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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题20易错易混集训：一次函数(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题20易错易混集训：一次函数(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了忽略自变量的取值范围致错等内容，欢迎下载使用。
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
2．（2022·全国·八年级课前预习）已知是一次函数，则m的值是（ ）
A．－3B．3C．±3D．±2
3．（2022·云南昭通·八年级期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0B．2C．0或2D．﹣2或0
4．（2021·湖南·衡阳市船山实验中学八年级阶段练习）若是一次函数，则a的值是（ ）
A．－2B．2C．±2D．±
二、填空题
5．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为______.
6．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝_____．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期中）已知函数是关于x的一次函数，则______．
8．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级）已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
10．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校八年级期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；
（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．
11．（2022·全国·八年级）已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
4．（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
5．（2022·湖南常德·八年级期末）某部队加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油油箱的余油量为吨，加油时间为t分钟，、与t之间的函数关系如图．回答问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了________吨油；
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原来的速度继续飞行，需10小时达到目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）平面直角坐标系内一点，过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，直线l与y轴交于点C，则C点坐标为______．
2．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为___________.
3．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
4．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
5．（2022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
6．（2022·北京市师达中学八年级阶段练习）已知一次函数=kx+2的图像与x轴交于点B（-2，0），与正比例函数=mx的图像交于点A（1，a）.
(1)分别求k，m的值；
(2)点C为x轴上一动点.如果△ABC的面积是6，请求出点C的坐标.
专题20 易错易混集训：一次函数
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【答案】时是一次函数，
【分析】根据一次函数的定义得到，求出m，舍去不符合的结果，即可得到函数解析式．
【详解】解：由题意得：．解得或，
当吋，，
所以应舍去，
所以，
这个一次函数表达式为．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，求一次函数的解析式，正确掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．
【详解】解：由题意可得，m-1≠0，
∴m=-1，
故选A
【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课前预习）已知是一次函数，则m的值是（ ）
A．－3B．3C．±3D．±2
【答案】A
【解析】略
3．（2022·云南昭通·八年级期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0B．2C．0或2D．﹣2或0
【答案】A
【分析】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．
【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般．
4．（2021·湖南·衡阳市船山实验中学八年级阶段练习）若是一次函数，则a的值是（ ）
A．－2B．2C．±2D．±
【答案】A
【分析】根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2-3=1，且a-2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：a2-3=1，且a-2≠0，
解得：a=-2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
二、填空题
5．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为______.
【答案】-1
【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，
∴且，
∴
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键．
6．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝_____．
【答案】-2
【分析】由一次函数定义得到，即可求出答案．
【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，
∴，
∴k=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一次函数的定义：形如：y=kx+b（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期中）已知函数是关于x的一次函数，则______．
【答案】4
【分析】由一次函数的定义可知x的次数为1，即3−m=1，x的系数不为0，即，然后对计算求解即可．
【详解】解：由题意知
解得（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数，绝对值方程，解不等式．解题的关键根据一次函数的定义求解参数．
8．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
【答案】 -1 0
【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．
【详解】解：由题意得：，且，．
解得，，
当、分别为、0时，是的正比例函数．
故答案为：，0．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数；形如是常数，的函数叫做正比例函数．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级）已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
【答案】1
【分析】先根据一次函数的定义求出k的值，然后代入(3k+2)2012计算即可
【详解】解：由题意得
|k|=1，且k-1≠0，
解得
k=-1，
∴(3k+2)2012=(-3+2)2012=1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
10．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校八年级期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；
（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．
【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；
（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意可得，n可以取任意实数
解得：m=-2
∴
∴当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；
（2）由题意可得，
解得：
∴
∴当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为．
【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．
11．（2022·全国·八年级）已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【答案】（1）时，是一次函数；（2）时，y的值为3.
【分析】（1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值；
（2）将y=3代入一次函数中，即可求出x的值．
【详解】（1）由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数．
（2）由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【点睛】此题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键．
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；（2）当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.
【详解】(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1.
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【答案】(1)y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；
(2)见解析；
(3)此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求解，并求出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出函数图像；
（3）从图像直接可以得出结论．
（1）
由题意可得，
y=24-x=24-0.6x,
∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，
令y=0，则24-0.6x=0，
解得：x=40，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；
（2）
列表为：
图象是一条线段．描点并连线为：
（3）
由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特别注意自变量的取值范围．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得．
【详解】由题意得：，
，
，
解得，
即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：由题意，得
y=24-4x（0≤x≤6）．
∴k=-4＜0，
∴函数是降函数，函数图象是线段．
当x=0时，y=24，当y=0时，x=6．
∴函数图象是经过（0，24）和（6，0）的线段．
故选D．
【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
【答案】(1)
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将代入求出的解析式即可求解．
（3）根据（1）中求出的解析式，令x=0得出图像与y轴的交点，令y=0得出图像与x轴的交点，再连接并延长即可，再根据图像作答即可．
（1）
由题意得，y与x之间的函数关系式为，
∵，
∴，
∴自变量的取值范围是；
（2）
当时，，
解得；
（3）
当时，，
当时，，
解得，
∴画出的大致函数图像如图所示，
由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完．
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图像与坐标轴的交点是关键．
4．（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
【答案】(1)3，31
(2)Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）
(3)不够用，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出加油前Q与t之间的函数关系式；
（3）根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可．
（1）
解：由图象可得，
张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油45﹣14＝31（升），
故答案为：3，31．
（2）
解：设加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝kt+b，
∵点（0，50），（3，14）在该函数图象上，
∴，
解得，
即加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．
（3）
解：张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，
理由：由图象可得，
汽车的耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升/时），
45÷12×80
＝×80
＝300（千米），
∵300＜320，
∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
5．（2022·湖南常德·八年级期末）某部队加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油油箱的余油量为吨，加油时间为t分钟，、与t之间的函数关系如图．回答问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了________吨油；
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原来的速度继续飞行，需10小时达到目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)油料够用，理由见解析
【分析】（1）根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到．
（2）可以用待定系数法求解；
（3）加进30吨而油箱增加29吨，说明加油过程耗油量为1吨，依此耗油量便可计算是否够用．
（1）解：由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油．故答案为：30；
（2）解：设，把和 代入得，解得，∴ ；
（3）解：油料够用．理由如下：根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨，∴10小时耗油量为：（吨）∵，∴油料够用．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．准确读出图中信息，加入30吨油而油箱只增加29吨对解好本题很关键．
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)
(2)y=x+4或者y=-x+4
【分析】（1）分别当x=0时和当y=0时，即可求出B、A的坐标；
（2）设P点坐标为(a,0)，即，根据OP=2OA，可得，即a=±4，分a=4和a=-4两种情况讨论，用待定系数法求解即可．
（1）
当x=0时，y=2x+4=4，
即B点坐标为(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，即x=-2，
即A点坐标为(-2,0)，
故答案为：B点坐标为(0,4)，A点坐标为(-2,0)；
（2）
∵P点在x轴上，
∴设P点坐标为(a,0)，即，
∵A点坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∵OP=2OA，
∴OP=4，
∴，
即a=±4，
当a=4时，P点坐标为(4,0)，
设BP的函数关系式为，
∵B点坐标为(0,4)，P点坐标为(4,0)，
∴，解得，
即此时BP的函数关系式为，
当a=-4时，P点坐标为(-4,0)，
同理可求：BP的函数关系式为，
综上：BP的函数关系式为或者．
【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论的思想，注意不要遗漏．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）平面直角坐标系内一点，过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，直线l与y轴交于点C，则C点坐标为______．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，如图：
当直线l在的位置时，设的解析式为：，
将点代入得，，解得，
∴的解析式为：，
当时，，
∴与y轴的交点，
当直线l在的位置时，设的解析式为：，
将点代入得，，解得，
∴的解析式为：，
当时，，
∴与y轴的交点，
综上：C点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，运用分类讨论的思想解题是关键．
2．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为___________.
【答案】14或16##16或14
【分析】构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案．
【详解】因为直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，
所以，
所以，
所以，
因为以C、D、A为顶点的三角形与全等，如图，
所以当时，
所以，
所以；
当时，
所以，
所以；
故答案为：14或16．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
3．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
【答案】
【分析】由直线过A点(-3,0)，可得OA=3，，即，再由直线交y轴于B点，可得B点坐标为(0,b)，即，结合，可得，即有，则k值可求．
【详解】∵直线过A点(-3,0)，
∴OA=3，，
即，
∵直线交y轴于B点，
∴当x=0，有，
∴B点坐标为(0,b)，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要一次函数与坐标轴交点的问题以及坐标系中三角形面积的问题，掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键．
4．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【详解】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
5．（2022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
【答案】（-4，0）或（-1，0）##（-1，0）或（-4，0）
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，由点A，B的坐标可求出AB的长，分BA=BC、BA=CA种情况讨论求得即可．
【详解】解：直线与x轴、y轴交于点A、B，则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB==5．
分两种情况考虑，如图所示．
①当BA=BC时，OC=OA=4，
∴点的坐标为（-4，0）；
②当AB=AC时，∵AB=5，OA=4，点C在x轴负半轴，
∴OC=5-4=1，
∴点的坐标为（-1，0）．
∴点C的坐标为（-4，0）或（-1，0），
故答案为：（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
6．（2022·北京市师达中学八年级阶段练习）已知一次函数=kx+2的图像与x轴交于点B（-2，0），与正比例函数=mx的图像交于点A（1，a）.
(1)分别求k，m的值；
(2)点C为x轴上一动点.如果△ABC的面积是6，请求出点C的坐标.
【答案】(1)k=1，m=3
(2)(2，0)或(-6，0)
【分析】（1）把点B（-2，0）代入一次函数=kx+2，确定k值，再把点A（1，a）代入一次函数解析式，确定a值，最后把A的坐标代入=mx即可得到m值.
（2）设点C的坐标为（n，0），则BC=|n+2|，根据列式计算即可.
（1）
把点B（-2，0）代入一次函数=kx+2，得
-2k+2=0，
解得k=1，
所以一次函数解析式为，
当x=1时，y=3，
所以a=3，
所以点A（1，3），把A的坐标代入=mx，得
3=m即m=3.
（2）
设点C的坐标为（n，0），则BC=|n+2|，
因为A（1，3），
所以，
所以，
解得n=2或n= -6，
所以点C(2，0)或点C(-6，0).
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数、正比例函数的解析式，点的坐标与线段的关系计算三角形的面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.
x
0
40
y=24-0.6x
24
0
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
2．（2022·全国·八年级课前预习）已知是一次函数，则m的值是（ ）
A．－3B．3C．±3D．±2
3．（2022·云南昭通·八年级期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0B．2C．0或2D．﹣2或0
4．（2021·湖南·衡阳市船山实验中学八年级阶段练习）若是一次函数，则a的值是（ ）
A．－2B．2C．±2D．±
二、填空题
5．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为______.
6．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝_____．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期中）已知函数是关于x的一次函数，则______．
8．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级）已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
10．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校八年级期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；
（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．
11．（2022·全国·八年级）已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
4．（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
5．（2022·湖南常德·八年级期末）某部队加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油油箱的余油量为吨，加油时间为t分钟，、与t之间的函数关系如图．回答问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了________吨油；
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原来的速度继续飞行，需10小时达到目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）平面直角坐标系内一点，过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，直线l与y轴交于点C，则C点坐标为______．
2．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为___________.
3．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
4．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
5．（2022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
6．（2022·北京市师达中学八年级阶段练习）已知一次函数=kx+2的图像与x轴交于点B（-2，0），与正比例函数=mx的图像交于点A（1，a）.
(1)分别求k，m的值；
(2)点C为x轴上一动点.如果△ABC的面积是6，请求出点C的坐标.
专题20 易错易混集训：一次函数
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
易错点一 忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【答案】时是一次函数，
【分析】根据一次函数的定义得到，求出m，舍去不符合的结果，即可得到函数解析式．
【详解】解：由题意得：．解得或，
当吋，，
所以应舍去，
所以，
这个一次函数表达式为．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，求一次函数的解析式，正确掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．
【详解】解：由题意可得，m-1≠0，
∴m=-1，
故选A
【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课前预习）已知是一次函数，则m的值是（ ）
A．－3B．3C．±3D．±2
【答案】A
【解析】略
3．（2022·云南昭通·八年级期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0B．2C．0或2D．﹣2或0
【答案】A
【分析】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．
【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般．
4．（2021·湖南·衡阳市船山实验中学八年级阶段练习）若是一次函数，则a的值是（ ）
A．－2B．2C．±2D．±
【答案】A
【分析】根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2-3=1，且a-2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：a2-3=1，且a-2≠0，
解得：a=-2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
二、填空题
5．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为______.
【答案】-1
【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，
∴且，
∴
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键．
6．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝_____．
【答案】-2
【分析】由一次函数定义得到，即可求出答案．
【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，
∴，
∴k=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一次函数的定义：形如：y=kx+b（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期中）已知函数是关于x的一次函数，则______．
【答案】4
【分析】由一次函数的定义可知x的次数为1，即3−m=1，x的系数不为0，即，然后对计算求解即可．
【详解】解：由题意知
解得（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数，绝对值方程，解不等式．解题的关键根据一次函数的定义求解参数．
8．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
【答案】 -1 0
【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．
【详解】解：由题意得：，且，．
解得，，
当、分别为、0时，是的正比例函数．
故答案为：，0．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数；形如是常数，的函数叫做正比例函数．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级）已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
【答案】1
【分析】先根据一次函数的定义求出k的值，然后代入(3k+2)2012计算即可
【详解】解：由题意得
|k|=1，且k-1≠0，
解得
k=-1，
∴(3k+2)2012=(-3+2)2012=1．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
10．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校八年级期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；
（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．
【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；
（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意可得，n可以取任意实数
解得：m=-2
∴
∴当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；
（2）由题意可得，
解得：
∴
∴当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为．
【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．
11．（2022·全国·八年级）已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【答案】（1）时，是一次函数；（2）时，y的值为3.
【分析】（1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值；
（2）将y=3代入一次函数中，即可求出x的值．
【详解】（1）由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数．
（2）由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【点睛】此题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键．
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；（2）当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.
【详解】(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1.
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.
易错点二 忽略自变量的取值范围致错
例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，
(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
(2)利用描点法画出此函数的图象；
(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【答案】(1)y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；
(2)见解析；
(3)此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求解，并求出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出函数图像；
（3）从图像直接可以得出结论．
（1）
由题意可得，
y=24-x=24-0.6x,
∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，
令y=0，则24-0.6x=0，
解得：x=40，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；
（2）
列表为：
图象是一条线段．描点并连线为：
（3）
由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特别注意自变量的取值范围．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得．
【详解】由题意得：，
，
，
解得，
即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
2．（2021·河北保定·八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：由题意，得
y=24-4x（0≤x≤6）．
∴k=-4＜0，
∴函数是降函数，函数图象是线段．
当x=0时，y=24，当y=0时，x=6．
∴函数图象是经过（0，24）和（6，0）的线段．
故选D．
【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．（2022·河南新乡·八年级期中）春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)求当时，x的值．
(3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可．
【答案】(1)
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将代入求出的解析式即可求解．
（3）根据（1）中求出的解析式，令x=0得出图像与y轴的交点，令y=0得出图像与x轴的交点，再连接并延长即可，再根据图像作答即可．
（1）
由题意得，y与x之间的函数关系式为，
∵，
∴，
∴自变量的取值范围是；
（2）
当时，，
解得；
（3）
当时，，
当时，，
解得，
∴画出的大致函数图像如图所示，
由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完．
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图像与坐标轴的交点是关键．
4．（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
【答案】(1)3，31
(2)Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）
(3)不够用，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出加油前Q与t之间的函数关系式；
（3）根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可．
（1）
解：由图象可得，
张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油45﹣14＝31（升），
故答案为：3，31．
（2）
解：设加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝kt+b，
∵点（0，50），（3，14）在该函数图象上，
∴，
解得，
即加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．
（3）
解：张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，
理由：由图象可得，
汽车的耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升/时），
45÷12×80
＝×80
＝300（千米），
∵300＜320，
∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
5．（2022·湖南常德·八年级期末）某部队加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油油箱的余油量为吨，加油时间为t分钟，、与t之间的函数关系如图．回答问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了________吨油；
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原来的速度继续飞行，需10小时达到目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)油料够用，理由见解析
【分析】（1）根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到．
（2）可以用待定系数法求解；
（3）加进30吨而油箱增加29吨，说明加油过程耗油量为1吨，依此耗油量便可计算是否够用．
（1）解：由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油．故答案为：30；
（2）解：设，把和 代入得，解得，∴ ；
（3）解：油料够用．理由如下：根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨，∴10小时耗油量为：（吨）∵，∴油料够用．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．准确读出图中信息，加入30吨油而油箱只增加29吨对解好本题很关键．
易错点三 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论
例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．
【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)
(2)y=x+4或者y=-x+4
【分析】（1）分别当x=0时和当y=0时，即可求出B、A的坐标；
（2）设P点坐标为(a,0)，即，根据OP=2OA，可得，即a=±4，分a=4和a=-4两种情况讨论，用待定系数法求解即可．
（1）
当x=0时，y=2x+4=4，
即B点坐标为(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，即x=-2，
即A点坐标为(-2,0)，
故答案为：B点坐标为(0,4)，A点坐标为(-2,0)；
（2）
∵P点在x轴上，
∴设P点坐标为(a,0)，即，
∵A点坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∵OP=2OA，
∴OP=4，
∴，
即a=±4，
当a=4时，P点坐标为(4,0)，
设BP的函数关系式为，
∵B点坐标为(0,4)，P点坐标为(4,0)，
∴，解得，
即此时BP的函数关系式为，
当a=-4时，P点坐标为(-4,0)，
同理可求：BP的函数关系式为，
综上：BP的函数关系式为或者．
【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论的思想，注意不要遗漏．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）平面直角坐标系内一点，过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，直线l与y轴交于点C，则C点坐标为______．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵过A点的直线l与x轴相交所成的锐角等于45°，如图：
当直线l在的位置时，设的解析式为：，
将点代入得，，解得，
∴的解析式为：，
当时，，
∴与y轴的交点，
当直线l在的位置时，设的解析式为：，
将点代入得，，解得，
∴的解析式为：，
当时，，
∴与y轴的交点，
综上：C点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，运用分类讨论的思想解题是关键．
2．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为___________.
【答案】14或16##16或14
【分析】构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案．
【详解】因为直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，
所以，
所以，
所以，
因为以C、D、A为顶点的三角形与全等，如图，
所以当时，
所以，
所以；
当时，
所以，
所以；
故答案为：14或16．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
3．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
【答案】
【分析】由直线过A点(-3,0)，可得OA=3，，即，再由直线交y轴于B点，可得B点坐标为(0,b)，即，结合，可得，即有，则k值可求．
【详解】∵直线过A点(-3,0)，
∴OA=3，，
即，
∵直线交y轴于B点，
∴当x=0，有，
∴B点坐标为(0,b)，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要一次函数与坐标轴交点的问题以及坐标系中三角形面积的问题，掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键．
4．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【详解】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
5．（2022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
【答案】（-4，0）或（-1，0）##（-1，0）或（-4，0）
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，由点A，B的坐标可求出AB的长，分BA=BC、BA=CA种情况讨论求得即可．
【详解】解：直线与x轴、y轴交于点A、B，则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB==5．
分两种情况考虑，如图所示．
①当BA=BC时，OC=OA=4，
∴点的坐标为（-4，0）；
②当AB=AC时，∵AB=5，OA=4，点C在x轴负半轴，
∴OC=5-4=1，
∴点的坐标为（-1，0）．
∴点C的坐标为（-4，0）或（-1，0），
故答案为：（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
6．（2022·北京市师达中学八年级阶段练习）已知一次函数=kx+2的图像与x轴交于点B（-2，0），与正比例函数=mx的图像交于点A（1，a）.
(1)分别求k，m的值；
(2)点C为x轴上一动点.如果△ABC的面积是6，请求出点C的坐标.
【答案】(1)k=1，m=3
(2)(2，0)或(-6，0)
【分析】（1）把点B（-2，0）代入一次函数=kx+2，确定k值，再把点A（1，a）代入一次函数解析式，确定a值，最后把A的坐标代入=mx即可得到m值.
（2）设点C的坐标为（n，0），则BC=|n+2|，根据列式计算即可.
（1）
把点B（-2，0）代入一次函数=kx+2，得
-2k+2=0，
解得k=1，
所以一次函数解析式为，
当x=1时，y=3，
所以a=3，
所以点A（1，3），把A的坐标代入=mx，得
3=m即m=3.
（2）
设点C的坐标为（n，0），则BC=|n+2|，
因为A（1，3），
所以，
所以，
解得n=2或n= -6，
所以点C(2，0)或点C(-6，0).
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数、正比例函数的解析式，点的坐标与线段的关系计算三角形的面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.
x
0
40
y=24-0.6x
24
0
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