苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.5 黄金分割（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.5 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）A． B． C． D．2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则长是（ ）A． B． C． D．3．把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）A． B． C． D．4．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）A． B． C． D．5．下列说法正确的是（　　）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（　　）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（ ）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么D．相似图形就是位似图形8．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）A． B． C． D．9．已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ）A．如果，那么线段被点黄金分割B．如果，那么线段被点黄金分割C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比D．是黄金比的近似值10．等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有（　　）①△BCD是等腰三角形；②点D是线段AC的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD平分∠ABC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，下列结论：①△ABD，△BCD都是等腰三角形；②AD=BD=BC；③BC2=CD•CA；④D是AC的黄金分割点其中正确的是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题12．在线段上，点把线分成两条线段和，若，则点叫做线段的黄金分割点．若点是线段的黄金分割点（），当时，的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若数，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），那么线段______.（结果保留根号）19．已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段＝ ___；＝______．20．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 　　　　　　．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点.25．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为　　（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．求证：点E是线段AB的黄金分割点．27．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB，∵AB的长度为8cm，∴AP=×8=（cm），∴BP=AB-AP=8-（）=．故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知 ∴ 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2 (1-)=2-+1=3-.故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值 () 是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，则．故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．7．B【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．【详解】解：A、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误；B、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C、如果C点是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么，故原命题错误；D、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；故选B．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键．8．C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，，则，…依此类推，则线段，故选C．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．9．C【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=（180°-36°）=72°，∵AD=BD，∴∠DBA=∠A=36°，∴∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BCD为等腰三角形，所以①正确；∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC，∴BD平分∠ABC，所以④正确；∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，所以③正确；∴BD：AC=CD：BD，而AD=BD，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以②正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，∴BC=BD，∴△ABD，△BCD都是等腰三角形，故①正确；∴BC=BD=AD，故②正确；∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，即BC2=CD•AC，故③正确；∵AD=BD=BC，∴AD2=AC•CD=（AD+CD）•CD，∴AD=CD，∴D是AC的黄金分割点．故④正确，故选D．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12．【分析】根据若点是线段的黄金分割点（），则 =计算即可．【详解】当PM＞PN时，PM=MN=，故答案为：．【点拨】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．13．6.2【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【详解】解：∵将长度为2米的线段进行黄金分割，∴较长的线段==（米），故答案为：米.【点拨】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：∵（称为黄金分割比例），，∴≈≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．16．【解析】17．cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm． 18．【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）∴故答案为：.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．cm cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，则PB=AB-PA=AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，∴较长线段PA=AB，∴PB=AB-PA=AB，而AB=2cm，∴PA=cm，PB=cm．故答案为：cm；cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC＝AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝10×＝5﹣5．故答案为：．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．﹣5【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB，∵AB=10cm，∴AP=.故答案为．点睛：若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP2=BP·AB，即AP=AB.23．C、D是黄金分割点.【解析】【分析】根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C、D是黄金分割点，∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(5﹣2)AB，AC＝BD，∴AC＝3-52AB，AD＝AC+CD＝3-52AB+(5﹣2)AB＝5-12AB，∴D是AB的黄金分割点，同理C也是AB的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=5-12，即可得到AMMN=ANAM=5-12，结论得证。∵MN=1，AN=3-52∴AM=5-12∵AMMN=ANAM=5-12∴点A是MN的黄金分割点考点：本题考查了黄金分割点评：解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52，较长的线段=原线段的5-12。25．（1）;（2）6.【分析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.(2)根据黄金比值是计算即可．【详解】（1）∵即化简得x2+x=5∴=-x2-x+4=-5+4=-1（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB=2()cm,则AC＝4−2（）＝6.【点拨】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.26．（1）；（2）见解析【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，根据题意得，，解得，（舍去），故，故答案为：；（2）设BC=a，则AB=2a，则AC=a，由题意得，CD=BC=a，∴AE=AD=a﹣a，BE=AB﹣AE=3a﹣a，∴=，=，∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．27．【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．【详解】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．依题意，得解得（不合题意，舍去）．经检验，是原方程的根．雕像下部设计的高度应该为：1.236m故答案为：1.236m【点拨】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；【详解】证明：(1) ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA；（2）由（1）知，则，设，则，∵，∴，∴，又，∴；（3）在和中，，，∴，∴，∴，又，∴，∴点是的黄金分割点；【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.