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苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题18一元一次方程有整数解(原卷版+解析)
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这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题18一元一次方程有整数解(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了关于x的一元一次方程等内容，欢迎下载使用。
1．若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．0D．3
2．若关于x的一元一次方程kx＝﹣4有负整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（ ）
A．0B．4C．6D．10
4．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16B．－12C．－10D．－8
6．已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．36B．10C．8D．4
7．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（ ）个
A．3B．4C．6D．8
8．已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．2D．6
9．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
10．已知关于x的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数a的值有______．
11．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
12．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________．
13．已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____．
（2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
14．若关于的一元一次方程的解是正整数，则整数的值为__________．
三、解答题
15．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
16．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
17．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
18．回答下列问题．
（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．
（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？
19．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
20．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
21．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．
(1)当时，则______；
(2)当时，且m是整数，求正整数的值；
(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
22．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
23．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且不含的一次项．
（1）求的值；
（2）若为整数，关于的一元一次方程的解是整数，求的值．
24．已知关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解为x=1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
25．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
专题18 一元一次方程有整数解
1．若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可．
【详解】∵，
∴x=，
∵一元一次方程有非正整数解，
∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，
∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．
2．若关于x的一元一次方程kx＝﹣4有负整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据题意解一元一次方程，根据为负整数解求解即可
【详解】解：
解得
为负整数，
则
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次方程，求得4的因数是解题的关键．
3．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（ ）
A．0B．4C．6D．10
【答案】C
【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可．
【详解】解：解方程得，x＝，
∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，
∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，
∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出k的值是解题关键．
4．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元一次方程求出，因为方程的根是偶数，故令，（k为整数），则，当 或时，a取整数，求出a的值相加即可选出正确答案．
【详解】解：去分母：，
去括号： ，
移项合并同类项：，
系数化为1：，
∵方程解是偶数，令，（k为整数），
∴，
∵a取整数，
∴或，
当时，；当时，；当时，；当时，，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，根据解的特点求参数的值．正确求出方程的解，再令解等于偶数，求出a的值是解本题的思路．
5．若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16B．－12C．－10D．－8
【答案】D
【分析】依次移项，合并同类项，系数化为1得到，先讨论m=-1，再讨论m≠1，解原方程，根据“方程解为整数”，得到列出几个关于m的一元一次方程，解之，求出m的值，相加求和即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）；
若m≠-1，则，
∵解是整数，
∴x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8，
可得：m=7或-9或3或-5或1或-3或0或-2，
∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．36B．10C．8D．4
【答案】A
【分析】根据题意可知，解原方程可得，再由“方程解为整数”，即可求出a的值，最后再由a为正整数即可求出满足条件的所有a的值的和．
【详解】解：，
移项得： ，
合并同类项得：，
若a＝1，则原方程可整理得：-14＝7（无意义，舍去），
若a≠1，则，
∵解为整数，
∴x＝1或-1或3或-3或7或-7或21或-21，
则a-1＝21或-21或7或-7或3或-3或1或-1，
解得：a＝22或-20或8或-6或4或-2或2或0，
又∵a为正整数，
∴a＝22或8或4或2，
∴满足条件的所有a的值的和=22+8+4+2＝36，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．
7．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（ ）个
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】可将原方程化为x关于a的二元一次方程，然后根据x＞0，且x为整数来解出a的值．
【详解】解：，
，
，
而，
，
，
，
为正整数
．
所以所有满足条件的整数有4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键．
8．已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】A
【分析】先解方程，得到，根据方程的解是整数，求出a=-2或-4或4或-10，再计算和即可．
【详解】解：，
6x-（4-ax）=3（x+3）-6
6x-4+ax=3x+9-6
6x+ax-3x=7
∴，
∵方程的解是整数，
∴3+a=1或-1或7或-7，
∴a=-2或-4或4或-10，
∴符合条件的所有整数的和为-2-4+4-10=-12，
故选：A．
【点睛】此题考查解一元一次方程，根据方程解的情况求未知数，有理数加法计算法则，根据方程的解是整数得到a的值是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
【答案】2或4##4或2
【分析】通过解一元一次方程即可解答．
【详解】解：
移项得，
化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，
∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解．
10．已知关于x的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数a的值有______．
【答案】0，2，4，6
【分析】由题意知，有或 或 ，代入求解满足要求的值即可．
【详解】解：
∴由题意知或 或
当时，对应的值为0或6；
当时，对应的值为或；（不符合题意，舍去）
当时，对应的值为2或4；
故答案为：0，2，4，6．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于确定的所有可能取值．
11．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
【答案】18或32或50或128
【分析】根据一元一次方程的定义得到m+2≠0，；然后求出符合题意的m的值即可．
【详解】解：∵方程（m+2）xn2+1+6=0是关于x的一元一次方程，
∴m+2≠0，n2+1=1，
∴m≠-2，n=0，
∴方程为
∴
∵此方程的解为正整数，且m为整数，
∴m=-3或-4或-5或-8，
∴2m2=18或32或50或128．
故答案为：18或32或50或128．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确结合正整数的定义分析是解题关键．
12．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________．
【答案】1或-1
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项合并得：，
系数化为1得：，
∵x为正整数，
∴2-k=1或2-k=3，
解得k=1或-1，
故答案为：1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
13．已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____．
（2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
【答案】 5 1或-1
【分析】（1）将x=1代入方程，解出a值即可；
（2）解方程，得到x=，再根据解为负整数，可得a值．
【详解】解：（1）∵方程的解为x=1，代入，
∴a+4=7+2，
解得：a=5；
（2）ax+4=7+2x，
移项合并得：（a-2）x=3，
当a=2时方程无解，
∴x=，
∵方程的解为负整数，
∴x可取的值为-1或-3，
当x=-1时，a=-1，
当x=3时，a=1，
∴a的整数值为1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解的定义得到关于参数的新方程．
14．若关于的一元一次方程的解是正整数，则整数的值为__________．
【答案】2或3或5．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定a的值．
【详解】解：
移项，得：，
合并同类项，得：
系数化为1，得：
∵解是正整数，
∴或或
解得或或
故整数a的值为2或3或5．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．注意移项要变号．
三、解答题
15．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为．
【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．
【详解】，
，
因为方程有正整数解，
所以，即，
所以，
要使方程有正整数解，则为正整数即可，
因此，k的所有可能取值为，
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为．
【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．
16．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把m=2代入方程，求解即可；
（2）把m看做常数，求解方程，然后根据方程解题正整数，m也是正整数求解即可．
（1）
解：当时，原方程即为．
去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
当时，方程的解是．
（2）
解：去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
是正整数，方程有正整数解，
．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
17．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
【答案】（1）；（2）1或4
【分析】（1）将m的值代入计算求解即可；
（2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值．
【详解】（1）将m=3代入方程，得，
∴3x-1=4
3x=5
；
（2）
，
，
∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解，
∴m=1或m=4．
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案．
18．回答下列问题．
（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．
（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？
【答案】（1）；（2）0，2，4，14．
【分析】（1）根据一元一次方程的概念和绝对值的性质即可求解k的值；
（2）先求出方程的解（含k的式子），再根据方程的解为正整数即可求k的值．
【详解】（1）由题意得：，则，
，则或1，
综上所述，．
（2）由题意得，则，
∵有正整数解，∴，
则．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的概念和一元一次方程的解及绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的有关知识．
19．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
【答案】（1）；（2）或，或．
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
【详解】解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
20．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可；
（2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求．
（1）
解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
=
=（16a-8）x+6，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a-8=0，
解得：a=；
（2）
解：方程bx-b-3=0，
整理得：x=1+，
∵解是正整数，
∴b=1或3，
当b=1时，=；
当b=3时，．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
21．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．
(1)当时，则______；
(2)当时，且m是整数，求正整数的值；
(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或2
(3)
【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可；
（2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可；
（3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可．
(1)
解：∵关于x的一元一次方程：的解是，
∴将代入一元一次方程：得：
，
解得：．
故答案为：．
(2)
解：当时，代入方程得，
整理得：，
把代入得，
，
∵m是整数，k为正整数，
∴、3，
∴或2 ．
(3)
解：整理方程得：，
∵无解，
∴，
即，
把代入得，
整理方程得，
把代入得，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
22．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
【答案】（1）﹣1，2；（2）t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【分析】（1）根据单项式的次数定义，以及一元一次方程的定义即可求出答案．
（2）先求方程的解，然后根据题意列出关于t的方程即可求出答案．
【详解】解：（1）由可得
即a，b的值分别为﹣1，2．
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数，且t为整数时，则t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意方程的解是整数的条件．
23．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且不含的一次项．
（1）求的值；
（2）若为整数，关于的一元一次方程的解是整数，求的值．
【答案】（1）；（2）5a+b的值为6或4或8或2．
【分析】（1）根据题意可求出的代数式并整理，由于不含的一次项，即的一次项的系数为0，即可求出a的值．
（2）由，得，由题意可知或-1或3或-3，即可求出b的值，从而求出的值即可．
【详解】（1）根据题意可知：
．
∵3A−B不含x的一次项，
∴，
∴．
（2），
，
，
∵b为整数，x为整数，
∴或-1或3或-3．
∴或-3或1或-5，
当b=-1，时，5a+b=5×−1=6，
当b=-3，时，5a+b=5×−3=4，
当b=1，时，5a+b=5×+1=8，
当b=-5，时，5a+b=5×−5=2，
综上，5a+b的值为6或4或8或2．
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的解．利用不含的一次项求出a的值和判断一元一次方程的整数解的可能值是解答本题的关键．
24．已知关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解为x=1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
【答案】（1）m=-2；（2）m=-2或0．
【分析】（1）将x=1代入方程即可求出m的值；
（2）将方程系数化为1，最后利用方程的解为正整数，得出结论．
【详解】∵关于x的一元一次方程，
∴1-m≠0，
∴m≠1．
∵该方程的解为x=1，
∴
∴1-m=3
∴m=-2．
（2）
3-x+mx=0
x=
∵该方程的解为正整数，
∴1-m=3或1，
∴m=-2或m=0．
【点睛】考查了一元一次方程的解法，方程整数解的特点，解题关键是由方程得到1-m=3或1．
25．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
【答案】（1）t＝；（2）当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3．
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，m＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值；
（2）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【详解】解：（1）由题意得：n＝2，m＝﹣1；
∴﹣x﹣xt+4＝0，
当x＝3时，则﹣3﹣3t+2+2＝0，
∴t＝；
（2）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0，
∵n＝2，m＝﹣1，
∴﹣x﹣xt+4＝0，
∴t≠﹣1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x＝1时，t＝3，
当x＝4时，t＝0，
当x＝﹣1时，t＝﹣5，
当x＝﹣4时，t＝﹣2，
当x＝2时，t＝1，
当x＝﹣2时，t＝﹣3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
1．若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．0D．3
2．若关于x的一元一次方程kx＝﹣4有负整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（ ）
A．0B．4C．6D．10
4．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16B．－12C．－10D．－8
6．已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．36B．10C．8D．4
7．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（ ）个
A．3B．4C．6D．8
8．已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．2D．6
9．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
10．已知关于x的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数a的值有______．
11．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
12．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________．
13．已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____．
（2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
14．若关于的一元一次方程的解是正整数，则整数的值为__________．
三、解答题
15．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
16．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
17．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
18．回答下列问题．
（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．
（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？
19．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
20．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
21．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．
(1)当时，则______；
(2)当时，且m是整数，求正整数的值；
(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
22．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
23．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且不含的一次项．
（1）求的值；
（2）若为整数，关于的一元一次方程的解是整数，求的值．
24．已知关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解为x=1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
25．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
专题18 一元一次方程有整数解
1．若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可．
【详解】∵，
∴x=，
∵一元一次方程有非正整数解，
∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，
∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．
2．若关于x的一元一次方程kx＝﹣4有负整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据题意解一元一次方程，根据为负整数解求解即可
【详解】解：
解得
为负整数，
则
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次方程，求得4的因数是解题的关键．
3．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（ ）
A．0B．4C．6D．10
【答案】C
【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可．
【详解】解：解方程得，x＝，
∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，
∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，
∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出k的值是解题关键．
4．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元一次方程求出，因为方程的根是偶数，故令，（k为整数），则，当 或时，a取整数，求出a的值相加即可选出正确答案．
【详解】解：去分母：，
去括号： ，
移项合并同类项：，
系数化为1：，
∵方程解是偶数，令，（k为整数），
∴，
∵a取整数，
∴或，
当时，；当时，；当时，；当时，，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，根据解的特点求参数的值．正确求出方程的解，再令解等于偶数，求出a的值是解本题的思路．
5．若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16B．－12C．－10D．－8
【答案】D
【分析】依次移项，合并同类项，系数化为1得到，先讨论m=-1，再讨论m≠1，解原方程，根据“方程解为整数”，得到列出几个关于m的一元一次方程，解之，求出m的值，相加求和即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）；
若m≠-1，则，
∵解是整数，
∴x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8，
可得：m=7或-9或3或-5或1或-3或0或-2，
∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（ ）
A．36B．10C．8D．4
【答案】A
【分析】根据题意可知，解原方程可得，再由“方程解为整数”，即可求出a的值，最后再由a为正整数即可求出满足条件的所有a的值的和．
【详解】解：，
移项得： ，
合并同类项得：，
若a＝1，则原方程可整理得：-14＝7（无意义，舍去），
若a≠1，则，
∵解为整数，
∴x＝1或-1或3或-3或7或-7或21或-21，
则a-1＝21或-21或7或-7或3或-3或1或-1，
解得：a＝22或-20或8或-6或4或-2或2或0，
又∵a为正整数，
∴a＝22或8或4或2，
∴满足条件的所有a的值的和=22+8+4+2＝36，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．
7．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（ ）个
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】可将原方程化为x关于a的二元一次方程，然后根据x＞0，且x为整数来解出a的值．
【详解】解：，
，
，
而，
，
，
，
为正整数
．
所以所有满足条件的整数有4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键．
8．已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】A
【分析】先解方程，得到，根据方程的解是整数，求出a=-2或-4或4或-10，再计算和即可．
【详解】解：，
6x-（4-ax）=3（x+3）-6
6x-4+ax=3x+9-6
6x+ax-3x=7
∴，
∵方程的解是整数，
∴3+a=1或-1或7或-7，
∴a=-2或-4或4或-10，
∴符合条件的所有整数的和为-2-4+4-10=-12，
故选：A．
【点睛】此题考查解一元一次方程，根据方程解的情况求未知数，有理数加法计算法则，根据方程的解是整数得到a的值是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
【答案】2或4##4或2
【分析】通过解一元一次方程即可解答．
【详解】解：
移项得，
化简得，
又∵m是正整数且方程也有正整数解，
∴当m=1，2，3，4，5，6时方程有解，
而当m=2，4时有正整数解．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟练的掌握一元一次方程的解．
10．已知关于x的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数a的值有______．
【答案】0，2，4，6
【分析】由题意知，有或 或 ，代入求解满足要求的值即可．
【详解】解：
∴由题意知或 或
当时，对应的值为0或6；
当时，对应的值为或；（不符合题意，舍去）
当时，对应的值为2或4；
故答案为：0，2，4，6．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于确定的所有可能取值．
11．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
【答案】18或32或50或128
【分析】根据一元一次方程的定义得到m+2≠0，；然后求出符合题意的m的值即可．
【详解】解：∵方程（m+2）xn2+1+6=0是关于x的一元一次方程，
∴m+2≠0，n2+1=1，
∴m≠-2，n=0，
∴方程为
∴
∵此方程的解为正整数，且m为整数，
∴m=-3或-4或-5或-8，
∴2m2=18或32或50或128．
故答案为：18或32或50或128．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确结合正整数的定义分析是解题关键．
12．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________．
【答案】1或-1
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项合并得：，
系数化为1得：，
∵x为正整数，
∴2-k=1或2-k=3，
解得k=1或-1，
故答案为：1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
13．已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____．
（2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
【答案】 5 1或-1
【分析】（1）将x=1代入方程，解出a值即可；
（2）解方程，得到x=，再根据解为负整数，可得a值．
【详解】解：（1）∵方程的解为x=1，代入，
∴a+4=7+2，
解得：a=5；
（2）ax+4=7+2x，
移项合并得：（a-2）x=3，
当a=2时方程无解，
∴x=，
∵方程的解为负整数，
∴x可取的值为-1或-3，
当x=-1时，a=-1，
当x=3时，a=1，
∴a的整数值为1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解的定义得到关于参数的新方程．
14．若关于的一元一次方程的解是正整数，则整数的值为__________．
【答案】2或3或5．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定a的值．
【详解】解：
移项，得：，
合并同类项，得：
系数化为1，得：
∵解是正整数，
∴或或
解得或或
故整数a的值为2或3或5．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．注意移项要变号．
三、解答题
15．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为．
【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．
【详解】，
，
因为方程有正整数解，
所以，即，
所以，
要使方程有正整数解，则为正整数即可，
因此，k的所有可能取值为，
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为．
【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．
16．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把m=2代入方程，求解即可；
（2）把m看做常数，求解方程，然后根据方程解题正整数，m也是正整数求解即可．
（1）
解：当时，原方程即为．
去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
当时，方程的解是．
（2）
解：去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
是正整数，方程有正整数解，
．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
17．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
【答案】（1）；（2）1或4
【分析】（1）将m的值代入计算求解即可；
（2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值．
【详解】（1）将m=3代入方程，得，
∴3x-1=4
3x=5
；
（2）
，
，
∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解，
∴m=1或m=4．
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案．
18．回答下列问题．
（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．
（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？
【答案】（1）；（2）0，2，4，14．
【分析】（1）根据一元一次方程的概念和绝对值的性质即可求解k的值；
（2）先求出方程的解（含k的式子），再根据方程的解为正整数即可求k的值．
【详解】（1）由题意得：，则，
，则或1，
综上所述，．
（2）由题意得，则，
∵有正整数解，∴，
则．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的概念和一元一次方程的解及绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的有关知识．
19．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
【答案】（1）；（2）或，或．
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
【详解】解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
20．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可；
（2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求．
（1）
解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
=
=（16a-8）x+6，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a-8=0，
解得：a=；
（2）
解：方程bx-b-3=0，
整理得：x=1+，
∵解是正整数，
∴b=1或3，
当b=1时，=；
当b=3时，．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
21．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数．
(1)当时，则______；
(2)当时，且m是整数，求正整数的值；
(3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或2
(3)
【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可；
（2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可；
（3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可．
(1)
解：∵关于x的一元一次方程：的解是，
∴将代入一元一次方程：得：
，
解得：．
故答案为：．
(2)
解：当时，代入方程得，
整理得：，
把代入得，
，
∵m是整数，k为正整数，
∴、3，
∴或2 ．
(3)
解：整理方程得：，
∵无解，
∴，
即，
把代入得，
整理方程得，
把代入得，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
22．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
【答案】（1）﹣1，2；（2）t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【分析】（1）根据单项式的次数定义，以及一元一次方程的定义即可求出答案．
（2）先求方程的解，然后根据题意列出关于t的方程即可求出答案．
【详解】解：（1）由可得
即a，b的值分别为﹣1，2．
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数，且t为整数时，则t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意方程的解是整数的条件．
23．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且不含的一次项．
（1）求的值；
（2）若为整数，关于的一元一次方程的解是整数，求的值．
【答案】（1）；（2）5a+b的值为6或4或8或2．
【分析】（1）根据题意可求出的代数式并整理，由于不含的一次项，即的一次项的系数为0，即可求出a的值．
（2）由，得，由题意可知或-1或3或-3，即可求出b的值，从而求出的值即可．
【详解】（1）根据题意可知：
．
∵3A−B不含x的一次项，
∴，
∴．
（2），
，
，
∵b为整数，x为整数，
∴或-1或3或-3．
∴或-3或1或-5，
当b=-1，时，5a+b=5×−1=6，
当b=-3，时，5a+b=5×−3=4，
当b=1，时，5a+b=5×+1=8，
当b=-5，时，5a+b=5×−5=2，
综上，5a+b的值为6或4或8或2．
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的解．利用不含的一次项求出a的值和判断一元一次方程的整数解的可能值是解答本题的关键．
24．已知关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解为x=1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
【答案】（1）m=-2；（2）m=-2或0．
【分析】（1）将x=1代入方程即可求出m的值；
（2）将方程系数化为1，最后利用方程的解为正整数，得出结论．
【详解】∵关于x的一元一次方程，
∴1-m≠0，
∴m≠1．
∵该方程的解为x=1，
∴
∴1-m=3
∴m=-2．
（2）
3-x+mx=0
x=
∵该方程的解为正整数，
∴1-m=3或1，
∴m=-2或m=0．
【点睛】考查了一元一次方程的解法，方程整数解的特点，解题关键是由方程得到1-m=3或1．
25．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
【答案】（1）t＝；（2）当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3．
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，m＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值；
（2）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【详解】解：（1）由题意得：n＝2，m＝﹣1；
∴﹣x﹣xt+4＝0，
当x＝3时，则﹣3﹣3t+2+2＝0，
∴t＝；
（2）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0，
∵n＝2，m＝﹣1，
∴﹣x﹣xt+4＝0，
∴t≠﹣1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x＝1时，t＝3，
当x＝4时，t＝0，
当x＝﹣1时，t＝﹣5，
当x＝﹣4时，t＝﹣2，
当x＝2时，t＝1，
当x＝﹣2时，t＝﹣3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
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