人教版八年级数学上册重难考点专题04因式分解(知识串讲+13大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04因式分解(知识串讲+13大考点)特训(原卷版+解析)，共55页。

知识串讲
（一）因式分解的定义
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）因式分解的定义注意事项：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
②因式分解必须是恒等变形；
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
（二）因式分解的方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
【提公因式法的注意事项】
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
（2）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（三）因式分解的步骤：一提、二套、三查
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点训练
考点1：判断是否是因式分解
典例1：（2023春·江苏常州·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形，因式分解的是（ ）
m2−2mn+n2=m−n2 B．x−2x+2=x2−4
C．ab+ac+1=ab+c+1 D．2x2−4y=2xx−2y
【变式1】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12=2×2×3B．xx−2=x2−2x
C．ma+mb÷m=a+bD．a2−a−2=a−2a+1
【变式2】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）下列各式中，由左向右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2−2x+1=xx−2+1 B．9x2−16y2=3x+4y3x−4y
C．x+3x+7=x2+10x+21D．x+2y2=x2+4xy+4y2
【变式3】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下列代数式变形中，是正确的因式分解的是（ ）
A．12a(b−2)=12ab−aB．3x−6y+3=3(x−2y)
C．x2+y2=(x+y)2D．x2−1=(x+1)(x−1)
考点2：利用因式分解求字母
典例2：（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）若x2+px−3=x−1x+3，则常数p的值是（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）已知多项式ax2+bx+c分解因式得x−3x+2，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，−1，6B．1，1，−6C．1，−1，−6D．1，1，6
【变式2】（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）如果把二次三项式x2+2x+m进行因式分解，可以得到x−2x+n，那么常数m的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【变式3】（2023春·四川巴中·八年级统考阶段练习）若x2−ax−1可以因式分解为x−2x+b，则a+b的值为（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
考点3：找公因式
典例3：（2023春·广西来宾·七年级统考期末）多项式x2y3+2xyz中各项的公因式是（ ）
A．xyB．xy2C．xyzD．2xy2
【变式1】（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式6a2bc−8ab2c+4abc的公因式是( )
A．8abc B．2abc C．6a2b2c2D．4a2b2c2
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）把多项式6a2b−3ab2+12ab因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．abB．3a2bC．3ab2D．3ab
【变式3】（2023·河南濮阳·八年级统考期末）下列各组代数式没有公因式的是（ ）
A．5a−5b和5a+5bB．ax+y和x+ay
C．a2+2ab+b2和2a+2bD．a2−ab和a2−b2
考点4：提公因式分解因式
典例4：（2023春·福建漳州·八年级统考期末）下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（ ）
A．2n−5B．ab+acC．x2−4D．x2−2xy+y2
【变式1】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）多项式8a3b2+12a3bc分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．8a3b2B．−4a2b2C．4a3bD．−a3b
【变式2】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）已知xy=8，x+y=6，则x2y+xy2的值为（ ）
A．14B．48C．64D．36
【变式3】（2022秋·上海·七年级专题练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc−9a2b2c2=3abc(4−3ab)B．3x2y−3xy+6y=3y(x2−x+2y)
C．−a2+ab−ac=−a(a−b+c)D．x2y+5xy−y=y(x2+5x)
考点5：判断是否是公式法分解因式
典例5：（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2−2x−1C．x2+2x+4D．x2−x+14
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2−4B．−x2−y2+2xyC．m2n2−1D．a2−4b2
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2 ②−x2+y2 ③−x2−y2 ④x2+xy+y2 ⑤x2+2xy−y2 ⑥−x2+4xy−4y2
A．2B．3C．4D．5
【变式3】（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（ ）
A．−x2+4x+4B．x2+4C．x2−2x+1D．4x2−4x+4
考点6：分解因式——平方差公式
典例6：（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．a2+−b2B．−x2−y2C．−m2+9D．3x2y−27xy2
【变式1】（2023·安徽·校联考三模）将多项式1−4x2因式分解，正确的是（ ）
A．(2x+1)(2x−1)B．(1−2x)(1+2x)C．(1+2x)(2x−1)D．(1+4x)(1−4x)
【变式2】（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式x−2的是（ ）
A．x2−2xB．x2−4C．x2−4x+4D．x2+4x+4
【变式3】（2023春·浙江金华·七年级统考期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．m2−4B．−m2−4C．m2+4D．m2+m
考点7：分解因式——完全平方公式
典例7：（2023·山西晋城·八年级统考期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−4x−4B．4x2−4x+1C．4x2−9D．x2−6x+36
【变式1】（2023·安徽安庆·校联考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2−6xy+9y2B．4a2−4a−1C．x2−1D．4m2−4mn+n2
【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．x2−4x+1B．x2+6x+9C．x2−4x+9D．x2+4x−4
【变式3】（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
x+yy−x−4xyB．a2−2ab+4b2
C．4m2−m+14 D．a−b2−2a+2b+1
考点8：分解因式——公式法综合
典例8：（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）把a2+12−4a2因式分解得（ ）
A．a2+1−4a2B．a2+1−4a2
C．a+12a−12D．a2−12
【变式1】（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（ ）
A．ma+mb=ma+bB．8m2−2m=m8m−2
C．a2−2ab+2b2=(a−b)2D．x2−1=(x−1)2
【变式2】（2021秋·八年级课时练习）下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A．−4x2−9=−(2x+3)(2x−3)B．4mn−4m2−n2=−(2m−n)2
C．x2−2xz−z2=(x−z)2D．9a2+6ma+4m2=(3a+2m)2
【变式3】（2021春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x﹣3）2
B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1
C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2
D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）
考点9：分解因式——综合法
典例9：（2023·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．a2−2a−3=a−1a−3B．a2−8a+16=a−42
C．a+2a−2=a2−4D．x3−x=xx2−1
【变式1】（2023·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．−2a2+4a=−2aa+2B．3ax2−6axy+3ay2=3ax−y2
C．2x2+3x3+x=x2x+3x2D．m2+n2=m+n2
【变式2】（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．3ax2−6ax=3(ax2−2ax)B．2x2−8y2=2(x+2y)(x−2y)
C．xx−y+yy−x=(x−y)2D．−ax2+2ax−a=−a(x−1)2
【变式3】（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x3y−xy2=2xyx2−yB．−xy2+2xy−y=−yxy−2x
C．x2−x−5=xx−1−5D．2x2−8x+8=2x−22
考点10：因式分解与简便运算
典例10：（2023春·湖南·七年级期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（ ）．
A．512B．12C．712D．1130
【变式1】（2023·河北唐山·统考二模）计算：1252-50×125+252=( )
A．100B．150C．10000D．22500
【变式2】（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）已知20102021−20102019=2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）计算−22022+−22021所得的结果是（ ）
A．－2B．2C．－22021D．22021
考点11：分解因式——十字相乘法
典例11：（2023春·山西大同·九年级校联考期中）若多项式x2−ax+12可分解为x−3x+b，则a+b的值为（ ）
A．−11B．−3C．3D．7
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是x+6x−2，乙看错了b的值，分解的结果为x−8x+4，那么b−a的值为（ ）
A．−8B．−6C．−4D．2
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式x2+4x−12分解因式正确的结果为（ ）
A．x+3x−4B．x+4x−3
C．x+6x−2D．x+2x−4
【变式3】（2023春·七年级课时练习）多项式x2+7x−18因式分解的结果是（ ）
A．x−1x+18B．x+2x+9
C．x−3x+6D．x−2x+9
考点12：分解因式——分组分解法
典例12：（2022秋·八年级单元测试）把多项式x2−y2−2x−4y−3因式分解之后，正确的是（ ）
A．(x+y−3)(x−y−3)B．(x+y−1)(x−y+3)
C．(x+y−3)(x−y+1)D．(x+y+1)(x−y−3)
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知x3−12x+16有一个因式x+4，把它分解因式后的结果是（ ）
A．x+4x−22B．x+4x2+x+1
C．x+4x+22D．x2−4x+4x+4
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解法将x2−xy+2y−2x分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．x2−2x+2y−xyB．x2−xy+2y−2x
C．x2+2y+−xy−2xD．x2−2x−xy−2y
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解a2−b2−c2+2bc的因式，分组正确的是（ ）
A．a2−b2−b−2bcB．a2−b2−c2+2ab
C．a2−b2−c2−2bcD．a2−b2+c2−2bc
考点13：因式分解的应用
典例13：（2023春·广西桂林·七年级统考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字：胜、爱、我、龙、游、美，现将x2−y2a2−x2−y2b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．龙胜游C．爱我龙胜D．美我龙胜
【变式1】（2023·浙江·八年级假期作业）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2−2ba+c=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级统考期中）已知，X2−16Y2=16，X+4Y=12，则X−Y的值是（ ）
A．64B．32316C．32D．19716
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
同步过关
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．(x+2)(x−2)=x2−4B．6y+2x=x6y+2
C．x2−3x−4=x−4x+1D．x2−x+14=x2(1−1x+14x2)
2．（2023·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
3．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x−1x−2=1−x2−xB．x2+xy−1=xx−y−1
C．ax−3+b3−x=x−3a−bD．a−1a+1=a2−1
4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a+2a−2=a2−4B．ab+ac+d=ab+c+d
C．x2−9=x−32D．a2b−ab2=ab(a−b)
5．（2023春·湖南常德·七年级常德市淮阳中学校考期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱五中C．我爱五中D．五中数学
6．（2023春·浙江·七年级期末）若实数a，b满足方程组ab+a−b=85a−5b+ab=20，则a2b−ab2的值为（ ）
A．20B．15C．−15D．10
7．（2023·广东中山·八年级统考期中）下列变形中属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·七年级课时练习）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
9．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）
C．x2+6x+4＝（x+2）2+2xD．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）
10．（2023春·全国·八年级专题练习）下列因式分解中，正确的是（ ）
①x2y−2xy2+xy=xyx−2y； ②−a+ab−ac=−a1−b+c； ③9abc−6a2b=3abc3−2a； ④2x2y+4xy2=2xyx+2y
A．①②B．①③C．②③D．②④
11．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长a，b，c满足(a2−c2)2+b2(a2−c2)=0，则这个三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
12．（2023·浙江·九年级专题练习）分解因式a3−4a的结果正确的是（ ）
A．aa2−4B．aa−2a+2C．aa−22D．aa+22
13．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．（a－3）（a＋3）＝a2－9B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1
C．x2＋1＝x（x＋1x）D．a2b＋ab2＝ab（a＋b）
14．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．ab+ac+d＝a（b+c）+dB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．6ab＝2a⋅3bD．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
15．（2023春·河北保定·八年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字，师、爱、我、保、好、美，现将(x2−y2)a2−(x2−y2)b2因式分解．结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．保师好C．爱我保师D．美我保师
二、填空题
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）分解因式：x2﹣2xy+y2＝ ．
17．（2023·安徽·九年级专题练习）因式分解：a2b−ab2= ．
18．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝ ．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式：x2−2x−2y2+4y−xy= ．
20．（2023春·七年级课时练习）写出下列各式分解因式时应提取的公因式：
(1)ax-ay应提取的公因式是 ；
(2)3mx-6nx2应提取的公因式是 ；
(3)-x2+xy-xz应提取的公因式是 .
21．（2023春·四川成都·七年级校联考期中）多项式2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，则a+b的值是 .
22．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：x2−5x−24= ．
23．（2023·广东深圳·模拟预测）将4a3−ab2因式分解后的结果为 ．
24．（2023·江苏扬州·统考二模）因式分解mx2+2mx+m= ．
25．（2023·八年级课时练习）若x2+ax+4=x−22，则a= ．
三、解答题
26．（2023春·四川达州·八年级校联考期末）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab−a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“传承数.”
（1）若a=−1，b=2，求a，b的“传承数”c；
（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，b的“传承数”c；
（3）若a=2n+1，b=n−1，且a，b的“传承数”c值为一个整数，则整数n的值是多少？
27．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）把下列各式因式分解
（1）3a3−12ab2
（2）x4−2x2y2+y4
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：如图，根据小军的方法，将下列各式因式分解：
（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．
小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（3）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为： ；
（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
29．（2022秋·八年级单元测试）①已知a＝12，mn＝2，求a2•（am）n的值．
②若2n•4n＝64，求n的值．
30．（2023·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴n=4，m=4．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值．
31．（2023·上海嘉定·七年级统考期中）因式分解：
(1)a(a−b)2−2(b−a)
(2)a5−2a4+a3
32．（2023·八年级课时练习）如图，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是18m，外径D为1m，内径d为0.4m．每立方米钢的质量为7.8t，求4根立柱的总质量（π取3.14）．
33．（2023·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n和2n－2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）小于101的所有神秘数共有______个．
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24=x2+11x+1122−1122+24
=x+1122−254
=x+112+52x+112−52
=x+8x+3
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x2+8x−1化成x+m2+n的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式x2−3x−40进行因式分解；
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2−2x−4y+16的值总为正数．
35．（2023春·福建·八年级统考期末）已知ab=3 , a+b=5,利用因式分解求a3b+2a2b2+ab3的值．
专题04 因式分解
考点类型
知识串讲
（一）因式分解的定义
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）因式分解的定义注意事项：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
②因式分解必须是恒等变形；
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
（二）因式分解的方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
【提公因式法的注意事项】
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
（2）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（三）因式分解的步骤：一提、二套、三查
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点训练
考点1：判断是否是因式分解
典例1：（2023春·江苏常州·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形，因式分解的是（ ）
m2−2mn+n2=m−n2 B．x−2x+2=x2−4
C．ab+ac+1=ab+c+1 D．2x2−4y=2xx−2y
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义即可进行解答．
【详解】解：A、m2−2mn+n2=m−n2，是因式分解，符合题意；
B、x−2x+2=x2−4，是整式的乘法，不符合题意；
C、ab+ac+1=ab+c+1，不是因式分解，不符合题意；
D、2x2−4y=2x2−2y，故因式分解不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．
【变式1】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12=2×2×3B．xx−2=x2−2x
C．ma+mb÷m=a+bD．a2−a−2=a−2a+1
【答案】D
【分析】直接根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A．12=2×2×3，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．xx−2=x2−2x，从左至右的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意；
C．(ma+mb)÷m=a+b，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．a2−a−2=a−2a+1，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法。因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式2】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）下列各式中，由左向右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2−2x+1=xx−2+1 B．9x2−16y2=3x+4y3x−4y
C．x+3x+7=x2+10x+21D．x+2y2=x2+4xy+4y2
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可
【详解】解：A．x2−2x+1=xx−2+1，不是因式分解，故选项不符合题意；
B．9x2−16y2=3x+4y3x−4y，是因式分解，故选项正确，符合题意；
C．x+3x+7=x2+10x+21是整式的乘法，不是因式分解，故选项不符合题意；
D．x+2y2=x2+4xy+4y2是整式的乘法，不是因式分解，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【变式3】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下列代数式变形中，是正确的因式分解的是（ ）
A．12a(b−2)=12ab−aB．3x−6y+3=3(x−2y)
C．x2+y2=(x+y)2D．x2−1=(x+1)(x−1)
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，以及提公因式，公式法因式分解逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 12a(b−2)=12ab−a，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 3x−6y+3=3(x−2y+1)，故该选项不正确，不符合题意；
C. x2+y2≠(x+y)2，故该选项不正确，不符合题意；
D. x2−1=(x+1)(x−1)，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义以及因式分解的方法是解题的关键．
考点2：利用因式分解求字母
典例2：（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）若x2+px−3=x−1x+3，则常数p的值是（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【答案】A
【分析】将等式右边利用多项式乘多项式运算法则展开，再使等式左右两边x的一次项系数相等即可求解．
【详解】解：∵x2+px−3=x−1x+3，
∴x2+px−3=x2+2x−3，
∴p=2，
故选：A．
【点睛】本题考查已知因式分解结果求参数、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则并正确求解是解答的关键．
【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）已知多项式ax2+bx+c分解因式得x−3x+2，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，−1，6B．1，1，−6C．1，−1，−6D．1，1，6
【答案】C
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将x−3x+2展开，分别对应ax2+bx+c即可得出答案．
【详解】解：x−3x+2=x2−x−6，
∵多项式ax2+bx+c分解因式得x−3x+2，
∴a=1,b=−1,c=−6，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得c=−3×2=−6,b=−3+2=−1,a=1×1=1进行求解．
【变式2】（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）如果把二次三项式x2+2x+m进行因式分解，可以得到x−2x+n，那么常数m的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【答案】D
【分析】将x−2x+n展开，根据因式分解得到x2+2x+m=x2+n−2x−2n，再根据同类项部分系数相同可得n−2=2m=−2n，即可求解．
【详解】解：x−2x+n=x2+n−2x−2n，
∵x2+2x+m=x−2x+n，
∴x2+2x+m=x2+n−2x−2n，
∴n−2=2m=−2n，解得：n=4m=−8，
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是将多项式正确展开．
【变式3】（2023春·四川巴中·八年级统考阶段练习）若x2−ax−1可以因式分解为x−2x+b，则a+b的值为（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
【答案】A
【分析】直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解：∵二次三项式x2−ax−1可分解为x−2x+b，
∴x2−ax−1=x−2x+b=x2+b−2x−2b，
则−2b=−1，b−2=−a，
解得：b=12，a=32，
∴a+b=12+32=2，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算，正确将原式变形是解题的关键．
考点3：找公因式
典例3：（2023春·广西来宾·七年级统考期末）多项式x2y3+2xyz中各项的公因式是（ ）
A．xyB．xy2C．xyzD．2xy2
【答案】A
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数幂即可求解．
【详解】解：多项式x2y3+2xyz中各项的公因式是xy，
故选：A．
【点睛】本题考查公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法是解答的关键．
【变式1】（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式6a2bc−8ab2c+4abc的公因式是( )
A．8abc B．2abc C．6a2b2c2D．4a2b2c2
【答案】B
【分析】根据多项式的公因式定义，多项式各项都含有的公共的因式是公因式即可得出答案．
【详解】多项式6a2bc−8ab2c+4abc的公因式是2abc，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的公因式问题，掌握多项式的公因式定义是解题关键．
【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）把多项式6a2b−3ab2+12ab因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．abB．3a2bC．3ab2D．3ab
【答案】D
【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．
【详解】解：6a2b−3ab2+12ab=3ab2a−b+4，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
【变式3】（2023·河南濮阳·八年级统考期末）下列各组代数式没有公因式的是（ ）
A．5a−5b和5a+5bB．ax+y和x+ay
C．a2+2ab+b2和2a+2bD．a2−ab和a2−b2
【答案】B
【分析】此题可对代数式进行变形，然后可以看出是否有公因式．
【详解】解：A、5a−5b=5(a−b)， 5a+5b=5a+b，所以5a−5b和5a+5b有因式5，故本选项不符合题意；
B、ax+y与x+ay没有公因式，故本选项符合题意；
C、a2+2ab+b2=a+b2，a2−b2=a+ba−b，所以a2+2ab+b2和2a+2b有因式a+b，故本选项不符合题意；
D、a2−ab=aa−b，a2−b2=a+ba−b，所以a2−ab和a2−b2有因式a−b，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的含义、平方差公式以及完全平方公式因式分解，熟记公因式的概念是解题的关键．
考点4：提公因式分解因式
典例4：（2023春·福建漳州·八年级统考期末）下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（ ）
A．2n−5B．ab+acC．x2−4D．x2−2xy+y2
【答案】B
【分析】找出选项中有公因式的选项即可．
【详解】解：A. 2n−5中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
B. ab+ac，能用提公因式法进行因式分解，故本选项符合题意；
C. x2−4中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
D. x2−2xy+y2中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．
【变式1】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）多项式8a3b2+12a3bc分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．8a3b2B．−4a2b2C．4a3bD．−a3b
【答案】C
【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式．
【详解】8a3b2+12a3bc=4a3b(2b+3c).
即多项式8a3b2+12a3bc分解因式时，应提取的公因式是4a3b.
故选：C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式2】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）已知xy=8，x+y=6，则x2y+xy2的值为（ ）
A．14B．48C．64D．36
【答案】B
【分析】将代数式进行因式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵xy=8，x+y=6，
∴x2y+xy2=xyx+y=8×6=48，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，提取公因式法，正确计算是解题的关键．
【变式3】（2022秋·上海·七年级专题练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc−9a2b2c2=3abc(4−3ab)B．3x2y−3xy+6y=3y(x2−x+2y)
C．−a2+ab−ac=−a(a−b+c)D．x2y+5xy−y=y(x2+5x)
【答案】C
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；
B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；
D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
考点5：判断是否是公式法分解因式
典例5：（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2−2x−1C．x2+2x+4D．x2−x+14
【答案】D
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可．
【详解】解：A．x2+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B．x2−2x−1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C．x2+2x+4不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
D．x2−x+14=x−122，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2−4B．−x2−y2+2xyC．m2n2−1D．a2−4b2
【答案】B
【分析】根据平方差公式法a2−b2=a+ba−b进行分解因式，即可判断．
【详解】A：x2−4 =x+2x−2，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
B：−x2−y2+2xy =−x2−2xy+y2=−x−y2，符合完全平方公式，故此选项符合题意；
C：m2n2−1 =mn+1mn−1，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
D：a2−4b2 =a+2ba−2b，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2 ②−x2+y2 ③−x2−y2 ④x2+xy+y2 ⑤x2+2xy−y2 ⑥−x2+4xy−4y2
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2，平方差公式a+ba−b=a2−b2进行判断即可．
【详解】解：①3x2+3y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
②−x2+y2=y+xy−x，可以用平方差公式分解因式，符合题意；
③−x2−y2=−x2+y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
④x2+xy+y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤x2+2xy−y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑥−x2+4xy−4y2=−x2−4xy+4y2=−x−2y2，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．
【变式3】（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（ ）
A．−x2+4x+4B．x2+4C．x2−2x+1D．4x2−4x+4
【答案】C
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. −x2+4x+4，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；
B. x2+4，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；
C. x2−2x+1 =x−12，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；
D. 4x2−4x+4 =4x2−x+1，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
考点6：分解因式——平方差公式
典例6：（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．a2+−b2B．−x2−y2C．−m2+9D．3x2y−27xy2
【答案】C
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
【详解】解：A、a2+−b2=a2+b2，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
B、−x2−y2=−x2+y2，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
C、−m2+9=3−m3+m，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意；
D、3x2y−27xy2=3xyx−9y，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：a2−b2=a+ba−b．
【变式1】（2023·安徽·校联考三模）将多项式1−4x2因式分解，正确的是（ ）
A．(2x+1)(2x−1)B．(1−2x)(1+2x)C．(1+2x)(2x−1)D．(1+4x)(1−4x)
【答案】B
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可求解．
【详解】解：1−4x2
=(1−2x)(1+2x)，
故选：B．
【点睛】本题主要考查因数分解，掌握公式法分解因式是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式x−2的是（ ）
A．x2−2xB．x2−4C．x2−4x+4D．x2+4x+4
【答案】D
【分析】分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．
【详解】解：A、x2−2x=x(x−2)，含有因式x−2，本选项不符合题意；
B、x2−4=(x+2)(x−2)，含有因式x−2，本选项不符合题意；
C、x2−4x+4=(x−2)2，含有因式x−2，本选项不符合题意；
D、x2+4x+4=(x+2)2，不含有因式x−2，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【变式3】（2023春·浙江金华·七年级统考期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．m2−4B．−m2−4C．m2+4D．m2+m
【答案】A
【分析】根据平方差公式a2−b2=a−ba+b即可解答．
【详解】解：∵m2−4=m−2m+2，可以利用平方差公式a2−b2=a−ba+b因式分解，
故A项符合题意；
∵−m2−4=−m2+4不能利用平方差公式因式分解，
故B项不符合题意；
∵m2+4不能利用平方差公式因式分解，
故C项不符合题意；
∵m2+m=mm+1不能利用平方差公式因式分解，
故D项不符合题意；
故选:A．
【点睛】本题考查了平方差公式a2−b2=a−ba+b，熟记平方差公式是解题的关键．
考点7：分解因式——完全平方公式
典例7：（2023·山西晋城·八年级统考期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2−4x−4B．4x2−4x+1C．4x2−9D．x2−6x+36
【答案】B
【分析】利用完全平方公式：a2±2ab+b2=a±b2，进而判断得出答案．
【详解】解：A、x2−4x−4，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
B、4x2−4x+1=2x−12，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
C、4x2−9=2x+32x−3，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
D、x2−6x+36，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
【变式1】（2023·安徽安庆·校联考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2−6xy+9y2B．4a2−4a−1C．x2−1D．4m2−4mn+n2
【答案】D
【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A、4x2−6xy+9y2不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
B、4a2−4a−1不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
C、x2−1=x+1x−1，用平方差公式分解，故不符合题意；
D、4m2−4mn+n2＝2m−n2，用完全平方公式分解，故符合题意；
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2是解答此题的关键
【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．x2−4x+1B．x2+6x+9C．x2−4x+9D．x2+4x−4
【答案】B
【分析】根据完全平方公式和因式分解的定义逐项进行分析判断，即可得出答案．
【详解】解：A. x2−4x+1，不能用完全平方公式进行因式分解；
B. x2+6x+9=x+32，能用完全平方公式进行因式分解；
C. x2−4x+9，不能用完全平方公式进行因式分解；
D. x2+4x−4，不能用完全平方公式进行因式分解；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式和因式分解的定义，熟练掌握完全平方公式和因式分解的定义的是解题的关键．
【变式3】（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
x+yy−x−4xyB．a2−2ab+4b2
C．4m2−m+14 D．a−b2−2a+2b+1
【答案】D
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、x+yy−x−4xy
=−x+yx−y−4xy
=−x2−y2−4xy
=−x2−4xy+y2，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意；
B、a2−2ab+4b2
=a2−2ab+2b2
≠a−2b2= a2−4ab+4b2，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意；
C、4m2−m+14
=2m2−m+122
≠2m−122=4m2−2m+14，该选项无法用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D、a−b2−2a+2b+1
=a−b2−2(a−b)+1
=a−b−12
=a−b−12，该选项可用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用，熟记公式法因式分解的常见公式是解决问题的关键．
考点8：分解因式——公式法综合
典例8：（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）把a2+12−4a2因式分解得（ ）
A．a2+1−4a2B．a2+1−4a2
C．a+12a−12D．a2−12
【答案】C
【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.
【详解】解：a2+12−4a2=a2+1+2aa2+1−2a=a+12a−12；
故选：C.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.
【变式1】（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（ ）
A．ma+mb=ma+bB．8m2−2m=m8m−2
C．a2−2ab+2b2=(a−b)2D．x2−1=(x−1)2
【答案】A
【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案．
【详解】解：A. ma+mb=ma+b，正确，符合题意；
B. 8m2−2m=2m4m−1，故该选项因式分解错误，不符合题意；
C. a2−2ab+2b2，不能再分解，故该选项错误，不符合题意；
D. x2−1=(x+1)(x−1)，故该选项因式分解错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．
【变式2】（2021秋·八年级课时练习）下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A．−4x2−9=−(2x+3)(2x−3)B．4mn−4m2−n2=−(2m−n)2
C．x2−2xz−z2=(x−z)2D．9a2+6ma+4m2=(3a+2m)2
【答案】B
【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】A.−4x2−9不能用公式法分解因式，故错误；
B.4mn−4m2−n2=−(2m−n)2，正确；
C.x2−2xz−z2 不能用公式法分解因式，故错误；
D.9a2+6ma+4m2不能用公式法分解因式，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．
【变式3】（2021春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x﹣3）2
B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1
C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2
D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）
【答案】D
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝（x＋3）（x﹣3），错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式＝4（y2﹣2y＋1）＝4（y﹣1）2，错误；
D、原式＝x（x﹣2）＋（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋1），正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
考点9：分解因式——综合法
典例9：（2023·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．a2−2a−3=a−1a−3B．a2−8a+16=a−42
C．a+2a−2=a2−4D．x3−x=xx2−1
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义和方法逐个判断即可．
【详解】解：A、a2−2a−3=a+1a−3，分解错误，故不合题意；
B、a2−8a+16=a−42，是因式分解且分解正确，故符合题意；
C、a+2a−2=a2−4，不是因式分解，故不合题意；
D、x3−x=xx2−1=xx+1x−1，分解不彻底，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握其定义和因式分解的常用方法是解题的关键．
【变式1】（2023·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．−2a2+4a=−2aa+2B．3ax2−6axy+3ay2=3ax−y2
C．2x2+3x3+x=x2x+3x2D．m2+n2=m+n2
【答案】B
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【详解】解：A、−2a2+4a=−2aa−2，选项错误，不符合题意；
B、3ax2−6axy+3ay2=3ax−y2，选项正确，符合题意；
C、2x2+3x3+x=x2x+3x2+1，选项错误，不符合题意；
D、m2+n2，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【变式2】（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．3ax2−6ax=3(ax2−2ax)B．2x2−8y2=2(x+2y)(x−2y)
C．xx−y+yy−x=(x−y)2D．−ax2+2ax−a=−a(x−1)2
【答案】A
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论．
【详解】解：A．3ax2−6ax=3(ax2−2ax)，
∵ax2−2ax有公因式ax，分解不彻底，故选项A分解错误，符合题意；
B．2x2−8y2=2(x−4y2)=2(x+2y)(x−2y)，分解正确，不符合题意；
C．x(x−y)+y(y−x)=x(x−y)−y(x−y)=(x−y)(x−y)=(x−y)2，分解正确，不符合题意；
D．−ax2+2ax−a=−a(x2−2x+1)=−a(x−1)2，分解正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
【变式3】（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x3y−xy2=2xyx2−yB．−xy2+2xy−y=−yxy−2x
C．x2−x−5=xx−1−5D．2x2−8x+8=2x−22
【答案】D
【分析】根据提公因式法，公式法进行因式分解即可求解．
【详解】解：A选项，2x3y−xy2=xy2x2−y，故A选项错误，不符合题意；
B选项，−xy2+2xy−y=−yxy−2x+1，故B选项错误，不符合题意；
C选项，x2−x−5=xx−1−5不是因式分解，故C选项错误，不符合题意；
D选项，2x2−8x+8=2(x2−4x+4)=2x−22，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键．
考点10：因式分解与简便运算
典例10：（2023春·湖南·七年级期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（ ）．
A．512B．12C．712D．1130
【答案】C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×1−15×1+15×1−16×1+16，
=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，
=12×76，
=712，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
【变式1】（2023·河北唐山·统考二模）计算：1252-50×125+252=( )
A．100B．150C．10000D．22500
【答案】C
【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
【变式2】（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）已知20102021−20102019=2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【分析】将20102021−20102019进行因式分解为20102019×2009×2011，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】解：20102021−20102019
=20102019×20102−20102019=20102019×20102−1=20102019×2010−1×2010+1=20102019×2009×2011
∴20102019×2009×2011=2010x×2009×2011
∴x=2019
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）计算−22022+−22021所得的结果是（ ）
A．－2B．2C．－22021D．22021
【答案】D
【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．
【详解】解：(-2)2022+(-2)2021
=(-2)2021×(-2+1)
=−−22021
=22021，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．
考点11：分解因式——十字相乘法
典例11：（2023春·山西大同·九年级校联考期中）若多项式x2−ax+12可分解为x−3x+b，则a+b的值为（ ）
A．−11B．−3C．3D．7
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：−a=−3+b，12=−3b．
【详解】解：∵多项式x2−ax+12可分解为(x−3)(x+b)，
∴：−a=−3+b，12=−3b．
∴b=−4，a=7．
∴a+b=−4+7=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是x+6x−2，乙看错了b的值，分解的结果为x−8x+4，那么b−a的值为（ ）
A．−8B．−6C．−4D．2
【答案】A
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，然后代入b−a求解即可．
【详解】解：∵x+6x−2=x2+4x−12，
∴b=−12，
又∵x−8x+4=x2−4x−32，
∴a=−4，
∴b−a=−12−−4=−8，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式x2+4x−12分解因式正确的结果为（ ）
A．x+3x−4B．x+4x−3
C．x+6x−2D．x+2x−4
【答案】C
【分析】二次项系数看成1×1，常数项看成6×−2，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：x2+4x−12
=x+6x−2
故选：C．
【点睛】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题的关键．
【变式3】（2023春·七年级课时练习）多项式x2+7x−18因式分解的结果是（ ）
A．x−1x+18B．x+2x+9
C．x−3x+6D．x−2x+9
【答案】D
【详解】将原式利用十字相乘法分解因式即可．
【分析】解：用十字相乘法可得x2+7x−18=x−2x+9，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
考点12：分解因式——分组分解法
典例12：（2022秋·八年级单元测试）把多项式x2−y2−2x−4y−3因式分解之后，正确的是（ ）
A．(x+y−3)(x−y−3)B．(x+y−1)(x−y+3)
C．(x+y−3)(x−y+1)D．(x+y+1)(x−y−3)
【答案】D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．
【详解】解：x2−y2−2x−4y−3
=x2−2x+1−y2+4y+4
=x−12−y+22
=x−1+y+2x−1−y−2
=(x+y+1)(x−y−3)
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知x3−12x+16有一个因式x+4，把它分解因式后的结果是（ ）
A．x+4x−22B．x+4x2+x+1
C．x+4x+22D．x2−4x+4x+4
【答案】A
【分析】根据已知可以得x3−12x+16=x+4x2+ax+4，之后进行整式乘法计算即可求解本题．
【详解】解：设x3−12x+16=x+4x2+ax+4，
∵x+4x2+ax+4=x3+a+4x2+4+4ax+16，
∴a+4=0,4+4a=−12，
解得a=−4，
∴x3−12x+16=x+4x2−4x+4=x+4x−22．
故选：A．
【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解法将x2−xy+2y−2x分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．x2−2x+2y−xyB．x2−xy+2y−2x
C．x2+2y+−xy−2xD．x2−2x−xy−2y
【答案】C
【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．x2−xy+2y−2x
=x2−2x+2y−xy
=xx−2−yx−2
=x−2x−y，故选项A分组正确，不符合题意；
B．x2−xy+2y−2x
=x2−xy+2y−2x
=x2−xy−2x−2y
=xx−y−2x−y
=x−yx−2，故选项B分组正确，不符合题意；
C．x2−xy+2y−2x =x2+2y+−xy−2x无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；
D．x2−xy+2y−2x
=x2−2x−xy−2y
=xx−2−yx−2
=x−2x−y，故选项D分组正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解a2−b2−c2+2bc的因式，分组正确的是（ ）
A．a2−b2−b−2bcB．a2−b2−c2+2ab
C．a2−b2−c2−2bcD．a2−b2+c2−2bc
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：a2−b2−c2+2bc
=a2−b2+c2−2bc
=a2−b−c2
=a+b−ca−b+c．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
考点13：因式分解的应用
典例13：（2023春·广西桂林·七年级统考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字：胜、爱、我、龙、游、美，现将x2−y2a2−x2−y2b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．龙胜游C．爱我龙胜D．美我龙胜
【答案】C
【分析】用提公因式法和平方差公式，将(x2−y2)a2−(x2−y2)b2进行因式分解，再找出对应的字即可．
【详解】解：x2−y2a2−x2−y2b2
=x2−y2a2−b2
=x+yx−ya+ba−b
∵a−b，x−y，x+y，a+b，分别对应下列六个字：胜、爱、我、龙，
∴呈现的密码信息可能是“爱我龙胜”．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【变式1】（2023·浙江·八年级假期作业）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2−2ba+c=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a=b=c，从而得到答案．
【详解】解：∵a2+2b2+c2−2ba+c=0，
∴a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，
∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0，
∴a−b2+b−c2=0，
∵a−b2≥0，b−c2≥0，
∴a−b2=0，b−c2=0，
∴a−b=0，b−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级统考期中）已知，X2−16Y2=16，X+4Y=12，则X−Y的值是（ ）
A．64B．32316C．32D．19716
【答案】B
【分析】第一个等式左边利用平方差公式分解因式，把X+4Y=12代入求出X−4Y的值，联立求出X与Y值，即可求出答案．
【详解】解：∵X2−16Y2=X+4YX−4Y=16，X+4Y=12①，
∴X−4Y=32②，
联立①②解得：X+4Y=12①X−4Y=32②，
解得X=654，Y=−6316，
∴X−Y=32316．
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，，以及解二元一次方程组，熟练掌握公式是解本题的关键．
【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，可以得到a−b，a−c，b−c的值，然后将所求式子变形，然后将a−b，a−c，b−c的值代入变形后的式子计算即可．
【详解】∵a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac，
=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac2，
=a−b2+a−c2+b−c22，
=−12+−22+−122，
=1+4+12，
=3，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键时明确题意，利用完全平方公式解答．
同步过关
一、单选题
1．（2023春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．(x+2)(x−2)=x2−4B．6y+2x=x6y+2
C．x2−3x−4=x−4x+1D．x2−x+14=x2(1−1x+14x2)
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、(x+2)(x−2)=x2−4是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、6y+2x=x6y+2，变形错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、x2−3x−4=x−4x+1属于因式分解，故本选项符合题意；
D、x2−x+14=x21−1x+14x2，等式右边不是整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．（2023·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【答案】B
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝x（x﹣y+1），不符合题意；
B、原式＝（a﹣b）2，符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选B．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x−1x−2=1−x2−xB．x2+xy−1=xx−y−1
C．ax−3+b3−x=x−3a−bD．a−1a+1=a2−1
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A、等式左边已经因式分解好了，没有必要再分解了，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．
4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a+2a−2=a2−4B．ab+ac+d=ab+c+d
C．x2−9=x−32D．a2b−ab2=ab(a−b)
【答案】D
【分析】根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可.
【详解】解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误.
D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
5．（2023春·湖南常德·七年级常德市淮阳中学校考期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱五中C．我爱五中D．五中数学
【答案】C
【分析】先运用提公因式法,再运用公式法进行因式分解即可．
【详解】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．
故选：C．
【点睛】考核知识点:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是关键．
6．（2023春·浙江·七年级期末）若实数a，b满足方程组ab+a−b=85a−5b+ab=20，则a2b−ab2的值为（ ）
A．20B．15C．−15D．10
【答案】B
【分析】直接利用整体思想得出ab，a+b的值，进而分解因式得出答案．
【详解】解：∵ab+a−b=85a−5b+ab=20，
∴ab=5a−b=3，
∴a2b-ab2=ab（a-b）
=3×5
=15．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及整体思想的应用，正确解方程组是解题关键．
7．（2023·广东中山·八年级统考期中）下列变形中属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，可知：A、B、C都错误；D正确；故选D．
考点：因式分解
8．（2023春·七年级课时练习）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
9．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）
C．x2+6x+4＝（x+2）2+2xD．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B：从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C：等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D：x2−8＝（x＋22）（x−22），故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）下列因式分解中，正确的是（ ）
①x2y−2xy2+xy=xyx−2y； ②−a+ab−ac=−a1−b+c； ③9abc−6a2b=3abc3−2a； ④2x2y+4xy2=2xyx+2y
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】解：①x2y−2xy2+xy=xyx−2y+1，错误；
②−a+ab−ac=−a1−b+c，正确；
③9abc−6a2b=3ab3c−2a，错误；
④2x2y+4xy2=2xyx+2y，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
11．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长a，b，c满足(a2−c2)2+b2(a2−c2)=0，则这个三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】先把等式的左边分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0求解．
【详解】解：∵(a2−c2)+b2(a2−c2)=(a+c)(a−c)(1+b2)=0,
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a+c≠0,1+b2≠0，
∴a=c,
∴这个三角形的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及等腰三角形的定义，正确的分解因式是解题的关键．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）分解因式a3−4a的结果正确的是（ ）
A．aa2−4B．aa−2a+2C．aa−22D．aa+22
【答案】B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：a3−4a=aa2−4=aa+2a−2，
故选：B．
【点睛】本题考查了分解因式，分解因式一般要先提取公因式，然后利用完全平方公式或平方差公式进行分解．
13．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．（a－3）（a＋3）＝a2－9B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1
C．x2＋1＝x（x＋1x）D．a2b＋ab2＝ab（a＋b）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】A、从左往右的变形属于整式乘法运算，不符合题意；
B、C，因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积形式，不符合题意；
D、提取了公因式ab，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查对因式分解定义的理解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．
14．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．ab+ac+d＝a（b+c）+dB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．6ab＝2a⋅3bD．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
15．（2023春·河北保定·八年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字，师、爱、我、保、好、美，现将(x2−y2)a2−(x2−y2)b2因式分解．结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．保师好C．爱我保师D．美我保师
【答案】C
【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【详解】解：∵(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，
又∵a-b，x-y，x+y，a+b分别对应下列四个个字：爱、我、保、师，
∴结果呈现的密码信息是：爱我保师．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．
二、填空题
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）分解因式：x2﹣2xy+y2＝ ．
【答案】（x﹣y）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝（x﹣y）2，
故答案为（x﹣y）2
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（2023·安徽·九年级专题练习）因式分解：a2b−ab2= ．
【答案】ab(a−b)
【分析】利用提取公因式法即可．
【详解】提取公因式ab得：a2b−ab2=ab(a−b)
故答案为：ab(a−b)．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等，熟记各方法是解题关键．
18．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝ ．
【答案】-2
【分析】先提公因数法把多项式12x3y+x2y2+12xy3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴12x3y+x2y2+12xy3＝12xy(x2+2xy+y2)=12xy(x+y)2
代入数据，原式=12×(−1)×22=−2
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再套完全平方公式即可求解.
19．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式：x2−2x−2y2+4y−xy= ．
【答案】x−2yx+y−2
【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．
【详解】解：原式=x2−xy−2y2+−2x+4y，
=x−2yx+y−2(x−2y)，
=x−2yx+y−2．
故答案为：x−2yx+y−2．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
20．（2023春·七年级课时练习）写出下列各式分解因式时应提取的公因式：
(1)ax-ay应提取的公因式是 ；
(2)3mx-6nx2应提取的公因式是 ；
(3)-x2+xy-xz应提取的公因式是 .
【答案】 a 3x -x
【分析】根据分解因式，可得公因式．
【详解】（1）原式=a(x-y)，应提取的公因式是a；
（2）原式=3x（m－2nx），应提取的公因式是3x；
（3）原式=－x（x-y+z），应提取的公因式是-x．
故答案为a；3x；-x．
【点睛】本题考查了公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
21．（2023春·四川成都·七年级校联考期中）多项式2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，则a+b的值是 .
【答案】-6
【分析】由于x2+x-2=（x+2）（x-1），而多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，则2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），则x=-2和x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到a+b的值.
【详解】解：∵x2+x-2=（x+2）（x-1），
∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，
设商是A．
则2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），
则x=-2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x=-2时，2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0 ①
当x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0 ②
①-②，得
3a+36=0，
∴a=-12，
∴b=-6-a=6．
∴a+b=-12+6=-6.
【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=-2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．
22．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：x2−5x−24= ．
【答案】(x−8)(x+3)
【分析】直接利用因式分解法分解因式即可．
【详解】解：x2−5x−24=(x−8)(x+3)，
故答案为：(x−8)(x+3)．
【点睛】题目主要考查利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．（2023·广东深圳·模拟预测）将4a3−ab2因式分解后的结果为 ．
【答案】a(2a+b)(2a−b)
【分析】先提公因式法，再用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：4a3−ab2=a(4a2−b2)=a(2a+b)(2a−b)．
故答案为：a(2a+b)(2a−b)．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
24．（2023·江苏扬州·统考二模）因式分解mx2+2mx+m= ．
【答案】m(x+1)2
【分析】先提取公因式m，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式=m(x2+2x+1)
=m(x+1)2．
故答案为：m(x+1)2．
【点睛】本题主要考查了用提公因式法、完全平方公式法分解因式，熟练掌握提公因式法、完全平方公式法是解题的关键．
25．（2023·八年级课时练习）若x2+ax+4=x−22，则a= ．
【答案】-4
【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．
【详解】解：∵x2+ax+4=x−22，
∴a=−4
故答案为−4
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
三、解答题
26．（2023春·四川达州·八年级校联考期末）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab−a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“传承数.”
（1）若a=−1，b=2，求a，b的“传承数”c；
（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，b的“传承数”c；
（3）若a=2n+1，b=n−1，且a，b的“传承数”c值为一个整数，则整数n的值是多少？
【答案】（1）c=52；（2）c=6；（3）n为-2、0、2或4
【分析】（1）根据题意和a、b的值可以求得“传承数”c；
（2）由x2+3x+1=0，可得x+1x=−3，进而可求“传承数”c；
（3）根据（2）中的结论和分式有意义的条件可以求得m的值．
【详解】（1）∵a=−1，b=2
∴c=ab−a+b=−12−(−1)+2=52
（2）∵x2+3x+1=0
∴x≠0，两边同时除以x得：x+3+1x=0
∴x+1x=−3
∵a=1，b=x2
∴c=ab−a+b=1x2−1+x2 =1x2+2+x2−3=(x+1x)2−3 =(−3)2−3=9−3=6
（3）∵a=2n+1，b=n−1
∴c=ab−a+b=2n+1n−1−(2n+1)+n−1 =2n−2+3n−1−n−2=2+3n−1−n−2=3n−1−n
∵c为整数，n为整数 ∴n−1为-3、-1、1或3
∴n为-2、0、2或4.
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
27．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）把下列各式因式分解
（1）3a3−12ab2
（2）x4−2x2y2+y4
【答案】（1）3a(a+2b)(a−2b)；（2）(x+y)(x−y)2
【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用平方差公式继续分解因式即可；
（2）首先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】（1）3a3−12ab2
=3a(a2−4b2)
=3a(a+2b)(a−2b)；
（2）x4−2x2y2+y4
=(x2−y2)2
=(x+y)(x−y)2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：如图，根据小军的方法，将下列各式因式分解：
（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．
小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（3）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为： ；
（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【答案】（1）（a+3）（a+2）；（2）（a+3b）（a﹣b）；（3）（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（4）a3+b3＝40．
【分析】（1）（2）先在等式的左边加上一次项系数一半的平方，把式子配成完全平方的形式，再根据平方差公式进行解答即可；
（3）根据正方体的体积公式和给出的条件即可得出答案；
（4）根据（3）得出的式子再进行转化，然后把a+b＝4，ab＝2代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）a2+5a+6＝a2+5a+（52）2﹣（52）2+6＝（a+52）2﹣14＝（a+52+12）（a+52﹣12）＝（a+3）（a+2）；
（2）a2+2ab﹣3b2＝a2+2ab+b2﹣b2﹣3b2＝（a+b）2﹣4b2＝（a+b+2b）（a+b﹣2b）＝（a+3b）（a﹣b）；
（3）（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（4）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得：（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，将a+b＝4，ab＝2代入a3+3ab（a+b）+b3得，43＝a3+3×2×4+b3，
解得：a3+b3＝64﹣24＝40．
【点睛】本题考查了因式分解法的应用，用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
29．（2022秋·八年级单元测试）①已知a＝12，mn＝2，求a2•（am）n的值．
②若2n•4n＝64，求n的值．
【答案】① 116 ; ② 2 .
【分析】①根据幂的乘方、同底数幂的运算法则计算，再带入运算；
②根据幂的乘方及其逆运算，把原式化简为含有x2n的项的形式，再逆向求n的值.
【详解】①原式=a2amn=a2+mn=124=116;
②2n·4n=2n·22n=23n=64，
而26=64，所以n=2.
故答案为①116; ② 2 .
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的运算，要求同学能熟练掌握灵活运用.
30．（2023·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴n=4，m=4．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值．
【答案】（1）xy=9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；
【分析】（1）根据x2−2xy+2y2+6y+9=0，应用因式分解的方法，判断出x−y2+y+32=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，应用因式分解的方法，判断出a−52+b−62=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
【详解】解：
（1）∵x2−2xy+2y2+6y+9=0，
∴x2−2xy+y2+y2+6y+9=0，
∴x−y2+y+32=0，
∴x−y=0，y+3=0，
∴x=−3，y=−3，
∴xy=(−3)×(−3)=9，
即xy的值是9；
(2)∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴a2−10a+25+b2−12b+36=0，
∴a−52+b−62=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
∵6−5∴6⩽c<11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；
【点睛】本题主要考查了因式分解和非负数的性质：偶次方的应用，掌握因式分解和非负数的性质：偶次方的应用是解题的关键.
31．（2023·上海嘉定·七年级统考期中）因式分解：
(1)a(a−b)2−2(b−a)
(2)a5−2a4+a3
【答案】(1)(a−b)(a2−ab+2)
(2)a3(a−1)2
【分析】（1）先将第二项变形，再运用提取公因式法因式分解即可；
（2）先提取公因式a3，再用完全平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：aa−b2−2b−a
=a(a−b)2+2(a−b)
=(a−b)a(a−b)+2
=(a−b)(a2−ab+2)
（2）解：a5−2a4+a3
=a3(a2−2a+1)
=a3(a−1)2
【点睛】本题考查了提取公因式法和公式法因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的方法并灵活运用．
32．（2023·八年级课时练习）如图，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是18m，外径D为1m，内径d为0.4m．每立方米钢的质量为7.8t，求4根立柱的总质量（π取3.14）．
【答案】370.32t
【分析】先根据体积等于圆环的面积乘以高求得体积，再根据质量等于体积乘以密度，即可求得答案．
【详解】依题意得：
πD22−πd22ℎ×7.8×4
= πD22ℎ−πd22ℎ×7.8×4
=πℎ4D2−d2×7.8×4
=184×3.14×(1+0.4)1−0.4×7.8×4
=18×3.14×1.4×0.6×7.8
=370.31904
≈370.32(t)．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握相关公式是解题的关键．
33．（2023·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n和2n－2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）小于101的所有神秘数共有______个．
【答案】（1）36是神秘数，54不是神秘数；（2）是，理由见解析；（3）13
【分析】（1）根据神秘数的定义进行判断即可；
（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【详解】解：（1）36是神秘数，54不是神秘数．
理由如下：∵36=102−82=100−64，
∴36是神秘数，
∵54不是两个连接奇数的平方差，
∴54不是神秘数；
（2）是．
理由如下：∵(2n)2−(2n−2)2=2×(4n−2)=4(2n−1)，
∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，
而小于101的4的奇数倍有4，12，20，28，36，44，52，60，68，76，84，92，100共13个，
故答案为13．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24=x2+11x+1122−1122+24
=x+1122−254
=x+112+52x+112−52
=x+8x+3
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x2+8x−1化成x+m2+n的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式x2−3x−40进行因式分解；
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2−2x−4y+16的值总为正数．
【答案】（1）x+42−17；（2）x+5x−8；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）x2+8x−1
=x2+8x+822−822−1
=x+42−17；
（2）x2−3x−40
=x2−3x+322−322−40
=x−322−1694
=x−32+132x−32−132
=x+5x−8；
（3）证明：x2+y2−2x−4y+16
=x2−2x+1−1+y2−4x+4−4+16
=x−12+y−22+11；
∵x−12≥0，y−22≥0，
∴x−12+y−22+11的值总是正数．
即x2+y2−2x−4y+16的值总是正数．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．
35．（2023春·福建·八年级统考期末）已知ab=3 , a+b=5,利用因式分解求a3b+2a2b2+ab3的值．
【答案】75.
【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2
=3×52
=75
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．