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人教版八年级数学上册重难考点微专题03利用数学思想求角度通关专练特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题03利用数学思想求角度通关专练特训(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·七年级单元测试）如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB:∠BDC=1:2，则∠ADB的度数是（ ）
A．45°B．30°C．50°D．36°
2．（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，点D在边AB上，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）如图，直线l,m分别与△ABC的边BC，AB平行，∠1=120°，∠2=100°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=45°，∠C=55°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．15°D．5°
7．（2022秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）如图．∠A=65°．∠B=40°．∠C=25°．则∠D+∠E=（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
8．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）在△ABC中，若∠C=20°，∠A：∠B=2：6，则∠A等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．120°
9．（2023春·江苏·七年级校考周测）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=98°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
10．（2023春·江苏·七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2∠1+∠2
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
12．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，直线AB，CD被直线AC所截，已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②β−α，③α−β，④180∘−α−β，⑤360°−α−β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①③④⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③⑤
13．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
14．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，DC∥AB,AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，EG平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD=180°，∠EDA=3∠CEG，则下列结论：①∠EAD=2∠FEG；②∠AED=45°+∠GEF；③∠EAD=135°−4∠GEC；④∠EAD=15°，其中正确的由（ ）个
A．1B．2C．3D．4
15．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135°B．150°C．120°D．110°
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=40°，分别过点A、B作射线AD,BE，使得AD∥BE，且点D、C、E在AB同侧，点C、E在AD同侧，若∠CBE=15°，则∠CAD的度数为 __．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形中有两个角分别为x∘和y∘，若y=2x则称x∘的角为“幸运角”，此三角形为“幸运三角形”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48∘，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为______．
18．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么∠A'DB的度数为____．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_____．
20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，且∠B=50°，∠CAD=10°，则∠MAD的度数为___________°．
21．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知∠A+∠B+∠C=125°，则∠D+∠E为_________.
22．（2023春·江苏·七年级期中）如图，AB ∥ CD，BE⊥CE于点E，延长CA、DB交于点F，连接AE，若BE平分∠ABF，∠AFB=2∠AEC，∠FAE=37°，则∠FCD的度数为___．
23．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中∠EDF=∠E，则∠ACD的度数为_________．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C=50°，则∠CDO+∠CFO的度数为______°．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，则∠ACB的度数为___________．
三、解答题
26．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，求∠A+∠P的度数．
27．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，已知∠1=100°，∠2=40°求∠A的度数．
28．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=50°，∠CAD∶∠E=1∶3，求∠E的度数．
29．（2023春·七年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B=α，∠C=β，且α＞β．
(1)如图1，当点M与A点重合，α=50°，β=30°时，求∠DMN的度数；
(2)如图2，当点M在线段AD上（不与A、D两点重合）时，求证：∠DMN=12(α−β)．
30．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．
31．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
(1)若∠A=40°，∠B=80°，求∠DCE的度数；
(2)若∠A=α， ∠B=β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）．
32．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=35°，∠ACB=75°，求∠E的度数；
(2)求证：∠E=12∠ACB−∠B．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，AB、CD相交于E，CF、BF分别为 ∠ACD和 ∠ABD的平分线，它们相交于F．求证：∠F=12∠A+∠D．
34．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，EF⊥BC，垂足为F．
(1)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DEF的度数；
(2)若∠C−∠B=m°，请直接写出∠DEF的度数 ．（用含m的代数式表示）
35．（2023春·上海·七年级专题练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D．
(2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
(3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB， ∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
微专题03 利用数学思想求角度通关专练
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB:∠BDC=1:2，则∠ADB的度数是（ ）
A．45°B．30°C．50°D．36°
【答案】C
【分析】设∠ADB=x，则∠BDC=2x，再由AD∥BC得出∠DBC=∠ADB=x，根据三角形内角和定理得出x的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵∠ADB:∠BDC=1:2，
∴设∠ADB=x，则∠BDC=2x．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=x，
∵∠C=30°，∠C+∠DBC+∠BDC=180°，即30°+x+2x=180°，
解得x=50°，
∴∠DBC=50°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
2．（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】B
【分析】利用三角形的内角和进行求解即可．
【详解】解：∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=45°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=135°，
∴∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=135°，
∴∠ABD+∠ACD=135°−∠DBC+∠DCB=45°；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．本题蕴含燕尾型图，可以利用此模型快速解题．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠AED的度数，根据折叠的性质，得到∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED，进而得到∠1+∠2=360°−2∠ADE+∠AED，即可得解．
【详解】解：∵∠A=35°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=145°，
∵折叠，
∴∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED=290°，
∴∠1+∠2=180°−∠ADA'+180°−∠AEA'=360°−290°=70°．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是180°，是解题的关键．
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，点D在边AB上，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】B
【分析】三角形内角和定理，求出∠B,∠E，平行线的性质和外角的性质，求出∠EDB，再用180°−∠EDF−∠BDE，求解即可．
【详解】解：如图，
∵∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，
∴∠B=90°−∠C=30°，∠E=90°−∠F=45°，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠E=45°，
∵∠1=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=∠1−∠B=15°，
∴∠ADF=180°−∠EDF−∠BDE=75°；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
5．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）如图，直线l,m分别与△ABC的边BC，AB平行，∠1=120°，∠2=100°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．
【详解】解：由题意可知，l∥BC，m∥AB，∠1=120°，∠2=100°，
∴∠1+∠C=180°，∠2+∠A=180°，
∴∠C=60°，∠A=80°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=40°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A和∠C的度数是解题的关键．
6．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=45°，∠C=55°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．15°D．5°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠BAC的大小，再利用角平分线的定义可求解∠BAD的度数，由三角形的高线可得∠AEB=90°，利用三角形的内角和定理可求解∠BAE的度数，进而可求得∠EAD的度数．
【详解】解：∵∠B=45°，∠C=55°，
∴∠BAC=180°−45°−55°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=180°−90°−45°=45°，
∴∠EAD=∠BAE−∠BAD=45°−40°=5°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解∠BAD，∠BAE的度数是解题的关键．
7．（2022秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）如图．∠A=65°．∠B=40°．∠C=25°．则∠D+∠E=（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【详解】连接BC，如图所示，
∵∠A=65°，∠ABE=40°，∠ACD=25°，
∴∠1+∠2=180°−∠A−∠ABE−∠ACD=180°−65°−40°−25°=50°，
∵∠D+∠E=∠1+∠2，
∴∠D+∠E=50°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）在△ABC中，若∠C=20°，∠A：∠B=2：6，则∠A等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】可以分别设∠A和∠B的度数分别为2x和6x，根据三角形的内角和定理列方程并解出方程即可．
【详解】解：因为∠A:∠B=2:6，不妨设∠A和∠B的度数分别为2x和6x，根据三角形的内角和定理得：
∠A+∠B+∠C=180∘，即2x+6x+20∘=180∘，
解得x=20∘，即∠A=40∘，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，能够正确想到使用该定理并运用方程思想求出答案是解决本题的关键．
9．（2023春·江苏·七年级校考周测）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=98°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得∠B=∠B',∠C=∠C'，根据三角形的内角和可得∠B'+∠C'=120°，∠AEF+∠AFE=120°，再根据四边形的内角和为360°，可得∠1+∠2=120°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC沿EF对折，
∴∠B=∠B',∠C=∠C'，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠B'+∠C'=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B'+∠C'=180°−60°=120°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−60°=120°，
∴∠B'+∠C'+∠AEF+∠AFE=120°+120°=240°，
∵∠1+∠2+∠B'+∠C'+∠AEF+∠AFE=360°，
∴∠1+∠2=360°−240°=120°，
∵∠1=98°，
∴∠2=120°−98°=22°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180°．
10．（2023春·江苏·七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2∠1+∠2
【答案】B
【分析】由折叠的性质得∠1=180°−2∠AED，∠2=180°−2∠ADE，再根据三角形内角和即可得到2∠A=∠1+∠2．
【详解】解：由折叠的性质得∠1=180°−2∠AED，∠2=180°−2∠ADE，
∴∠1+∠2=360°−2∠ADE+∠AED，
∵∠A=180°−∠ADE+∠AED，
∴2∠A=∠1+∠2，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，
∵∠O=30°，
∴当∠OAP与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有0°<∠A<60°；
当∠OAP大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有90°<∠A<150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
12．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，直线AB，CD被直线AC所截，已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②β−α，③α−β，④180∘−α−β，⑤360°−α−β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①③④⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③⑤
【答案】D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β−α．
（2）如图，过E2作AB平行线，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图，
∵AB∥CD，
∴∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α−β．
（4）如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°−α−β．
∴∠AEC的度数可能为β−α，α+β，α−β，360°−α−β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α−β或β−α．
故选：D．
【点睛】考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．
13．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
【答案】B
【分析】根据邻补角的性质可得∠AED=54°，∠BGF=62°，再由平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，然后三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°−126°=54°，∠BGF=180°−118°=62°，
∵DE∥CG，FG∥CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=64°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
14．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，DC∥AB,AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，EG平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD=180°，∠EDA=3∠CEG，则下列结论：①∠EAD=2∠FEG；②∠AED=45°+∠GEF；③∠EAD=135°−4∠GEC；④∠EAD=15°，其中正确的由（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠CEG，
设∠FEG=∠CEG=α，
∴∠FEC=2α，
∵∠EDA=3∠CEG，
∴∠EDA=3α，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠C=90°，
∴∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°+2α，
∵∠AEC=∠B+∠EAB=90°+∠EAB，
∴90°+2α=90°+∠EAB，
∴∠EAB=2α=2∠FEG，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED=12∠AEC=12（90°+2α）=45°+α=45°+∠GEF
（90°+2α）=45°+α=45°+∠GEF，
故②正确；
∵∠AED=45°+α，∠EDA=3α，
∴∠EAD=180°−∠AED−∠EDA=180°−（45°＋α）−3α=135°−4α=135°−4∠GEC，
故③正确；
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠EAD=180°，
∴2α+2（135°−4α）=180°，
∴α=15°，
∴∠EAD=135°−4α=75°≠2α
故①错误；
故④错误，
故两个正确；
故选B．
【点睛】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键．
15．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135°B．150°C．120°D．110°
【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴∠FAB=12∠CAB,∠FBA=12∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AFB=180°−45°=135°．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=40°，分别过点A、B作射线AD,BE，使得AD∥BE，且点D、C、E在AB同侧，点C、E在AD同侧，若∠CBE=15°，则∠CAD的度数为 __．
【答案】65°或35°
【分析】分两种情况讨论，①利用三角形的内角和得出∠BAC=50°，再利用平行线的性质得出结果；②先求出∠ABE=105°，再利用平行线的性质得出∠DAB+∠ABE=180°，最后利用∠CAD=75°−40°=35°，得出结论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图，
∵∠ABC=90°,∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°−90°−40°=50°，
∵∠CBE=15°，
∴∠ABE=90°−15°=75°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD+∠CAB+∠ABE=180°，
∴∠CAD=180°−40°−75°=65°；
②如图，
∵∠ABC=90°,∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°−90°−40°=50°，
∵∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=105°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∴∠DAB=180°−105°=75°，
∴∠CAD=75°−40°=35°，
综上所述，∠CAD的度数为：65°或35°，
故答案我：65°或35°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形中有两个角分别为x∘和y∘，若y=2x则称x∘的角为“幸运角”，此三角形为“幸运三角形”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48∘，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为______．
【答案】24°或44°或48°
【分析】分三种情况进行讨论，当x=48°时，当y=48°时，当x+y=180°−48°=132°时，分别求出“幸运角”度数即可．
【详解】解：当x=48°时，y=2x=96°，
x+y=48°+96°=144°<180°，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为48°；
当y=48°时，x=12×48°=24°，
x+y=24°+48°=72°<180°，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为22°；
当x+y=180°−48°=132°时，根据y=2x可得，2x+x=132°，
解得：x=44°，
即此“幸运三角形”的“幸运角”度数为44°；
综上分析可知，这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为24°或44°或48°．
故答案为：24°或44°或48°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，新定义运算，解题的关键是理解定义，注意分类讨论．
18．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么∠A'DB的度数为____．
【答案】50°/50度
【分析】根据折叠性质，∠A'ED=∠AED=180°−∠A'EC2=55°，根据三角形内角和定理，得到∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，根据平角计算即可．
【详解】根据折叠性质，得∠A'ED=∠AED，∠A'DE=∠ADE，
∵∠A'EC=70°，
∴∠A'ED=∠AED=180°−∠A'EC2=55°，
∵∠A=60°，
∴∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，
∴∠A'DB=180°−∠A'DE−∠ADE=180°−65°−65°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_____．
【答案】240°/240度
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=180°−60°=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故答案为：240°．
【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，且∠B=50°，∠CAD=10°，则∠MAD的度数为___________°．
【答案】15或25
【分析】分两种情况，当D在线段BC上，当D不在线段BC上，分别画出图形求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D在BC上时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵∠CAD=10°，
∴∠BAC=40°+10°=50°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC=12∠BAC=25°，
∴∠MAD=∠MAC−∠DAC=15°；
如图2所示，当D不在线段BC上时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵∠CAD=10°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC=12∠BAC=15°，
∴∠MAD=∠MAC+∠DAC=25°；
综上所述，∠MAD=15°或25°．
故答案为：15°或25°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知∠A+∠B+∠C=125°，则∠D+∠E为_________.
【答案】55°/55度
【分析】由∠A+∠B+∠C=125°，可得∠OFC+∠C=125°，故∠FOC=55°，由三角形的外角的性质即可得到∠D+∠E的度数．
【详解】解：由图可得：
∠OFC是△ABF的外角，
∠A+∠B=∠OFC，
∠A+∠B+∠C=125°，
∠OFC+∠C=125°，
∠FOC=55°，
∠FOC是△DEO的外角，
∠D+∠E=∠FOC=55°，
故填：55°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．（2023春·江苏·七年级期中）如图，AB ∥ CD，BE⊥CE于点E，延长CA、DB交于点F，连接AE，若BE平分∠ABF，∠AFB=2∠AEC，∠FAE=37°，则∠FCD的度数为___．
【答案】74°/74度
【分析】设∠AEC=x，∠ABE=y，根据已知和角平分线的定义可得∠AFB=2x，∠ABF=2y，然后利用平行线的性质可得∠ABF=∠D=2y，∠FAB=∠FCD=180°−2x−2y，再根据垂直定义可得∠BEC=90°，从而利用三角形的内角和是180°可得x+y=53°，进而求出∠EAB=37°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：设∠AEC=x，∠ABE=y，
∵∠AFB=2∠AEC，
∴∠AFB=2x，
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABF=2∠ABE=2y，
∴∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF=180°−2x−2y，
∵AB ∥ CD，
∴∠ABF=∠D=2y，∠FAB=∠FCD=180°−2x−2y，
∵∠FAE=37°，
∴∠EAB=∠FAB−∠FAE=180°−2x−2y−37°，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠ABE+∠AEB+∠EAB=180°，
∴y+90°+x+180°−2x−2y−37°=180°，
∴x+y=53°，
∴∠EAB=37°，
∴∠FAB=∠FCD=∠FAE+∠EAB=74°，
故答案为：74°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中∠EDF=∠E，则∠ACD的度数为_________．
【答案】30°/30度
【分析】由直角三角形的两锐角互余可求得∠A=40°，设∠ACD=x°，由三角形外角的性质得∠CDF=40°+x°，由补角的性质可得∠ADC=180°−40°+x°=140°−x°，再根据折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，由∠EDF=∠E，列出关于x的方程求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B−∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x°，∠ADC=180°−40°+x°=140°−x°，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
∵ ∠EDF=∠E=40°，
∴ 140°−x°=40°+40°+x°，
解得：x=30，
∴ ∠ACD的度数为30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C=50°，则∠CDO+∠CFO的度数为______°．
【答案】80
【分析】延长FO交AC于点G，根据三角形内角和定理可求出∠A+∠B=130°，由翻折的性质可知∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，即得出∠DOF=130°，从而求出∠DOG=50°，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，从而可求出∠CDO+∠CFO=80°．
【详解】如图，延长FO交AC于点G，
∵∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°−∠C=130°，
由翻折可知∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，
∴∠DOE+∠EOF=130°，即∠DOF=130°，
∴∠DOG=180°−130°=50°，
∵∠CGF=∠DOG+∠CDO，∠CGF+∠CFG+∠C=180°，
∴∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，即∠CDO+50°+∠CFO+50°=180°，
∴∠CDO+∠CFO=80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质，熟练掌握其定理是解题的关键．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，则∠ACB的度数为___________．
【答案】42°
【分析】由题可设∠ABD=∠FBD=x，∠GAE=∠CAE=y，根据平角的定义用含x的代数式表示∠ABC和∠BAC,再由外角定理用含x的代数式表示∠E和∠D，再由题干中已知的两个等式列方程组求解，即可求解．
【详解】解：由题意射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，
∴∠ABD=∠FBD，∠GAE=∠CAE,
∴设∠ABD=∠FBD=x，∠GAE=∠CAE=y，
由平角的定义得：∠ABC=180°−2x，∠BAC=180°−2y，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC
=180°−180°−2x−180°−2y
=2x+y−180°
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB=∠EAC+∠E，
∴∠E=∠ACB−∠EAC
=2x+y−180°−y
=2x+y−180°
同理∵∠FBD是△DBC的一个外角，
∴∠FBD=∠D+∠DCB，
∴∠D=∠FBD−∠DCB=∠FBD−∠ACB
=x−2x+y−180°
=180°−x−2y
∵∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，
∴180°−2y=180°−2x+102°180°−x−2y=2x+y−180°，
整理得：x−y=102°x+y=111°，
∴∠ACB=2x+y−180°
=2×111°−180°
=42°
故答案为：42°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
三、解答题
26．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，求∠A+∠P的度数．
【答案】90°
【分析】由角平分线的定义外角的性质可分别计算∠A与∠P的大小．
【详解】∵BP平分∠ABC
∴∠PBC=∠ABP=20°，∠ABC=2∠ABP=40°
∵CP平分∠ACM
∴∠PCM=∠ACP=50°，∠ACM=2∠ACP=100°
∴∠A=∠ACM−∠ABC=100°−40°=60°
∠P=∠PCM−∠PCB=50°−20°=30°
∴∠A+∠P=60°+30°=90°
【点睛】本题主要考查三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形两个内角的和等于另一个角的外角是本题的解题关键．
27．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，已知∠1=100°，∠2=40°求∠A的度数．
【答案】∠A=30°
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠A=∠A'，再根据三角形外角和三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：如图：∵△AED是△A'ED翻折变换而成，
∴∠A=∠A'，
∵∠AFE是△A'DF的外角，
∴∠AFE=∠A'+∠A'DF，
∵∠1=100°，
∴∠A'DF=80°，
∵∠AFE+∠2+∠A=180°，
∴80°+∠A'+∠2+∠A=180°，
∴80°+2∠A+40°=180°，
解得：∠A=30°．
【点睛】此题考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，注意折叠前后图形是全等的，注意折叠中的对应关系．
28．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=50°，∠CAD∶∠E=1∶3，求∠E的度数．
【答案】48°
【分析】设∠CAD=x，则∠E=3x，根据角平分线的性质得出∠BAD=∠CAD=x，进而求得∠ADE,∠DAE，在△ADE中，∠E+∠ADE+∠DAE=180°，列出方程，解方程即可求解．
【详解】设∠CAD=x，则∠E=3x．
∵AD平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD=x
∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+x．
在△ADE中，∠E+∠ADE+∠DAE=180°
∴3x+2(50°+x)=180°．
x=16°
∴∠E=3x=48°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
29．（2023春·七年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B=α，∠C=β，且α＞β．
(1)如图1，当点M与A点重合，α=50°，β=30°时，求∠DMN的度数；
(2)如图2，当点M在线段AD上（不与A、D两点重合）时，求证：∠DMN=12(α−β)．
【答案】(1)10°
(2)见解析
【分析】对于（1），根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠DAC，然后根据直角三角形两个锐角互余求出∠NAC，最后根据∠DMN=∠NAC−∠DAC求出答案；
对于（2），根据三角形内角和定理表示出∠BAC，再根据角平分线的定义表示出∠DAC，然后根据三角形外角的性质表示出∠ADN，最后根据∠DMN=∠DNM−∠ADN求出答案.
【详解】（1）如图1，在△ABC中，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−30°=100°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=50°.
∵MN⊥BC，
∴∠MND=90°，
∴∠NAC=90°−∠C=90°−30°=60°，
∴∠DMN=∠NAC−∠DAC=60°−50°=10°；
（2）如图2，在△ABC中，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=90°−12(α+β).
∵∠ADN=∠DAC+∠C=90°−12(α+β)+β=90°−12(α−β)，
∵MN⊥BC，
∴∠MND=90°，
∴∠DMN=∠MND−∠ADN=90°−90°+12(α−β)=12(α−β).
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
30．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．
【答案】18°
【分析】先设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，根据三角形内角和定理列出方程求得x的值，最后再根据直角三角形性质即可求解．
【详解】解：设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，
∴2x+2x+x=180°，
解得x=36°，
∵BD是边AC上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠CBD=90°−∠C=90°−2x=18°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与直角三角形性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
31．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
(1)若∠A=40°，∠B=80°，求∠DCE的度数；
(2)若∠A=α， ∠B=β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）．
【答案】(1)20°
(2)12β−12α
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=60°，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=30°，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=10°，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°−α−β，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=12180°−α−β，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=90°−β，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=30°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=10°，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=30°−10°=20°；
（2）解：∵∠A=α， ∠B=β，
∴∠ACB=180°−α−β，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=12180°−α−β，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=90°−β，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=12β−12a．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
32．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=35°，∠ACB=75°，求∠E的度数；
(2)求证：∠E=12∠ACB−∠B．
【答案】(1)∠E=20°；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠BAC，从而求出∠BAD，然后根据三角形外角的性质即可求出∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAD=12∠BAC，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证∠ADC =90°+12∠B−12∠ACB，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可证出结论．
【详解】（1）解：∵∠B=35°，∠ACB=75°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
又∵PE⊥AD，
∴∠ADC与∠E互余，
∴∠E=90°−70°=20°；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADC=∠B+∠BAD
=∠B+12∠BAC
=∠B+12180°−∠B−∠ACB
=90°+12∠B−12∠ACB，
∵PE⊥AD，
∴∠E=90°−∠ADC
=90°−90°+12∠B−12∠ACB
=12∠ACB−∠B
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，AB、CD相交于E，CF、BF分别为 ∠ACD和 ∠ABD的平分线，它们相交于F．求证：∠F=12∠A+∠D．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠2= 12 ∠ACE，∠3=∠4= 12 ∠DBE，根据三角形内角和定理得出∠1+∠A=∠3+∠F，①，∠A+2∠1=∠D+2∠3，②，根据①×2−②，即可得证．
【详解】证明：如图，
∵CF、BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2= 12 ∠ACE，∠3=∠4= 12 ∠DBE，
在△AMC中，∠1+∠A+∠AMC=180°，
在△BMF中，∠3+∠F+∠FMB=180°，
∴∠1+∠A=∠3+∠F，①
在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°，
在△DBE中，∠D+∠DBE+∠DEB=180°，
∴∠A+∠ACE=∠D+∠DBE，
即∠A+2∠1=∠D+2∠3，②
①×2−②得：
∴∠A=2∠F−∠D，
∴∠F=12∠A+∠D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
34．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，EF⊥BC，垂足为F．
(1)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DEF的度数；
(2)若∠C−∠B=m°，请直接写出∠DEF的度数 ．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)∠DEF=10°
(2)12m°
【分析】（1）在ΔABC中利用内角和定理易得：∠BAC=80°，进而得出∠BAD的度数，再在ΔADB与ΔDEF中利用内角和定理解答即可；
（2）同理（1）可得出∠EDF=90°−12∠C+12∠B，再在ΔDEF中利用内角和定理解答即可．
【详解】（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=40°，
∴∠ADB=180°−40°−40°=100°，
∴∠ADC=80°，
∵EF⊥BC，
∴∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°−80°=10°．
（2）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12(180°−∠B−∠C)，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=90°+12∠C−12∠B，
∴∠EDF=90°−12∠C+12∠B，
∴∠DEF=90°−(90°−12∠C+12∠B)，
∴∠DEF=12∠C−12∠B=12(∠C−∠B)=12m°，
故答案为：12m°．
【点睛】本题侧重考查三角形的内角和、角平分线的定义，掌握三角形的性质是解题关键．
35．（2023春·上海·七年级专题练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D．
(2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
(3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB， ∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)260°
(3)①110°；②4∠P=∠B+3∠C，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）利用（1）的结论，结合三角形外角的性质即可求解；
（3）①根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C−∠P=∠P−∠B，即∠P=12∠C+∠B，然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；
②与①的证明方法一样得到4∠P=∠B+3∠C．
【详解】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：如图2所示，
∵∠DME=∠A+∠E，∠3=∠DME+∠D，
∴∠A+∠E+∠D=∠3，
∵∠2=∠3+∠F，∠1=130°，
∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°，
∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°，
∵∠B+∠C=∠1=130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°．
故答案为：260°．
（3）解①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=12∠B+∠C=110°；
②4∠P=∠B+3∠C，其理由是：
∵∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，
∴∠BAP=34∠CAB，∠BDP=34∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP=14∠CDB−∠CAB，
∠P−∠B=∠BDP−∠BAP=34∠CDB−∠CAB．
∴3∠C−∠P=∠P−∠B，
∴4∠P=∠B+3∠C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，三角形外角的性质，角平分线的定义．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
1．（2023春·七年级单元测试）如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB:∠BDC=1:2，则∠ADB的度数是（ ）
A．45°B．30°C．50°D．36°
2．（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，点D在边AB上，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）如图，直线l,m分别与△ABC的边BC，AB平行，∠1=120°，∠2=100°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=45°，∠C=55°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．15°D．5°
7．（2022秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）如图．∠A=65°．∠B=40°．∠C=25°．则∠D+∠E=（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
8．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）在△ABC中，若∠C=20°，∠A：∠B=2：6，则∠A等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．120°
9．（2023春·江苏·七年级校考周测）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=98°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
10．（2023春·江苏·七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2∠1+∠2
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
12．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，直线AB，CD被直线AC所截，已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②β−α，③α−β，④180∘−α−β，⑤360°−α−β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①③④⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③⑤
13．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
14．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，DC∥AB,AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，EG平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD=180°，∠EDA=3∠CEG，则下列结论：①∠EAD=2∠FEG；②∠AED=45°+∠GEF；③∠EAD=135°−4∠GEC；④∠EAD=15°，其中正确的由（ ）个
A．1B．2C．3D．4
15．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135°B．150°C．120°D．110°
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=40°，分别过点A、B作射线AD,BE，使得AD∥BE，且点D、C、E在AB同侧，点C、E在AD同侧，若∠CBE=15°，则∠CAD的度数为 __．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形中有两个角分别为x∘和y∘，若y=2x则称x∘的角为“幸运角”，此三角形为“幸运三角形”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48∘，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为______．
18．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么∠A'DB的度数为____．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_____．
20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，且∠B=50°，∠CAD=10°，则∠MAD的度数为___________°．
21．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知∠A+∠B+∠C=125°，则∠D+∠E为_________.
22．（2023春·江苏·七年级期中）如图，AB ∥ CD，BE⊥CE于点E，延长CA、DB交于点F，连接AE，若BE平分∠ABF，∠AFB=2∠AEC，∠FAE=37°，则∠FCD的度数为___．
23．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中∠EDF=∠E，则∠ACD的度数为_________．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C=50°，则∠CDO+∠CFO的度数为______°．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，则∠ACB的度数为___________．
三、解答题
26．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，求∠A+∠P的度数．
27．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，已知∠1=100°，∠2=40°求∠A的度数．
28．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=50°，∠CAD∶∠E=1∶3，求∠E的度数．
29．（2023春·七年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B=α，∠C=β，且α＞β．
(1)如图1，当点M与A点重合，α=50°，β=30°时，求∠DMN的度数；
(2)如图2，当点M在线段AD上（不与A、D两点重合）时，求证：∠DMN=12(α−β)．
30．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．
31．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
(1)若∠A=40°，∠B=80°，求∠DCE的度数；
(2)若∠A=α， ∠B=β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）．
32．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=35°，∠ACB=75°，求∠E的度数；
(2)求证：∠E=12∠ACB−∠B．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，AB、CD相交于E，CF、BF分别为 ∠ACD和 ∠ABD的平分线，它们相交于F．求证：∠F=12∠A+∠D．
34．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，EF⊥BC，垂足为F．
(1)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DEF的度数；
(2)若∠C−∠B=m°，请直接写出∠DEF的度数 ．（用含m的代数式表示）
35．（2023春·上海·七年级专题练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D．
(2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
(3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB， ∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
微专题03 利用数学思想求角度通关专练
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB:∠BDC=1:2，则∠ADB的度数是（ ）
A．45°B．30°C．50°D．36°
【答案】C
【分析】设∠ADB=x，则∠BDC=2x，再由AD∥BC得出∠DBC=∠ADB=x，根据三角形内角和定理得出x的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵∠ADB:∠BDC=1:2，
∴设∠ADB=x，则∠BDC=2x．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=x，
∵∠C=30°，∠C+∠DBC+∠BDC=180°，即30°+x+2x=180°，
解得x=50°，
∴∠DBC=50°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
2．（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】B
【分析】利用三角形的内角和进行求解即可．
【详解】解：∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=45°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=135°，
∴∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=135°，
∴∠ABD+∠ACD=135°−∠DBC+∠DCB=45°；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．本题蕴含燕尾型图，可以利用此模型快速解题．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠AED的度数，根据折叠的性质，得到∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED，进而得到∠1+∠2=360°−2∠ADE+∠AED，即可得解．
【详解】解：∵∠A=35°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=145°，
∵折叠，
∴∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED=290°，
∴∠1+∠2=180°−∠ADA'+180°−∠AEA'=360°−290°=70°．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是180°，是解题的关键．
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，点D在边AB上，且EF∥BC，则∠ADF等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】B
【分析】三角形内角和定理，求出∠B,∠E，平行线的性质和外角的性质，求出∠EDB，再用180°−∠EDF−∠BDE，求解即可．
【详解】解：如图，
∵∠A=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，
∴∠B=90°−∠C=30°，∠E=90°−∠F=45°，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠E=45°，
∵∠1=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=∠1−∠B=15°，
∴∠ADF=180°−∠EDF−∠BDE=75°；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
5．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）如图，直线l,m分别与△ABC的边BC，AB平行，∠1=120°，∠2=100°，则∠B的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．
【详解】解：由题意可知，l∥BC，m∥AB，∠1=120°，∠2=100°，
∴∠1+∠C=180°，∠2+∠A=180°，
∴∠C=60°，∠A=80°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=40°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A和∠C的度数是解题的关键．
6．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=45°，∠C=55°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．15°D．5°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠BAC的大小，再利用角平分线的定义可求解∠BAD的度数，由三角形的高线可得∠AEB=90°，利用三角形的内角和定理可求解∠BAE的度数，进而可求得∠EAD的度数．
【详解】解：∵∠B=45°，∠C=55°，
∴∠BAC=180°−45°−55°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=180°−90°−45°=45°，
∴∠EAD=∠BAE−∠BAD=45°−40°=5°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解∠BAD，∠BAE的度数是解题的关键．
7．（2022秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）如图．∠A=65°．∠B=40°．∠C=25°．则∠D+∠E=（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【详解】连接BC，如图所示，
∵∠A=65°，∠ABE=40°，∠ACD=25°，
∴∠1+∠2=180°−∠A−∠ABE−∠ACD=180°−65°−40°−25°=50°，
∵∠D+∠E=∠1+∠2，
∴∠D+∠E=50°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）在△ABC中，若∠C=20°，∠A：∠B=2：6，则∠A等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】可以分别设∠A和∠B的度数分别为2x和6x，根据三角形的内角和定理列方程并解出方程即可．
【详解】解：因为∠A:∠B=2:6，不妨设∠A和∠B的度数分别为2x和6x，根据三角形的内角和定理得：
∠A+∠B+∠C=180∘，即2x+6x+20∘=180∘，
解得x=20∘，即∠A=40∘，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，能够正确想到使用该定理并运用方程思想求出答案是解决本题的关键．
9．（2023春·江苏·七年级校考周测）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=98°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得∠B=∠B',∠C=∠C'，根据三角形的内角和可得∠B'+∠C'=120°，∠AEF+∠AFE=120°，再根据四边形的内角和为360°，可得∠1+∠2=120°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC沿EF对折，
∴∠B=∠B',∠C=∠C'，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠B'+∠C'=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B'+∠C'=180°−60°=120°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−60°=120°，
∴∠B'+∠C'+∠AEF+∠AFE=120°+120°=240°，
∵∠1+∠2+∠B'+∠C'+∠AEF+∠AFE=360°，
∴∠1+∠2=360°−240°=120°，
∵∠1=98°，
∴∠2=120°−98°=22°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180°．
10．（2023春·江苏·七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2∠1+∠2
【答案】B
【分析】由折叠的性质得∠1=180°−2∠AED，∠2=180°−2∠ADE，再根据三角形内角和即可得到2∠A=∠1+∠2．
【详解】解：由折叠的性质得∠1=180°−2∠AED，∠2=180°−2∠ADE，
∴∠1+∠2=360°−2∠ADE+∠AED，
∵∠A=180°−∠ADE+∠AED，
∴2∠A=∠1+∠2，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，
∵∠O=30°，
∴当∠OAP与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有0°<∠A<60°；
当∠OAP大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有90°<∠A<150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
12．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）如图，直线AB，CD被直线AC所截，已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②β−α，③α−β，④180∘−α−β，⑤360°−α−β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①③④⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③⑤
【答案】D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β−α．
（2）如图，过E2作AB平行线，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图，
∵AB∥CD，
∴∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α−β．
（4）如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°−α−β．
∴∠AEC的度数可能为β−α，α+β，α−β，360°−α−β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α−β或β−α．
故选：D．
【点睛】考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．
13．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
【答案】B
【分析】根据邻补角的性质可得∠AED=54°，∠BGF=62°，再由平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，然后三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°−126°=54°，∠BGF=180°−118°=62°，
∵DE∥CG，FG∥CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=64°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
14．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，DC∥AB,AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，EG平分∠AEC．若∠EAD+∠BAD=180°，∠EDA=3∠CEG，则下列结论：①∠EAD=2∠FEG；②∠AED=45°+∠GEF；③∠EAD=135°−4∠GEC；④∠EAD=15°，其中正确的由（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠CEG，
设∠FEG=∠CEG=α，
∴∠FEC=2α，
∵∠EDA=3∠CEG，
∴∠EDA=3α，
∵EC⊥DC，DC∥AB，
∴EB⊥AB，∠C=90°，
∴∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°+2α，
∵∠AEC=∠B+∠EAB=90°+∠EAB，
∴90°+2α=90°+∠EAB，
∴∠EAB=2α=2∠FEG，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED=12∠AEC=12（90°+2α）=45°+α=45°+∠GEF
（90°+2α）=45°+α=45°+∠GEF，
故②正确；
∵∠AED=45°+α，∠EDA=3α，
∴∠EAD=180°−∠AED−∠EDA=180°−（45°＋α）−3α=135°−4α=135°−4∠GEC，
故③正确；
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠EAB+∠DAE+∠EAD=180°，
∴2α+2（135°−4α）=180°，
∴α=15°，
∴∠EAD=135°−4α=75°≠2α
故①错误；
故④错误，
故两个正确；
故选B．
【点睛】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键．
15．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135°B．150°C．120°D．110°
【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴∠FAB=12∠CAB,∠FBA=12∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AFB=180°−45°=135°．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=40°，分别过点A、B作射线AD,BE，使得AD∥BE，且点D、C、E在AB同侧，点C、E在AD同侧，若∠CBE=15°，则∠CAD的度数为 __．
【答案】65°或35°
【分析】分两种情况讨论，①利用三角形的内角和得出∠BAC=50°，再利用平行线的性质得出结果；②先求出∠ABE=105°，再利用平行线的性质得出∠DAB+∠ABE=180°，最后利用∠CAD=75°−40°=35°，得出结论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图，
∵∠ABC=90°,∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°−90°−40°=50°，
∵∠CBE=15°，
∴∠ABE=90°−15°=75°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD+∠CAB+∠ABE=180°，
∴∠CAD=180°−40°−75°=65°；
②如图，
∵∠ABC=90°,∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°−90°−40°=50°，
∵∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=105°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∴∠DAB=180°−105°=75°，
∴∠CAD=75°−40°=35°，
综上所述，∠CAD的度数为：65°或35°，
故答案我：65°或35°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形中有两个角分别为x∘和y∘，若y=2x则称x∘的角为“幸运角”，此三角形为“幸运三角形”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48∘，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为______．
【答案】24°或44°或48°
【分析】分三种情况进行讨论，当x=48°时，当y=48°时，当x+y=180°−48°=132°时，分别求出“幸运角”度数即可．
【详解】解：当x=48°时，y=2x=96°，
x+y=48°+96°=144°<180°，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为48°；
当y=48°时，x=12×48°=24°，
x+y=24°+48°=72°<180°，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为22°；
当x+y=180°−48°=132°时，根据y=2x可得，2x+x=132°，
解得：x=44°，
即此“幸运三角形”的“幸运角”度数为44°；
综上分析可知，这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为24°或44°或48°．
故答案为：24°或44°或48°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，新定义运算，解题的关键是理解定义，注意分类讨论．
18．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么∠A'DB的度数为____．
【答案】50°/50度
【分析】根据折叠性质，∠A'ED=∠AED=180°−∠A'EC2=55°，根据三角形内角和定理，得到∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，根据平角计算即可．
【详解】根据折叠性质，得∠A'ED=∠AED，∠A'DE=∠ADE，
∵∠A'EC=70°，
∴∠A'ED=∠AED=180°−∠A'EC2=55°，
∵∠A=60°，
∴∠A'DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，
∴∠A'DB=180°−∠A'DE−∠ADE=180°−65°−65°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_____．
【答案】240°/240度
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=180°−60°=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故答案为：240°．
【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，且∠B=50°，∠CAD=10°，则∠MAD的度数为___________°．
【答案】15或25
【分析】分两种情况，当D在线段BC上，当D不在线段BC上，分别画出图形求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D在BC上时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵∠CAD=10°，
∴∠BAC=40°+10°=50°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC=12∠BAC=25°，
∴∠MAD=∠MAC−∠DAC=15°；
如图2所示，当D不在线段BC上时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵∠CAD=10°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC=12∠BAC=15°，
∴∠MAD=∠MAC+∠DAC=25°；
综上所述，∠MAD=15°或25°．
故答案为：15°或25°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知∠A+∠B+∠C=125°，则∠D+∠E为_________.
【答案】55°/55度
【分析】由∠A+∠B+∠C=125°，可得∠OFC+∠C=125°，故∠FOC=55°，由三角形的外角的性质即可得到∠D+∠E的度数．
【详解】解：由图可得：
∠OFC是△ABF的外角，
∠A+∠B=∠OFC，
∠A+∠B+∠C=125°，
∠OFC+∠C=125°，
∠FOC=55°，
∠FOC是△DEO的外角，
∠D+∠E=∠FOC=55°，
故填：55°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．（2023春·江苏·七年级期中）如图，AB ∥ CD，BE⊥CE于点E，延长CA、DB交于点F，连接AE，若BE平分∠ABF，∠AFB=2∠AEC，∠FAE=37°，则∠FCD的度数为___．
【答案】74°/74度
【分析】设∠AEC=x，∠ABE=y，根据已知和角平分线的定义可得∠AFB=2x，∠ABF=2y，然后利用平行线的性质可得∠ABF=∠D=2y，∠FAB=∠FCD=180°−2x−2y，再根据垂直定义可得∠BEC=90°，从而利用三角形的内角和是180°可得x+y=53°，进而求出∠EAB=37°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：设∠AEC=x，∠ABE=y，
∵∠AFB=2∠AEC，
∴∠AFB=2x，
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABF=2∠ABE=2y，
∴∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF=180°−2x−2y，
∵AB ∥ CD，
∴∠ABF=∠D=2y，∠FAB=∠FCD=180°−2x−2y，
∵∠FAE=37°，
∴∠EAB=∠FAB−∠FAE=180°−2x−2y−37°，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠ABE+∠AEB+∠EAB=180°，
∴y+90°+x+180°−2x−2y−37°=180°，
∴x+y=53°，
∴∠EAB=37°，
∴∠FAB=∠FCD=∠FAE+∠EAB=74°，
故答案为：74°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中∠EDF=∠E，则∠ACD的度数为_________．
【答案】30°/30度
【分析】由直角三角形的两锐角互余可求得∠A=40°，设∠ACD=x°，由三角形外角的性质得∠CDF=40°+x°，由补角的性质可得∠ADC=180°−40°+x°=140°−x°，再根据折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，由∠EDF=∠E，列出关于x的方程求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B−∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x°，∠ADC=180°−40°+x°=140°−x°，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
∵ ∠EDF=∠E=40°，
∴ 140°−x°=40°+40°+x°，
解得：x=30，
∴ ∠ACD的度数为30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C=50°，则∠CDO+∠CFO的度数为______°．
【答案】80
【分析】延长FO交AC于点G，根据三角形内角和定理可求出∠A+∠B=130°，由翻折的性质可知∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，即得出∠DOF=130°，从而求出∠DOG=50°，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，从而可求出∠CDO+∠CFO=80°．
【详解】如图，延长FO交AC于点G，
∵∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°−∠C=130°，
由翻折可知∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，
∴∠DOE+∠EOF=130°，即∠DOF=130°，
∴∠DOG=180°−130°=50°，
∵∠CGF=∠DOG+∠CDO，∠CGF+∠CFG+∠C=180°，
∴∠CDO+∠DOG+∠CFG+∠C=180°，即∠CDO+50°+∠CFO+50°=180°，
∴∠CDO+∠CFO=80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质，熟练掌握其定理是解题的关键．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，则∠ACB的度数为___________．
【答案】42°
【分析】由题可设∠ABD=∠FBD=x，∠GAE=∠CAE=y，根据平角的定义用含x的代数式表示∠ABC和∠BAC,再由外角定理用含x的代数式表示∠E和∠D，再由题干中已知的两个等式列方程组求解，即可求解．
【详解】解：由题意射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，
∴∠ABD=∠FBD，∠GAE=∠CAE,
∴设∠ABD=∠FBD=x，∠GAE=∠CAE=y，
由平角的定义得：∠ABC=180°−2x，∠BAC=180°−2y，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC
=180°−180°−2x−180°−2y
=2x+y−180°
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB=∠EAC+∠E，
∴∠E=∠ACB−∠EAC
=2x+y−180°−y
=2x+y−180°
同理∵∠FBD是△DBC的一个外角，
∴∠FBD=∠D+∠DCB，
∴∠D=∠FBD−∠DCB=∠FBD−∠ACB
=x−2x+y−180°
=180°−x−2y
∵∠BAC=∠ABC+102°，∠D=∠E+27°，
∴180°−2y=180°−2x+102°180°−x−2y=2x+y−180°，
整理得：x−y=102°x+y=111°，
∴∠ACB=2x+y−180°
=2×111°−180°
=42°
故答案为：42°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
三、解答题
26．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，求∠A+∠P的度数．
【答案】90°
【分析】由角平分线的定义外角的性质可分别计算∠A与∠P的大小．
【详解】∵BP平分∠ABC
∴∠PBC=∠ABP=20°，∠ABC=2∠ABP=40°
∵CP平分∠ACM
∴∠PCM=∠ACP=50°，∠ACM=2∠ACP=100°
∴∠A=∠ACM−∠ABC=100°−40°=60°
∠P=∠PCM−∠PCB=50°−20°=30°
∴∠A+∠P=60°+30°=90°
【点睛】本题主要考查三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形两个内角的和等于另一个角的外角是本题的解题关键．
27．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，已知∠1=100°，∠2=40°求∠A的度数．
【答案】∠A=30°
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠A=∠A'，再根据三角形外角和三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：如图：∵△AED是△A'ED翻折变换而成，
∴∠A=∠A'，
∵∠AFE是△A'DF的外角，
∴∠AFE=∠A'+∠A'DF，
∵∠1=100°，
∴∠A'DF=80°，
∵∠AFE+∠2+∠A=180°，
∴80°+∠A'+∠2+∠A=180°，
∴80°+2∠A+40°=180°，
解得：∠A=30°．
【点睛】此题考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，注意折叠前后图形是全等的，注意折叠中的对应关系．
28．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=50°，∠CAD∶∠E=1∶3，求∠E的度数．
【答案】48°
【分析】设∠CAD=x，则∠E=3x，根据角平分线的性质得出∠BAD=∠CAD=x，进而求得∠ADE,∠DAE，在△ADE中，∠E+∠ADE+∠DAE=180°，列出方程，解方程即可求解．
【详解】设∠CAD=x，则∠E=3x．
∵AD平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD=x
∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+x．
在△ADE中，∠E+∠ADE+∠DAE=180°
∴3x+2(50°+x)=180°．
x=16°
∴∠E=3x=48°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
29．（2023春·七年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，M是射线AD上一点，MN⊥BC于点N，∠B=α，∠C=β，且α＞β．
(1)如图1，当点M与A点重合，α=50°，β=30°时，求∠DMN的度数；
(2)如图2，当点M在线段AD上（不与A、D两点重合）时，求证：∠DMN=12(α−β)．
【答案】(1)10°
(2)见解析
【分析】对于（1），根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠DAC，然后根据直角三角形两个锐角互余求出∠NAC，最后根据∠DMN=∠NAC−∠DAC求出答案；
对于（2），根据三角形内角和定理表示出∠BAC，再根据角平分线的定义表示出∠DAC，然后根据三角形外角的性质表示出∠ADN，最后根据∠DMN=∠DNM−∠ADN求出答案.
【详解】（1）如图1，在△ABC中，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−30°=100°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=50°.
∵MN⊥BC，
∴∠MND=90°，
∴∠NAC=90°−∠C=90°−30°=60°，
∴∠DMN=∠NAC−∠DAC=60°−50°=10°；
（2）如图2，在△ABC中，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=90°−12(α+β).
∵∠ADN=∠DAC+∠C=90°−12(α+β)+β=90°−12(α−β)，
∵MN⊥BC，
∴∠MND=90°，
∴∠DMN=∠MND−∠ADN=90°−90°+12(α−β)=12(α−β).
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
30．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．
【答案】18°
【分析】先设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，根据三角形内角和定理列出方程求得x的值，最后再根据直角三角形性质即可求解．
【详解】解：设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x，
∴2x+2x+x=180°，
解得x=36°，
∵BD是边AC上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠CBD=90°−∠C=90°−2x=18°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与直角三角形性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
31．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
(1)若∠A=40°，∠B=80°，求∠DCE的度数；
(2)若∠A=α， ∠B=β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）．
【答案】(1)20°
(2)12β−12α
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=60°，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=30°，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=10°，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°−α−β，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=12180°−α−β，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=90°−β，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=30°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=10°，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=30°−10°=20°；
（2）解：∵∠A=α， ∠B=β，
∴∠ACB=180°−α−β，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=12180°−α−β，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=90°−β，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=12β−12a．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
32．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=35°，∠ACB=75°，求∠E的度数；
(2)求证：∠E=12∠ACB−∠B．
【答案】(1)∠E=20°；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠BAC，从而求出∠BAD，然后根据三角形外角的性质即可求出∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAD=12∠BAC，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证∠ADC =90°+12∠B−12∠ACB，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可证出结论．
【详解】（1）解：∵∠B=35°，∠ACB=75°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
又∵PE⊥AD，
∴∠ADC与∠E互余，
∴∠E=90°−70°=20°；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADC=∠B+∠BAD
=∠B+12∠BAC
=∠B+12180°−∠B−∠ACB
=90°+12∠B−12∠ACB，
∵PE⊥AD，
∴∠E=90°−∠ADC
=90°−90°+12∠B−12∠ACB
=12∠ACB−∠B
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，AB、CD相交于E，CF、BF分别为 ∠ACD和 ∠ABD的平分线，它们相交于F．求证：∠F=12∠A+∠D．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠2= 12 ∠ACE，∠3=∠4= 12 ∠DBE，根据三角形内角和定理得出∠1+∠A=∠3+∠F，①，∠A+2∠1=∠D+2∠3，②，根据①×2−②，即可得证．
【详解】证明：如图，
∵CF、BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2= 12 ∠ACE，∠3=∠4= 12 ∠DBE，
在△AMC中，∠1+∠A+∠AMC=180°，
在△BMF中，∠3+∠F+∠FMB=180°，
∴∠1+∠A=∠3+∠F，①
在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°，
在△DBE中，∠D+∠DBE+∠DEB=180°，
∴∠A+∠ACE=∠D+∠DBE，
即∠A+2∠1=∠D+2∠3，②
①×2−②得：
∴∠A=2∠F−∠D，
∴∠F=12∠A+∠D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
34．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，EF⊥BC，垂足为F．
(1)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DEF的度数；
(2)若∠C−∠B=m°，请直接写出∠DEF的度数 ．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)∠DEF=10°
(2)12m°
【分析】（1）在ΔABC中利用内角和定理易得：∠BAC=80°，进而得出∠BAD的度数，再在ΔADB与ΔDEF中利用内角和定理解答即可；
（2）同理（1）可得出∠EDF=90°−12∠C+12∠B，再在ΔDEF中利用内角和定理解答即可．
【详解】（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=40°，
∴∠ADB=180°−40°−40°=100°，
∴∠ADC=80°，
∵EF⊥BC，
∴∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°−80°=10°．
（2）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12(180°−∠B−∠C)，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=90°+12∠C−12∠B，
∴∠EDF=90°−12∠C+12∠B，
∴∠DEF=90°−(90°−12∠C+12∠B)，
∴∠DEF=12∠C−12∠B=12(∠C−∠B)=12m°，
故答案为：12m°．
【点睛】本题侧重考查三角形的内角和、角平分线的定义，掌握三角形的性质是解题关键．
35．（2023春·上海·七年级专题练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D．
(2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
(3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB， ∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)260°
(3)①110°；②4∠P=∠B+3∠C，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）利用（1）的结论，结合三角形外角的性质即可求解；
（3）①根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C−∠P=∠P−∠B，即∠P=12∠C+∠B，然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；
②与①的证明方法一样得到4∠P=∠B+3∠C．
【详解】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：如图2所示，
∵∠DME=∠A+∠E，∠3=∠DME+∠D，
∴∠A+∠E+∠D=∠3，
∵∠2=∠3+∠F，∠1=130°，
∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°，
∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°，
∵∠B+∠C=∠1=130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°．
故答案为：260°．
（3）解①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=12∠B+∠C=110°；
②4∠P=∠B+3∠C，其理由是：
∵∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，
∴∠BAP=34∠CAB，∠BDP=34∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP=14∠CDB−∠CAB，
∠P−∠B=∠BDP−∠BAP=34∠CDB−∠CAB．
∴3∠C−∠P=∠P−∠B，
∴4∠P=∠B+3∠C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，三角形外角的性质，角平分线的定义．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
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