专题2.23 一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题2.23 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解）第一部分【考点目录】中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点,历年真题充分体现该题命题思路和意图,通过分析题目的关键要点,了解相关内容的意义,学会从命题者的角度分析问题,寻找切入点,培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效果,本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用.一、选择题与填空题【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1; 【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................3; 【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................5; 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................7; 【考点5】根的判别式及应用（3个题）.......................................9; 【考点6】根与系数关系（3个题）..........................................10; 【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）................................12; 解答题【考点8】解一元二次方程（4个题）........................................14; 【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）..............................15; 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）.........................17; 【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）...............................19.第二部分【考点展示与方法点拨】一、选择题与填空题【考点1】求代数式的值【1-1】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，∴故答案为：6．【1-2】（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．解：∵，是方程的两个实数根，∴，，故选A【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【1-3】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．【考点2】配方法及其应用【2-1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．用配方法把移项，配方，化为，即可．解：∵，移项得，，配方得，，即，∴，，∴．故选：D．【2-2】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．【答案】6【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．解：∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴当a=4时，取得最小值为6∴的最小值为6∵∴的最小值6故答案为：6．【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．【2-3】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．解：∵，∴，，则，即，∴，，∴．故选：B．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．【考点3】因式分解法及其应用【3-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ．【答案】【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．解：，方程两边同时乘以得，，，，，或．经检验时，，故舍去．原方程的解为：．故答案为：．【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．【3-2】（2023·内蒙古·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得．解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且，∴,∴为，∴在第二象限，故选：B．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．【3-3】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．解：∵，∴，将代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案为：3．【3-4】（2023·四川眉山·中考真题）已知方程的根为，则的值为 ．【答案】6【分析】解方程，将解得的代入即可解答．解：，对左边式子因式分解，可得解得，，将，代入，可得原式，故答案为：6．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．【考点4】直接开平方法及其应用【4-1】【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、，解得：，故本选项符合题意；C、，，解得，故本选项不符合题意；D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．解：是关于的一元二次方程，，即 由一个根，代入，可得，解之得； 由得；故选A【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．【答案】或【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．解：∵，而，∴①当时，则有，解得，；②当时，，解得，综上所述，x的值是或，故答案为：或．【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．1                       1   1                     1   2   1                   1   3   3   1                 当代数式的值为1时，则x的值为（    ）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．解：由规律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故选：C．【点拨】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．【考点5】根的判别式【5-1】（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）A． B． C．4 D．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．解：∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．【5-2】（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，的取值范围是：且．故选：A．【5-3】（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．【答案】9【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，即，解得．故答案为：9．【考点6】根与系数关系【6-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．解：，，而，，，故选：A．【6-2】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．解：，是一元二次方程的两个实数根，，，，，．故答案为：．【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．解：设方程的两根分别为a，b，∴，∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为，故C正确．故选：C．【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．【考点7】一元二次方程的实际应用【7-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．解：设每次降价的百分率为，由题意，得：，解得：（舍去）；故选C．【7-2】（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则，在中，，在中，， ， ，即，整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在．故选：D．【7-3】（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，由题意得，，同理得，解得或（舍去），∴小路的宽为，故答案为：．【考点8】解一元二次方程【8-1】（2024·上海·中考真题）解方程组：．【答案】，或者，．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．【8-2】（2024·安徽·中考真题）解方程：【答案】，【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．解：∵，∴，∴，∴，．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．【8-3】（2023·四川凉山·中考真题）解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．解：方程两边同乘，得，整理得，，∴，解得：，，检验：当时，，是增根，当时，，原方程的解为．【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【考点9】利用根的判别式求值或证明【9-1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．【答案】(1)； (2)【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．解：（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，解得：；（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整数的值有，，，当时，方程为，解得：，（都是整数，此情况符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，的值为．【9-2】（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①；②；③；④．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，，；选③，，【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．解：中，①时，，方程有两个相等的实数根；②时，，方程有两个不相等的实数根；③时，，方程有两个不相等的实数根；④时，，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②时，，，，，；选择③时，，，，，．【点拨】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）【10-1】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．【答案】(1)证明见解析； (2)或．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明恒成立即可；（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．解：（1）证明：，∵无论取何值，，恒成立，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∴，解得：或．【10-2】（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．【答案】(1)证明见解析； (2)的值为1或【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．解：（1）证明：∵，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵的两个实数根为，∴．∵，∴，．∴．即．解得或．∴的值为1或．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【10-3】（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】(1)见解析； (2)【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．解：（1），∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．【考点11】一元二次方程的实际应用【11-1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？【答案】(1)36；120；；(2)不能；(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．解：（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为，那么，前行的点数之和为；故答案为：36；120；；（2）解：不能，理由如下：由题意得，得， ，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；故答案为：不能；（3）解：同理，前行的点数之和为，由题意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能摆放20排．【11-2】（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．      【答案】的长为米或米【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．解：设米，则米，根据题意得，，解得：，答：的长为米或米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【11-3】2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．解：（1）设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知： ，解出：，故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，∴是关于m的一次函数，且3＞0，∴随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537