解析
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质可得BO＝DO,AO＝CO,再利用等式的性质可得EO＝FO,然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF,进而利用平行四边形的判定和性质解答即可．
[详解]证明：连接BF,DE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO＝DO,AO＝CO,
∵AE＝CF,
∴AO﹣AE＝CO﹣FO,
∴EO＝FO,
在△BOE和△DOF中,
,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴BE＝DF,∠AEB＝∠CFD,
∴∠BEO＝∠DFO,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BF＝DE．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的对角线互相平分,证明三角形全等是解题的关键．
22.已知：如图,△ABC中,AB＝4,∠ABC＝30°,∠ACB＝45°,求△ABC的面积．
[答案]2+2
[解析]
[分析]
作AD⊥BC于D,利用30°的直角三角形的性质即可求得BD、再根据勾股定理可求得AD长,利用∠C＝45°可求得AD=CD,进而求得CD的长度,即可得到BC的长,然后利用三角形的面积公式即可求解．
[详解]解：作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠B＝30°,∠ADB=90°,
∴AD＝AB＝4；
BD＝＝2
∵∠C＝45°,∠ADC=90°,
∴∠DAC＝∠C＝45°,
∴DC＝AD＝2,
∴BC＝BD+CD＝2+2
∴S△ABC＝AD•BC＝2+2
[点睛]本题考查了30°的直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定,正确作出辅助线把三角形转化成两个直角三角形是关键．
23.如图,点E是平行四边形ABCD边CD上的中点,AE、BC的延长线交于点F,连接DF,求证：四边形ACFD为平行四边形.
[答案]证明见解析.
[解析]
[分析]
根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD,然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.
[详解]证明：∵在▱ABCD中,AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点,
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中,,
∴△ADE≌△FCE(ASA)
∴AD=FC．
又∵AD∥FC,
∴四边形ACFD是平行四边形．
[点睛]此题主要考查了平行四边形的判定和性质,关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF＝BC.若AB＝12,求EF的长．
[答案]5
[解析]
[分析]
如图,连接DC,根据三角形中位线定理可得,DE=BC,DE∥BC,又因CF=BC,可得DE=CF,进而得出四边形DEFC是平行四边形,即可得出答案．
[详解]解：连接DC,
∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE=BC,DE∥BC,
∵CF=BC,
∴DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴DC=EF,
DC=AB=5,
所以EF=DC=5．
考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
25.规定：[m]为不大于m的最大整数；
(1)填空：[3.2]＝ ,[﹣4.8]＝ ；
(2)已知：动点C在数轴上表示数a,且﹣2≤[a]≤4,则a的取值范围 ；
(3)如图：OB＝1,AB⊥OB,且AB＝10,动点D在数轴上表示的数为t,设AD﹣BD＝n,且6≤[n]≤7,求t的取值范围．
[答案](1)3,-5；(2)﹣2≤a＜5；(3)﹣≤t＜﹣或＜t≤．
[解析]
[分析]
(1)根据[m]为不大于m的最大整数数即可求解；
(2)根据[m]为不大于m的最大整数,可得﹣2≤a＜5即可求解；
(3)分两种情形：当点D在点B右边时,当点D在点B的左边时分别求解即可．
[详解]解：(1)[3.2]＝3,[﹣4.8]＝﹣5．
故答案为3,﹣5．
(2)∵﹣2≤[a]≤4
∴﹣2≤a＜5．
(3)如图,当点D在点B的右边时,
∵6≤[n]≤7,
∴6≤n＜8,
当n＝8时,﹣(t﹣1)＝8,
解得t＝,
当n＝6时,﹣(t﹣1)＝8,
解得t＝,
观察图象可知,＜t≤．
当点D在点B的左边时,同法可得﹣≤t＜﹣,
综上所述,满足条件t的值为﹣≤t＜﹣或＜t≤．
[点睛]本题考查实数与数轴,勾股定理,无理方程等知识,解题的关键是理解题意,学会结合新定义考查估算无理数的大小,灵活运用所学知识解决问题．
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