人教版八年级数学上册重难考点微专题04因式分解通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题04因式分解通关专练特训(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·湖南娄底·七年级统考阶段练习）多项式x3−x的因式为（ ）
A．xx−1B．x+1C．x+1x−1D．以上都是
2．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解且因式分解正确的是（ ）
A．a(a+3)=a2+3aB．a2+4a−5=a(a+4)−5
C．4a2−1=(4a+1)(4a−1)D．a2+6a+9=(a+3)2
3．（2023春·安徽合肥·七年级校考期末）下列说法：①（﹣2）101+（﹣2）100＝﹣2100；②20232+2023一定可以被2023整除；③16.9×18+15.1×18能被4整除；④两个连续奇数的平方差是8的倍数．其中说法正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（2022秋·甘肃金昌·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（2a＋1）＝2ax＋xB．m2-n2＝（m-n）（m＋n）
C．x2-2x＋4＝（x-2）2D．x2-36＋9x＝（x＋6）（x-6）＋9x
5．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）已知n为自然数，则n+12−n−32一定能被下列哪个数整除？（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．10x2−5x=5x(2x−1)B．x2−4x+1=x(x−4)+1
C．6xy2=2x⋅3y2D．(y−1)(y−2)=y2−3y+2
7．（2022春·七年级单元测试）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80B．160C．320D．480
8．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A．(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2B．2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)
C．2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)D．2a2+4ab+2b2=2(a+b)2
9．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）下列因式分解正确的有几个（ ）
（1）x2−4=(x+2)(x−2)；（2）x2+6x+10=(x+2)(x−4)+2；（3）7x2−63=7(x2−9)；（4）(a+b)(a−b)=a2−b2；（5）y2+y+14=(y+12)2
A．1B．2C．3D．4
10．（2023春·安徽马鞍山·七年级校考期中）下列分解因式正确的是（ ）
A．−x2+4x=−xx+4B．x2+xy+x=xx+y
C．−x2+y2=−x−yx+yD．x2−4x+4=x+2x−2
11．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．x2−4yC．−x2+4y2D．−x2−4y2
12．（2023春·七年级课时练习）因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是( )．
A．abcB．2aC．2cD．2ac
13．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）下列不能分解因式的是（ ）
A．a2−4B．a2+16C．9a2−6a+1D．4a+2b
14．（2023·浙江杭州·模拟预测）将a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a （a﹣1）B．a （a+1）C．（a+1）（a﹣1）D．（a﹣1）2
15．（2022秋·河南开封·八年级校联考期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1,a−b,5,x2+1,a,x+1，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将5a(x2−1)−5b(x2−1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
16．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区黄埔学校校考期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．a2−b2=a−b2B．1−4a2=1+2a1−2a
C．m2−3m−4=mm−3−4D．x2+4y2=x+2y2
17．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−4x+4B．x2+x+1C．4x2+4x−1D．x2+2x−1
18．（2023春·安徽滁州·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ab2﹣6ab＝3a（b2﹣2b）B．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝（a﹣b）（x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a﹣2b）2D．﹣a2+a﹣14＝﹣14（2a﹣1）2
19．（2023春·七年级单元测试）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )
A．(m－n)(m＋n)B．(－x－y)(－x－y)
C．(x4－y4)(x4＋y4)D．(a3－b3)(b3＋a3)
20．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）多项式9a2x2−18a4x3各项的公因式是（ ）
A．9axB．9a2x2C．a2x2D．9a4x3
21．（2023春·七年级单元测试）已知a＋3b＝2，则a2－9b2＋12b的值是( )
A．2B．3C．4D．6
22．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2−5x=5x⋅2x−5xB．ax+y=ax+ay
C．x2−4x+4=x−22D．x2−16+3x=x−4x+4+3x
23．（2023春·七年级单元测试）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
24．（2022秋·江苏南通·八年级校考期末）现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形（aA．2a+3bB．2a+bC．a+3bD．3a+2b
25．（2023·七年级统考课时练习）以下是一名学生做的5道因式分解题
①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）；
②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2+8x﹣13）；
③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6+x）；
④1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x）；
⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）
请问他做对了几道题？（ ）
A．5题B．4题C．3题D．2题
二、填空题
26．（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）把多项式8x2−2分解因式的结果是 ．
27．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）在实数范围内因式分解：2x2−5x+1=
28．（2022秋·八年级单元测试）单项式8xmyn－1与–4xm+1yn的公因式是 ．
29．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）已知x、y满足{2x+y=66x+2y=−60，则x2﹣y2的值为 ．
30．（2023·浙江金华·校联考二模）因式分解：3ab+6a＝ ．
31．（2022秋·八年级单元测试）把a2﹣16分解因式，结果为 ．
32．（2023·全国·九年级专题练习）对于正整数m，若m＝pq（p≥q＞0，且p，q为整数），当p﹣q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m）＝qp（如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f（12）＝34）．关于f（m）有下列判断：①f（27）＝3；②f（13）＝113；③f（2023）＝11009；④f（2）＝f（32）．其中，正确判断的序号是 ．
33．（2022秋·上海黄浦·七年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）因式分解：18m2（a−b）+9m(b−a)=
34．（2023·吉林长春·统考二模）因式分解：a2+6a= ．
35．（2023·七年级单元测试）因式分解：m+n2−5m+n−36= .
36．（2022·宁夏银川·校考三模）因式分解：x3y−2x2y+xy= ．
37．（2022春·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）把多项式m2n−6mn+9n分解因式的结果是 ．
38．（2022秋·上海·八年级上海市建平实验中学校考期中）在实数范围内因式分解：3x2−x−1=
39．（2022秋·北京海淀·八年级北大附中校考期中）样例：
将多项式 4x²+1 加上一个整式 Q,使它成为某一个多项式的平方,写出一个满足条件的整式 Q.
解:当 Q=4x 时,4x²+1+Q=4x²+1+4x=(2x+1)²
仿照样例,解答下面的问题：
将多项式 1+16x²加上一个整式 P,使它成为某一个多项式的平方,
写出三个满足条件的整式 P=
40．（2023·上海·七年级假期作业）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为x+2x+4；乙看错了a，分解结果为x+1x+9，则a= ，b=
41．（2023·湖北黄石·黄石八中校考模拟预测）因式分解2a3b﹣8ab3＝ ．
42．（2022秋·八年级课时练习）如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝3，那么 a+b 的值为 ．
43．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一中学校考阶段练习）（1）已知长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，则它的表面积是 ；
（2）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2023＝ ；
（3）若25x＝2000，80y＝2000，则1x+1y的值为 ．
44．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）分解因式：a−ax2= ．
45．（2023春·浙江·七年级专题练习）若多项式x4+mx2−nx−16含有因式(x+1)和(x−2)，则m−2n= ．
46．（2022春·山东泰安·六年级校考期中）已知：m2−4n2=16，m+2n=5，则m-2n= ．
47．（2022秋·贵州黔东南·八年级校考期末）分解因式：x2y−9y= ．
48．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式：4x2﹣16＝ ；x2+x﹣2＝ ．
49．（2023·山东潍坊·统考二模）因式分解：(a+3)(a-3)-5(a+1)= .
50．（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）因式分解：9−x2= ．
三、解答题
51．（2023春·七年级课时练习）分解因式．
(1)a2(x−y)+4(y−x)；
(2)x2+16y22−64x2y2．
52．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2+ac−b2−bc=0．试判断△ABC的形状．
53．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）分解因式：
(1)x2y−25y；
(2)−m2+6m−9．
54．（2023春·江苏无锡·七年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式x2−4y2−2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0判断△ABC的形状，并说明理由．
55．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
56．分解因式：
(1)8m2n+2mn
(2)(3x+5)2−(2x−5)2
57．（2023春·江苏苏州·七年级苏州市相城实验中学校考阶段练习）分解因式：
（1）(x+2)2−9，
（2）3x3−6x2+3x．
58．（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）因式分解：
（1）x2−4
（2）m3−10m2+25m
59．（2023春·辽宁·八年级沈阳市杏坛中学校考期中）因式分解
（1）2m（a－b）－6n（b－a）
（2）－a2bc+2ab2c－b3c
60．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列各式分解因式：
(1)2x2﹣8x；(2)6ab3﹣24a3b.
61．（2023春·七年级课时练习）分解因式：x2−y2−4x+6y−5．
62．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式
（1）x2−9
（2）−4ab2+4a2b+b3
63．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）因式分解：
（1）(m+n)2-10(m+n)+25；
（2）2ax2−18ay2．
65．（2022秋·全国·八年级期末）计算或因式分解：
(1)计算：(−7)2−|2−2|+3−27−(−1)4；
(2)因式分解：2mn3−4m2n2+2m3n．
66．（2023春·四川乐山·七年级校考期中）如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”．将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为F(n)．如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和F(n)=213+321+132=666，是一个“同花数”．
（1）计算：F(432)，F(716)，并判断它们是否为“同花数”；
（2）若a是“异花数”，证明：F(a)等于a的各数位上的数字之和的111倍；
（2）若“数”n=100+10p+q（中p、q都是正整数，1≤p≤9，1≤q≤9），且F(n)为最大的三位“同花数”，求n的值．
67．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）分解因式：
（1）3a2﹣12ab+12b2
（2）9（m+n）2﹣（m﹣n）2
68．（2023春·七年级课时练习）求下列代数式的值：
(1)x2y－xy2，其中x－y＝1，xy＝2 018；
(2)8x3(x－3)＋12x2(3－x)，其中x＝32；
(3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
69．（2023春·全国·八年级专题练习）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572=22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
(1)判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
(2)把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M=A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令GM=PMQM，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
70．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）因式分解
(1)3ax2﹣6axy+3ay2
(2)mm−4+4．
71．（2023春·七年级课时练习）利用分解因式计算：
（1）9938×10058
（2）2012−522+253×851
72．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）因式分解
(1)2ab3−2ab；
(2)−mx2+12mx−36m．
73．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．
74．（2023春·八年级课时练习）已知x+y2=12，x−y2=8，求下列各式的值：
(1)xy．
(2)x3y+xy3．
75．（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）因式分解：
(1)a2b−ab2；
(2)2x2−8；
76．（2022秋·云南玉溪·八年级阶段练习）观察下列分解因式的过程：
x2+2ax﹣3a2
=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2（先加上a2，再减去a2）
=（x+a）2﹣4a2（运用完全平方公式）
=（x+a+2a）（x+a﹣2a ）（运用平方差公式）
=（x+3a）（x﹣a）
像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．
请你用配方法分解因式：m2﹣4mn+3n2
77．（2023春·八年级单元测试）已知a+b＝32，ab＝﹣43，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
78．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）（1）计算：(x+3)(x−3)−x(x−2)
（2）分解因式：3x3−27x
79．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）因式分解
（1）x2y－2xy+y；
（2）x4－16
80．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）分解因式：
(1)4a2−9b2； （2）ax2+2a2x+a3 ．
微专题04 因式分解通关专练
一、单选题
1．（2023春·湖南娄底·七年级统考阶段练习）多项式x3−x的因式为（ ）
A．xx−1B．x+1C．x+1x−1D．以上都是
【答案】D
【分析】将x3−x先提公因式因式分解，然后运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：x3−x
=x(x2−1)
=x(x+1)(x−1)，
∴xx−1、x+1、x+1x−1，
均为x3−x的因式，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解以及运用平方差公式因式分解，熟练运用公式法因式分解是解本题的关键．
2．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解且因式分解正确的是（ ）
A．a(a+3)=a2+3aB．a2+4a−5=a(a+4)−5
C．4a2−1=(4a+1)(4a−1)D．a2+6a+9=(a+3)2
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A、a(a+3)=a2+3a，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a2+4a−5=a(a+4)−5，没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、4a2−1=(2a+1)(2a−1)，故原式不正确，故此选项不符合题意；
D、a2+6a+9=(a+3)2，是因式分解且正确，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义．能够根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题的关键．
3．（2023春·安徽合肥·七年级校考期末）下列说法：①（﹣2）101+（﹣2）100＝﹣2100；②20232+2023一定可以被2023整除；③16.9×18+15.1×18能被4整除；④两个连续奇数的平方差是8的倍数．其中说法正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】直接利提取公因式法及平方差公式法分解因式计算即可得出答案．
【详解】①（﹣2）101+（﹣2）100=（﹣2）100×（﹣2+1）=﹣2100，故此选项正确；
②20232+2023=2023×（2023+1）
=2023×2023，
故此式一定可以被2023整除，故此选项正确；
③16.9×18+15.1×18=18×（16.9+15.1）=4，故此式能被4整除，故此选项正确；
④∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选A．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确进行因式分解是解题关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.
4．（2022秋·甘肃金昌·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（2a＋1）＝2ax＋xB．m2-n2＝（m-n）（m＋n）
C．x2-2x＋4＝（x-2）2D．x2-36＋9x＝（x＋6）（x-6）＋9x
【答案】B
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】解：A．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B．等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C．等式左边不是完全平方式的形式，不能够分解，故本选项错误；
D．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
5．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）已知n为自然数，则n+12−n−32一定能被下列哪个数整除？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】利用平方差公式对式子进行因式分解求解即可．
【详解】解：n+12−n−32=n+1+n−3(n+1−n+3)=8(n−1)，
当n为自然数时，n+12−n−32一定能被8整除，
故选：D
【点睛】此题考查了因式分解的应用，将整式进行分解因式是解题的关键．
6．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．10x2−5x=5x(2x−1)B．x2−4x+1=x(x−4)+1
C．6xy2=2x⋅3y2D．(y−1)(y−2)=y2−3y+2
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C．等号左侧不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．从左到右的变形是整式的运算，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
7．（2022春·七年级单元测试）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80B．160C．320D．480
【答案】B
【分析】根据题意可得2(a+b)=20，ab=16，则a2b+ab2=ab(a+b)，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得2(a+b)=20，ab=16，即a+b=10，
a2b+ab2=ab(a+b)=160，
故选：B
【点睛】此题考查了代数式求值，解题的关键是利用因式分解法求得a2b+ab2=ab(a+b)．
8．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A．(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2B．2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)
C．2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)D．2a2+4ab+2b2=2(a+b)2
【答案】C
【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解．
【详解】运用组合图形的思路求整体的面积=2a2+5ab+2b2，直接求矩形面积=(a+2b)(2a+b)
∴2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)
故选：C
【点睛】本题考查图形的面积与因式分解，掌握数形结合思想是关键．
9．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）下列因式分解正确的有几个（ ）
（1）x2−4=(x+2)(x−2)；（2）x2+6x+10=(x+2)(x−4)+2；（3）7x2−63=7(x2−9)；（4）(a+b)(a−b)=a2−b2；（5）y2+y+14=(y+12)2
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据平方差公式，因式分解的定义，完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：（1）x2−4=(x+2)(x−2)，正确，符合题意；
（2）x2+6x+10=(x+2)(x−4)+2，右边不是因式的乘积的形式，错误，不符合题意；
（3）7x2−63=7(x2−9)=7(x+3)(x−3)，错误，不符合题意；
（4）(a+b)(a−b)=a2−b2，是整式乘法，错误，不符合题意；
（5）y2+y+14=(y+12)2，正确，符合题意；
故正确的有（1）（5），有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义和因式分解的方法，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，还要注意分解彻底是解题的关键．
10．（2023春·安徽马鞍山·七年级校考期中）下列分解因式正确的是（ ）
A．−x2+4x=−xx+4B．x2+xy+x=xx+y
C．−x2+y2=−x−yx+yD．x2−4x+4=x+2x−2
【答案】C
【分析】利用提公因式法，运用公式法进行因式分解，逐一判断即可．
【详解】解：A．−x2+4x=−x(x−4)，故A不符合题意；
B．x2+xy+x=x(x+y+1)，故B不符合题意；
C．−x2+y2=−(x−y)(x+y)，故C符合题意；
D．x2−4x+4=(x−2)2，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，正确的计算是解题的关键．
11．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．x2−4yC．−x2+4y2D．−x2−4y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：能运用平方差公式分解因式的是−x2+4y2=4y2−x2=(2y+x)(2y−x)．
故选：C．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（2023春·七年级课时练习）因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是( )．
A．abcB．2aC．2cD．2ac
【答案】D
【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低.
【详解】解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac，
故选择D.
【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定.
13．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）下列不能分解因式的是（ ）
A．a2−4B．a2+16C．9a2−6a+1D．4a+2b
【答案】B
【分析】根据因式分解的方法进行分解因式判断即可．
【详解】解：A、a2−4=a+2a−2，原式能分解因式，不符合题意；
B、a2+16不能分解因式，符合题意；
C、9a2−6a+1=3a−12，原式能分解因式，不符合题意；
D、4a+2b=22a+b，原式能分解因式，不符合题意；
故选B．
【点睛】此题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
14．（2023·浙江杭州·模拟预测）将a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a （a﹣1）B．a （a+1）C．（a+1）（a﹣1）D．（a﹣1）2
【答案】C
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查公式法分解因式，根据多项式的特征选用合适公式进行分解是解题关键．
15．（2022秋·河南开封·八年级校联考期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1,a−b,5,x2+1,a,x+1，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将5a(x2−1)−5b(x2−1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
【答案】C
【分析】对式子进行彻底的因式分解，对照密码即可解题．
【详解】解：由题意得，
5a(x2−1)−5b(x2−1)
=(5a−5b)(x2−1)
=5(a−b)(x−1)(x+1)
∴式子所代表的的字为：我、爱、封、开．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的基础运算，注意分解要彻底．
16．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区黄埔学校校考期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．a2−b2=a−b2B．1−4a2=1+2a1−2a
C．m2−3m−4=mm−3−4D．x2+4y2=x+2y2
【答案】B
【分析】根据公式法、十字相乘法进行因式分解依次判断即可．
【详解】解：A、a2−b2=(a+b)(a−b)，选项错误，不符合题意；
B、1−4a2=1+2a1−2a，选项正确，符合题意；
C、m2−3m−4=(m−4)(m+1)，选项错误，不符合题意；
D、x2+4y2不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法进行因式分解是解题关键．
17．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−4x+4B．x2+x+1C．4x2+4x−1D．x2+2x−1
【答案】A
【分析】利用完全平方公式：a2±2ab+b2=a±b2，进而判断得出答案．
【详解】解：A、x2−4x+4=x−22，能用完全平方公式进行因式分解；
B、x2+x+1，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、4x2+4x−1，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、x2+2x−1，不能用完全平方公式进行因式分解；
故选：A．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
18．（2023春·安徽滁州·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ab2﹣6ab＝3a（b2﹣2b）B．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝（a﹣b）（x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a﹣2b）2D．﹣a2+a﹣14＝﹣14（2a﹣1）2
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义及方法即可得出答案.
【详解】A：根据因式分解的定义，每个因式要分解彻底，由3ab2﹣6ab＝3a（b2﹣2b）中因式b2﹣2b分解不彻底，故A不符合题意．
B：将x（a﹣b）﹣y（b﹣a）变形为x（a﹣b）+y（a﹣b），再提取公因式，得x（a﹣b）﹣y（b﹣a）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y），故B不符合题意．
C：形如a2±2ab+b2是完全平方式，a2+2ab﹣4b2不是完全平方式，也没有公因式，不可进行因式分解，故C不符合题意．
D：先将−a2+a−14变形为−14(4a2−4a+1)，再运用公式法进行分解，得−a2+a−14=−144a2−4a+1=−14(2a−1)2，故D符合题意．
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是因式分解，注意因式分解的定义把一个多项式拆解成几个单项式乘积的形式.
19．（2023春·七年级单元测试）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )
A．(m－n)(m＋n)B．(－x－y)(－x－y)
C．(x4－y4)(x4＋y4)D．(a3－b3)(b3＋a3)
【答案】B
【分析】根据平方差公式逐一判断可得选项.
【详解】解：A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算；
B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算；
C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算；
D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算.
故选：B.
20．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）多项式9a2x2−18a4x3各项的公因式是（ ）
A．9axB．9a2x2C．a2x2D．9a4x3
【答案】B
【分析】根据公因式定义，观察多项式的各项然后即可选出公因式．
【详解】解：9a2x2−18a4x3的各项公因式是9a2x2，
故选B
【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
21．（2023春·七年级单元测试）已知a＋3b＝2，则a2－9b2＋12b的值是( )
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据等式的性质，可化简条件成所求的代数式的形式，根据条件，可得答案．
【详解】∵a+3b=2,
∴a2－9b2＋12b=(a+3b)(a-3b)+12b=2(a-3b)+12b=2a-6b+12b=2a+6b=2(a+3b)=2×2=4,
故选C.
【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值，先化简成要求的形式是解题的关键．
22．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2−5x=5x⋅2x−5xB．ax+y=ax+ay
C．x2−4x+4=x−22D．x2−16+3x=x−4x+4+3x
【答案】C
【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．
【详解】解：A、10x2−5x=5x⋅2x−5x，不是分解因式；
B、ax+y=ax+ay，不是分解因式；
C、x2−4x+4=x−22，是分解因式；
D、x2−16+3x=x−4x+4+3x，不是分解因式；
故选：C．
【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．
23．（2023春·七年级单元测试）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
【答案】C
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
24．（2022秋·江苏南通·八年级校考期末）现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形（aA．2a+3bB．2a+bC．a+3bD．3a+2b
【答案】A
【分析】先计算所拼成的长方形的面积（是一个多项式），再对面积进行因式分解，即可得出长方形的长和宽．
【详解】解：根据题意可得：
拼成的长方形的面积=4a2+3b2+8ab，
又∵4a2+3b2+8ab=（2a+b）（2a+3b），且b＜3b，
∴那么该长方形较长的边长为2a+3b．
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用．能将所表示的长方形的面积进行因式分解是解决此题的关键．
25．（2023·七年级统考课时练习）以下是一名学生做的5道因式分解题
①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）；
②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2+8x﹣13）；
③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6+x）；
④1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x）；
⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）
请问他做对了几道题？（ ）
A．5题B．4题C．3题D．2题
【答案】D
【详解】此题只需根据因式分解的方法：提取公因式、运用公式法、分组分解法，进行分析判断．
解：①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y+1），故错误；
②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2﹣8x+13），故错误；
③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6﹣x），故错误；
④根据平方差公式，得1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x），故正确；
⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x2﹣xy）+（xz﹣yz）=（x﹣y）（x+z），故正确．
所以④⑤正确．
故选D．
二、填空题
26．（2022·黑龙江哈尔滨·统考二模）把多项式8x2−2分解因式的结果是 ．
【答案】2(2x+1)(2x−1)
【分析】先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：原式=24x2−1=2(2x+1)(2x−1)，
故答案为：2(2x+1)(2x−1)；
【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式a2−b2=a+ba−b是解题关键．
27．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）在实数范围内因式分解：2x2−5x+1=
【答案】2（x-5+174）（x-5-174）．
【分析】运用求根公式解得对应方程2x2-5x+1=0的解，再分解因式．
【详解】∵2x2−5x+1=0,a=2,b=-5,c=1,
∴2x2−5x+1=0的根为5±174,
即x1=5+174，x2=5-174，
∴2x2-5x+1=2（x-5+174）（x-5-174）．
故答案为2（x-5+174）（x-5-174）．
【点睛】此题考查公式法分解因式．解题关键在于熟练运用求根公式解得对应方程的解．
28．（2022秋·八年级单元测试）单项式8xmyn－1与–4xm+1yn的公因式是 ．
【答案】4xmyn−1
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．
【详解】单项式8xmyn－1与–4xm+1yn的公因式是4xmyn−1，
故答案为：4xmyn−1．
【点睛】本题考查了公因式的概念，找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，理解找公因式的规律是解题的关键．
29．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）已知x、y满足{2x+y=66x+2y=−60，则x2﹣y2的值为 ．
【答案】252
【详解】解：{2x+y=66①x+2y=−60②，
由①+②可得：
x+y=2，③
由①﹣②可得：
x﹣y=126，④
③×④得：
（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2×126=252．
所以x2﹣y2=252．
故答案为252.
30．（2023·浙江金华·校联考二模）因式分解：3ab+6a＝ ．
【答案】3a（b+2）
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式即可．
【详解】3ab+6a＝3a（b+2）．
故答案为3a（b+2）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
31．（2022秋·八年级单元测试）把a2﹣16分解因式，结果为 ．
【答案】（a+4）（a﹣4）．
【分析】直接用平方差公式进行分解因式即可.
【详解】解：a2﹣16=（a+4）（a﹣4）.
【点睛】本题主要考查用平方差公式进行分解因式，牢记公式是解题的关键.
32．（2023·全国·九年级专题练习）对于正整数m，若m＝pq（p≥q＞0，且p，q为整数），当p﹣q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m）＝qp（如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f（12）＝34）．关于f（m）有下列判断：①f（27）＝3；②f（13）＝113；③f（2023）＝11009；④f（2）＝f（32）．其中，正确判断的序号是 ．
【答案】②④
【分析】根据f（m）的相关规定，逐个计算得结论．
【详解】解：∵27的分解有27×1，9×3，
其中9×3为27的最佳分解，
∴f（27）＝39=13，故①不正确；
∵13的分解是13×1，
∴f（13）＝113，故②正确；
∵2023的分解有2023×1，1009×2，
其中1009×2为2023的最佳分解，
∴f（2023）＝21009，故③不正确；
∵2的最佳分解为2×1，
∴f（2）＝12，
32的分解有32×1，16×2，8×4
其中8×4为32的最佳分解，
∴f（32）＝48=12，
∴f（2）＝f（32）故④正确.
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了新定义，因式分解及有理数的运算．正确理解新定义是解题的关键．
33．（2022秋·上海黄浦·七年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）因式分解：18m2（a−b）+9m(b−a)=
【答案】9m(a−b)(2m−1)
【分析】先变形再提取公因式合并即可.
【详解】18m2（a−b）+9m(b−a)= 18m2（a−b）-9m(a−b)
=9m(a−b)(2m−1)
【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握计算法则.
34．（2023·吉林长春·统考二模）因式分解：a2+6a= ．
【答案】aa+6
【分析】根据提公因式法直接因式分解即可得到答案．
【详解】解：a2+6a=aa+6，
故答案为：aa+6．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟记因式分解方法是解决问题关键．
35．（2023·七年级单元测试）因式分解：m+n2−5m+n−36= .
【答案】m+n−9m+n+4
【分析】把m+n看作一个整体，再用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解即可.
【详解】m+n2−5m+n−36=m+n2+(−9+4)m+n+(−9)×4=(m+n−9)(m+n+4)
【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，正确分解常数项是解题的关键，注意整体思想的应用.
36．（2022·宁夏银川·校考三模）因式分解：x3y−2x2y+xy= ．
【答案】xy(x−1)2
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：原式=xy(x2−2x+1)=xy(x−1)2．
故答案为：xy(x−1)2
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法是解题的关键．
37．（2022春·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）把多项式m2n−6mn+9n分解因式的结果是 ．
【答案】nm−32
【分析】先提公因式n，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：m2n−6mn+9n
＝nm2−6m+9
＝nm−32，
故答案为：nm−32．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
38．（2022秋·上海·八年级上海市建平实验中学校考期中）在实数范围内因式分解：3x2−x−1=
【答案】3(x−1+136)(x−1−136)
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
【详解】解：令3x2−x−1=0，
解得：x=1±136；
∴3x2−x−1=3(x−1+136)(x−1−136)；
故答案为3(x−1+136)(x−1−136).
【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
39．（2022秋·北京海淀·八年级北大附中校考期中）样例：
将多项式 4x²+1 加上一个整式 Q,使它成为某一个多项式的平方,写出一个满足条件的整式 Q.
解:当 Q=4x 时,4x²+1+Q=4x²+1+4x=(2x+1)²
仿照样例,解答下面的问题：
将多项式 1+16x²加上一个整式 P,使它成为某一个多项式的平方,
写出三个满足条件的整式 P=
【答案】64x4，8x，-8x.
【分析】多项式1+16x2，可把16x2看做是中间项，或是看做第三项，再根据完全平方公式即可解答．
【详解】根据完全平方公式定义得，
当P=64x4时，组成的完全平方式为（1+8x2）2；
当P=8x时，成的完全平方式为（1+4x）2；
当P=-8x时，成的完全平方式为（1-4x）2.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．注意，16x2即可看做中间项也可看做第三项，解答时，不要遗漏．
40．（2023·上海·七年级假期作业）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为x+2x+4；乙看错了a，分解结果为x+1x+9，则a= ，b=
【答案】 6 9
【详解】试题分析：根据题意，甲的原来的式子是(x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以a=6；而乙原来的式子是 (x+1)(x+9)=x2+10x+9，所以b=9.
故答案为：6，9
考点：因式分解与整式的乘法的互逆运算
41．（2023·湖北黄石·黄石八中校考模拟预测）因式分解2a3b﹣8ab3＝ ．
【答案】2aba+2ba−2b
【分析】先提取公因式2ab，再根据平方差公式进行二次因式分解．
【详解】2a3b−8ab3，
=2aba2−4b2，
=2aba+2ba−2b，
故答案为：2aba+2ba−2b．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
42．（2022秋·八年级课时练习）如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝3，那么 a+b 的值为 ．
【答案】±1
【分析】把（2a＋2b）看作一个整体，然后利用平方差公式展开，再根据平方根的以进行解答即可．
【详解】（2a＋2b＋1）（2a＋2b−1）＝（2a＋2b）2−1＝3，
即4（a＋b）2＝4，
∴（a＋b）2＝1，
∴a＋b＝±1．
故答案为：±1．
【点睛】本题考查了平方差公式与直接开平方法解一元二次方程，把（2a＋2b）看作一个整体，整体思想的利用是解题的关键．
43．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一中学校考阶段练习）（1）已知长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，则它的表面积是 ；
（2）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2023＝ ；
（3）若25x＝2000，80y＝2000，则1x+1y的值为 ．
【答案】 22x2﹣24x 2022 1
【分析】（1）根据长方体的表面积＝2×（长×宽+长×高+宽×高），再将长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，代入并化简求可以得出结果；
（2）这题要用整体的思想进行解答，把3x3﹣x看作一个整体，对9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2023进行提取公式因，使得3x3﹣x的这个整体能够出来，然后再代入计算；
（3）根据幂的逆运算：把25x＝2000，80y＝2000变成20001x=25,20001y=80，这一步是解题的关键；接着把它们相乘可以得出1x+1y
的值
【详解】（1）∵长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x
∴长方体的表面积公式＝2×[（3x﹣4）•x+（3x﹣4）×2x+x•2x]
＝2×[3x2﹣4x+6x2﹣8x+2x2]
＝2×[11x2﹣12x]
＝22x2﹣24x
故答案为：22x2﹣24x
（2）∵3x3﹣x＝1，把3x3﹣x看作一个整体
∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2023
＝（9x4﹣3x2）+（12x3﹣6x）﹣x+2023
＝3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2023
＝3x•1+4×1﹣3x+2023
＝4+2023
＝2022
故答案为：2022
（3）由已知得20001x=25,20001y=80
两个式子相乘，得：
20001x×20001y
＝20001x+1y
＝2000
∴1x+1y
＝1
故答案为：1
【点睛】这题主要考查学生的对长方体的表面积公式的应用，整体思想、因式公解和幂的逆运算；
第（2）问需要掌握整体的思想的运用方法；第（3）问的突破口是幂的逆运算的应用；
44．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）分解因式：a−ax2= ．
【答案】a1+x1−x
【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：a−ax2=a1−x2=a1+x1−x；
故答案为a1+x1−x．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
45．（2023春·浙江·七年级专题练习）若多项式x4+mx2−nx−16含有因式(x+1)和(x−2)，则m−2n= ．
【答案】−15
【分析】根据题意构建关于m，n的方程组，求解后代入计算即可．
【详解】解：由题意得(−1)4+(−1)2m−(−1)n−16=024+22m−2n−16=0，
整理m+n=152m−n=0，
解得m=5n=10，
∴m−2n
=5−2×10
=5−20
=−15，
故答案为：−15．
【点睛】此题考查了运用因式分解和方程组进行整式求值的问题，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地变形、计算．
46．（2022春·山东泰安·六年级校考期中）已知：m2−4n2=16，m+2n=5，则m-2n= ．
【答案】165.
【详解】∵m2−4n2=16,
∴(m-2n)(m+2n)=16,
∵m+2n=5，
∴m-2n=165.
故答案为：165
47．（2022秋·贵州黔东南·八年级校考期末）分解因式：x2y−9y= ．
【答案】y（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式y，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：x2y-9y=y（x2-9）=y（x+3）（x-3）．
故答案为：y（x+3）（x-3）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
48．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式：4x2﹣16＝ ；x2+x﹣2＝ ．
【答案】 4（x+2）（x﹣2） （x﹣1）（x+2）
【分析】根据提公因式法及平方差公式和因式分解法分解因式即可.
【详解】解：4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）
x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）
故答案为：4（x+2）（x﹣2）；（x﹣1）（x+2）.
【点睛】此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键.
49．（2023·山东潍坊·统考二模）因式分解：(a+3)(a-3)-5(a+1)= .
【答案】(a-7)(a+2)
【详解】分析：先把多项式展开合并，化为关于a的二次三项式，再用十字相乘法分解因式即可.
详解：(a+3)(a-3)-5(a+1)=a2-9-5a-5= a2-5a-14=(a-7)(a+2)
点睛：此题考查了因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法（平方差和完全平方公式）和十字相乘法，当需要因式分解的式子没有公因式，平方差或完全平方不明显时，就可以考虑十字相乘法.
50．（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）因式分解：9−x2= ．
【答案】(3+x)(3-x).
【分析】利用平方差公式分解即可.
【详解】9−x2
=32−x2
=(3+x)(3-x).
故答案为：（3+x）(3-x).
【点睛】本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式是解题的关键.
三、解答题
51．（2023春·七年级课时练习）分解因式．
(1)a2(x−y)+4(y−x)；
(2)x2+16y22−64x2y2．
【答案】(1)a+2a−2x−y
(2)x+4y2x−4y2
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解；
（2）原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：a2(x−y)+4(y−x)
=a2−4x−y
=a+2a−2x−y；
（2）解：x2+16y22−64x2y2
=x2+16y2+8xyx2+16y2−8xy
=x+4y2x−4y2
【点睛】此题考查了因式分解—提公因式法，以及公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
52．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2+ac−b2−bc=0．试判断△ABC的形状．
【答案】等腰三角形
【分析】先把所给等式左边利用分组分解的方法得到（a-b）（a+b+c）=0，由于a＋b＋c＞0，则a-b=0，即a=b，然后根据等腰三角形的判定方法进行判断．
【详解】解： 因为a2+ac−b2−bc=0，
所以a2−b2+ac−bc=0，
即（a＋b）（a－b）＋c（a－b）＝0，
所以（a－b）（a＋b＋c）＝0．
又因为在△ABC中，a＞0，b＞0，c＞0，
所以a＋b＋c＞0．
所以a－b＝0．
所以a＝b．
所以△ABC为等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
53．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）分解因式：
(1)x2y−25y；
(2)−m2+6m−9．
【答案】(1)yx+5x−5
(2)−m−32
【分析】（1）先提公因式y，然后利用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式−1，然后利用完全平方公式分解因式．
【详解】（1）解：x2y−25y
=yx2−25
=yx+5x−5；
（2）−m2+6m−9
=−m2−6m+9
=−m−32
【点睛】本题考查因式分解，有公因式一定要先提公因式．熟练掌握平方差和完全平方公式的结构特点是解题的关键．
54．（2023春·江苏无锡·七年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式x2−4y2−2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）x+2y−2x−2y；（2）△ABC是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可；
（2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为0和三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：（1）x2−4y2−2x+4y
=x2−4y2−2x−4y
=x+2yx−2y−2x−2y
=x+2y−2x−2y
（2）△ABC是等腰三角形，理由如下
∵a2−b2−ac+bc=0
∴a2−b2−ac−bc=0
∴a+ba−b−ca−b=0
∴a+b−ca−b=0
∵a，b，c是△ABC的三边
∴a+b−c>0
∴a−b=0
∴a=b
∴△ABC是等腰三角形
【点睛】此题考查的是用分组法因式分解和因式分解的应用，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键．
55．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
【答案】（1）(a+b−1)2；（2）(x−1)4
【分析】（1）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
（2）令B=x2−2x，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】解：（1）令A=a+b，则原式变为A(A−2)+1=A2−2A+1=(A−1)2，
∴ (a+b)(a+b−2)+1=(a+b−1)2．
（2）令B=x2−2x，则原式变为(B−1)(B+3)+4=B2+2B−3+4=(B+1)2
∴ (x2−2x−1)(x2−2x+3)+4 =(x2−2x+1)2=(x−1)4
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
56．分解因式：
(1)8m2n+2mn
(2)(3x+5)2−(2x−5)2
【答案】(1)2mn(4m+1)；
(2)5x(x+10)
【分析】（1）利用提取公因式进行分解；
（2）利用完全平方公式先去括号，再合并同类项，再提取公因式即可．
【详解】（1）解：8m2n+2mn
=2mn(4m+1)；
（2）解：(3x+5)2−(2x−5)2
=9x2+30x+25−4x2+20x−25
=5x2+50x
=5x(x+10)．
【点睛】本题考查的是分解因式，解题的关键是熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式．
57．（2023春·江苏苏州·七年级苏州市相城实验中学校考阶段练习）分解因式：
（1）(x+2)2−9，
（2）3x3−6x2+3x．
【答案】（1）（x-1）（x+5）；（2）3x（x-1）2
【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可；
（2）首先提公因式3x，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：（1）原式=（x+2-3）（x+2+3）
=（x-1）（x+5）；
（2）原式=3x（x2-2x+1）
=3x（x-1）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
58．（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）因式分解：
（1）x2−4
（2）m3−10m2+25m
【答案】（1）x+2x−2；（2）mm−52．
【分析】（1）根据平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）x2−4
=x2−22
=x+2x−2；
（2）m3−10m2+25m
=m(m2−10m+25)
=m(m−5)2．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．注意一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底,直到不能分解为止．
59．（2023春·辽宁·八年级沈阳市杏坛中学校考期中）因式分解
（1）2m（a－b）－6n（b－a）
（2）－a2bc+2ab2c－b3c
【答案】（1）2(a－b)(m+3n)；（2）－bc(a－b)2．
【分析】（1）用提取公因式法提取公因式即可求解；
（2）用提取公因式法提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】解：（1）2m(a－b) －6n(b－a)
=(a－b) (2m+6n)
=2(a－b) (m+3n)
（2）－a2bc+2ab2c－b3c
=－bc(a2－2ab+b2)
=－bc(a－b)2
【点睛】本题考查了因式分解的方法—提公因式法和公式法．熟练掌握并灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
60．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列各式分解因式：
(1)2x2﹣8x；(2)6ab3﹣24a3b.
【答案】(1)2x（x﹣4）；(2)6ab（b﹣2a）（b+2a）．
【分析】（1）直接提取公因式2x分解因式即可；（2）直接提取公因式6ab，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】(1)2x2﹣8x=2x（x﹣4）；
(2)6ab3﹣24a3b
=6ab（b2﹣4a2）
=6ab（b﹣2a）（b+2a）．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及运用公式法分解因式，分解因式时，要分解到每一个因式都不能够再分解为止．
61．（2023春·七年级课时练习）分解因式：x2−y2−4x+6y−5．
【答案】(x+y−5)(x−y+1)．
【分析】把－5拆成4－9“凑”成(x2−4x+4)和(y2−6y+9)两个整体，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】原式＝(x2−4x+4)−(y2−6y+9)，
＝(x−2)2−(y−3)2，
＝(x+y−5)(x−y+1)．
【点睛】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
62．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式
（1）x2−9
（2）−4ab2+4a2b+b3
【答案】（1）（x+3）（x-3）；（2）b（2a-b）2．
【分析】（1）运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取b，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：（1）x2-9，
=x 2-32，
=（x+3）（x-3）；
（2）−4ab2+4a2b+b3，
=b（4a2-4ab+b2），
=b（2a-b）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
63．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）因式分解：
（1）(m+n)2-10(m+n)+25；
（2）2ax2−18ay2．
【答案】(1)(m+n-5)2；（2）2a(x+3y)(x-3y).
【详解】分析：（1）原式利用完全平方公式分解即可得到结果；
（2）原式先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
详解：（1）解：原式=（m+n-5）2
(2）原式=2a(x2-9y2)
=2a(x+3y)(x-3y)．
点睛：此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
64．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期末）（1）解方程： 3x2－12＝0
（2）在实数范围内分解因式：3a2−15
【答案】（1）x= ±2;（2）3a+5a−5
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：（1）3x2－12＝0
3x2＝12
x2＝4
解得：x= ±2
（2）3a2−15
=3a2−5
=3a+5a−5
【点睛】此题考查的是解一元二次方程和在实数范围内因式分解，掌握平方根的定义和因式分解的各个方法是解决此题的关键.
65．（2022秋·全国·八年级期末）计算或因式分解：
(1)计算：(−7)2−|2−2|+3−27−(−1)4；
(2)因式分解：2mn3−4m2n2+2m3n．
【答案】(1)1+2
(2)2mn(n−m)2
【分析】（1）先根据平方根和立方根，绝对值的性质，乘方化简，再合并，即可求解；
（2）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：(−7)2−|2−2|+3−27−(−1)4
=7−(2−2)+(−3)−1
=7−2+2−3−1
=1+2；
（2）解：2mn3−4m2n2+2m3n
=2mnn2−2mn+m2
=2mn(n−m)2．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，多项式的因式分解，熟练掌握平方根和立方根，绝对值的性质，乘方，多项式的因式分解方法是解题的关键．
66．（2023春·四川乐山·七年级校考期中）如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”．将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为F(n)．如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和F(n)=213+321+132=666，是一个“同花数”．
（1）计算：F(432)，F(716)，并判断它们是否为“同花数”；
（2）若a是“异花数”，证明：F(a)等于a的各数位上的数字之和的111倍；
（2）若“数”n=100+10p+q（中p、q都是正整数，1≤p≤9，1≤q≤9），且F(n)为最大的三位“同花数”，求n的值．
【答案】（1）F(432)是同花数；F(716)不是同花数；（2）见解析；（3）n为162或153或135或126
【分析】（1）由“同花数”定义，计算即可得到答案；
（2）百位数的表示方法；
（2）由“异花数”的定义，F(n)为最大的三位“称心数”得F(n)=999且1+p+q=9，计算n的值为162或153或135或126．
【详解】解：（1）∵F(432)=342+234+423=999，
∴F(432)是同花数；
∵F(716)=176+617+761=1554，
∴F(716)不是同花数；
（2）若a是“异花数”
∴a=100b+10c+d，（其中b,c,d均为小于10的正整数），
∴F(a)=[100(b+c+d)+10(b+c+d)+(b+c+d)]=111(b+c+d)，
∴F(a)等于a的各数位上的数字之和的111；
（３）∵异花数” n=100+10p+q，
∴n=100×1+10p+q，
又∵1≤p≤9，1≤q≤9(p，q为正整数），
F(n)为最大的三位“同花数”，
∴F(n)=999且1+p+q=9，
∴p、q取值如下：{p=6q=2或{p=5q=3或{p=3q=5或{p=2q=6，
由上可知符合条件三位“异花数”n为162或153或135或126．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂新定义“同花数”和“异花数”．
67．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）分解因式：
（1）3a2﹣12ab+12b2
（2）9（m+n）2﹣（m﹣n）2
【答案】(1) 3（a﹣2b）2;(2) 4（2m+n）（m+2n）
【分析】（1）根据分解因式一般步骤先提取公因式，再应用完全平方式分解因式即可;
（2）运用整体思维,将题目看做平方差,应用平方差公式分解因式即可.
【详解】（1）原式＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2；
（2）原式＝[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）]＝4（2m+n）（m+2n）．
【点睛】本题主要考查运用完全平方公式和平方差公式分解因式,熟练掌握公式,结合整体思维是解答关键.
68．（2023春·七年级课时练习）求下列代数式的值：
(1)x2y－xy2，其中x－y＝1，xy＝2 018；
(2)8x3(x－3)＋12x2(3－x)，其中x＝32；
(3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
【答案】 (1) 2 018;(2) 0;(3) 14.
【详解】试题分析：先进行因式分解，再代入运算即可.
试题解析：(1)x2y−xy2=xyx−y．
把x−y=1，xy=2018代入上式，原式=xyx−y=2018.
(2)8x3x−3+12x23−x=8x3x−3−12x2x−3=4x2x−32x−3．
当x=32时，原式=4×322×32−3×32×2−3=0.
(3)a2b+2a2b2+ab2=aba+2ab+b=aba+b+2ab．
把a+b=3，ab=2代入上式，原式=2×(3+2×2)=14.
69．（2023春·全国·八年级专题练习）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572=22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
(1)判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
(2)把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M=A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令GM=PMQM，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
【答案】(1)195是“团圆数”，621不是“团圆数”；
(2)567或575或4092或4095
【分析】（1）根据“团圆数”定义进行判断即可；
（2）设A＝10a＋b，则B＝10a＋8−b，再表示出P（M）和Q（M），进行讨论求值即可.
【详解】（1）解：∵195=13×15
又13和15的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴195是“团圆数”
∵621=23×27
又23和27的十位数字相同，但个位数字之和不为8，
∴621不是“团圆数”
（2）解：设A＝10a＋b，则B＝10a＋8−b
∴A＋B＝20a＋8，|A−B|＝|2b−8|
∵G（M）＝P(M)Q(M)＝A＋B|A−B|能被8整除
∴20a＋8＝8k(|2b−8|)，k为整数
∴5a＋2＝4k（|b−4|）
∴5a＋2是4的倍数
∴满足条件的整数a有2，6
①若a＝2，则12＝4k（|b−4|），k为整数，
∴3＝k（|b−4|），
∴|b−4|是3的因数，
∴b−4＝−3，−1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
②若a＝6，则32＝4k（|b−4|），k为整数，
∴8＝k（|b−4|），
∴|b−4|是8的因数，
∴b−4＝−8，−4，−2，−1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝4092或4095，
综上可知，M的值为567或575或4092或4095．
【点睛】本题是新定义题目，考查的知识点有列代数式，因式分解的应用以及整除和绝对值的运用，能够理解“团圆数”含义，并能把A和B用含a和b的式子表示出来找到其倍数和因数是解题的关键．
70．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）因式分解
(1)3ax2﹣6axy+3ay2
(2)mm−4+4．
【答案】(1)3ax−y2
(2)m−22
【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式即可作答；
（2）先去括号，再运用完全平方公式即可作答．
【详解】（1）3ax2-6axy+3ay2
=3ax2−2xy+y2
=3ax−y2；
（2）mm−4+4
=m2−4m+4
=m−22．
【点睛】本题考查因式分解，用到了提公因式法与公式法，解题的关键是注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
71．（2023春·七年级课时练习）利用分解因式计算：
（1）9938×10058
（2）2012−522+253×851
【答案】（1）99993964；（2）253000
【分析】（1）利用平方差公式运算；
（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．
【详解】（1）原式=100−58100+58
=1002−582
=10000−2564
=99993964
（2）原式=201+52×201−52+253×851
=253×149+253×851
=253×149+851
=253×1000
=253000
【点睛】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．
72．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）因式分解
(1)2ab3−2ab；
(2)−mx2+12mx−36m．
【答案】(1)2ab(b+1)(b−1)；
(2)−m(x−6)2．
【分析】（1）先提取公因式2ab，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提取公因式-m，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】（1）解：2ab3−2ab
=2ab(b2−1)
=2ab(b+1)(b−1)；
（2）解：−mx2+12mx−36m
=−m(x2−12x+36)
=−m(x−6)2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
73．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．
【答案】x−14．
【分析】根据完全平方公式因式分解x2+1−2x2，整理顺序x2−2x+12后，再用完全平方公式因式分解x−122，最后利用幂的乘方得到因式分解的结果．
【详解】解：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2，
=（x2+1）2﹣2×（x2+1）·2x +（2x）2，
=x2+1−2x2，
=x2−2x+12，
=x−122，
=x−14．
【点睛】本题考查因式分解，幂的乘方运算，掌握因式分解的各种方法，准确记住因式分解公式和公式特征是解题关键．
74．（2023春·八年级课时练习）已知x+y2=12，x−y2=8，求下列各式的值：
(1)xy．
(2)x3y+xy3．
【答案】(1)1
(2)10
【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后相减即可求出；
（2）利用完全平方公式展开，然后相加求出x2+y2的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：x+y2=x2+2xy+y2=12①，
x−y2=x2−2xy+y2=8②，
由①-②得：4xy=4，
∴xy=1；
（2）解：x+y2=x2+2xy+y2=12①，
x−y2=x2−2xy+y2=8②，
由①+②得：2x2+y2=20，
∴x2+y2=10，
∴x3y+xy3=xyx2+y2=1×10=10．
【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，因式分解的应用，学生们熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
75．（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）因式分解：
(1)a2b−ab2；
(2)2x2−8；
【答案】(1)aba−b
(2)2x+2x−2
【分析】（1）直接提公因式ab即可；
（2）先提公因式2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：a2b−ab2
=aba−b；
（2）2x2−8
=2x2−4
=2x+2x−2．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的应用．
76．（2022秋·云南玉溪·八年级阶段练习）观察下列分解因式的过程：
x2+2ax﹣3a2
=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2（先加上a2，再减去a2）
=（x+a）2﹣4a2（运用完全平方公式）
=（x+a+2a）（x+a﹣2a ）（运用平方差公式）
=（x+3a）（x﹣a）
像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．
请你用配方法分解因式：m2﹣4mn+3n2
【答案】（m﹣n）（m﹣3n）
【分析】原式利用阅读材料中的方法分解即可.
【详解】原式=m2﹣4mn+4n2﹣n2
=（m﹣2n）2﹣n2
=（m﹣2n+n）（m﹣2n﹣n）
=（m﹣n）（m﹣3n）
【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．
77．（2023春·八年级单元测试）已知a+b＝32，ab＝﹣43，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【答案】－3
【分析】先利用因式分解得到原式＝ab（a+b）2，然后利用整体代入的方法计算原式的值．
【详解】解：a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2，
∵a+b＝32，ab＝﹣43
∴原式＝ab（a+b）2＝﹣43×（32）2＝－3，
即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是－3．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解简化计算问题．
78．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）（1）计算：(x+3)(x−3)−x(x−2)
（2）分解因式：3x3−27x
【答案】（1）2x−9；（2）3x(x+3)(x−3)
【分析】（1）先用平方差和单项式乘多项式进行计算，再合并；
（2）先提取公因式，再用平方差公式分解．
【详解】（1）解：原式=x2−9−x2+2x
=2x−9．
（2）解：原式=3xx2−9
=3x(x+3)(x−3)．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式和整式乘法法则，会运用提取公因式和公式法分解因式．
79．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）因式分解
（1）x2y－2xy+y；
（2）x4－16
【答案】（1）y(x−1)2；（2）(x−2)(x+2)(x2+4)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再对剩余的因式中的平方差再进行分解即可．
【详解】解：（1）原式=y(x2−2x+1)
=y(x−1)2
（2）原式=(x2−4)(x2+4)
=(x−2)(x+2)(x2+4)
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，有时还要考虑分组法、十字相乘法和整体法进行分解因式．
80．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）分解因式：
(1)4a2−9b2； （2）ax2+2a2x+a3 ．
【答案】（1）（2a+3b）（2a-3b）；（2）a（x+a）2.
【分析】（1）根据平方差公式，即可分解因式；
（2）根据提公因式法，公式法，即可分解因式．
【详解】解：（1）原式=（2a+3b）（2a-3b）；
（2）原式=a（x2+2ax+a2）
=a（x+a）2．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了提公因式法，公式法分解因式，注意分解要彻底．