苏科版八年级数学上册尖子生同步培优题典专题6.7一次函数与几何综合大题专项提升训练(重难点培优)特训(原卷版+解析)

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题6.7一次函数与几何综合大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题（共30题）1．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．(1)求证：△BEC≌△CDA；(2)模型应用：①已知直线l1：y＝﹣43x﹣4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝−2x+6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1)请直接写出点C的坐标；(2)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3)如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．(1)求一次函数解析式；(2)求DC的长；(3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+5的图像l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图像l2与l1交于点C(m,4)．(1)填空：m=___________；正比例函数l2的表达式为___________；△BOC的面积为___________．(2)若点M是直线y=−12x+5上一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的12时，请求出符合条件的，；(3)一次函数y=kx+1的图像为l3，且l1,l2,l3不能围成三角形，直接写出k的值．5．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y=x+4−c（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．(1)当c=2时，OA=______；(2)若△OAB的面积为8．①求出满足条件的一次函数表达式；②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在线段AB上，当S△OAC=7S△OBC时，请直接写出点C的坐标．6．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过原点，且与直线l2: y=−x+3交于点A（m，2），直线l2与y轴交于点B．(1)求直线l1的函数解析式；(2)点P（0，n）在y轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别与直线l1，l2交于点M，N．若MN=2OB，求n的值．7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．(1)求a值；(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；(3)当t=2时，在正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（－6，0），B（0，3）两点，点C在直线AB上，C的纵坐标为4．(1)求k、b的值及点C坐标；(2)若点D为直线AB上一动点，且△OBC与△OAD的面积相等，试求点D的坐标．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，一次函数y＝34x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C'落在直线AB上时，求点P的坐标．10．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．(1)求点C的坐标；(2)如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置，其中A'C交直线OA于点E，A'B'分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A'B'C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）(3)在（2）的基础上，将△A'CB'绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为34时，求直线CE的函数表达式．11．（2022·浙江·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2,a) ，点B的坐标为(b,2) ，点C的坐标为(c,0)，其中a，b满足(a+b−10)2+a−b+2=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)当△ABC的面积为10时，求点C的坐标；(3)当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是 ．12．（2022·广东·深圳市光明区李松蓢学校八年级期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y=−x+b经过点A，并与y轴交于点C．(1)求A，B两点的坐标及b的值；(2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 　　．点E的坐标为 　　；（均用含t的式子表示）(3)在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．13．（2022·陕西·无八年级期中）问题提出：如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA ；问题探究：如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y=15x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，求点C的坐标；问题解决：古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y=−2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．14．（2022·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A6，0，(1)写出点B，点C的坐标和△ABC的面积．(2)直线l经过AB两点，求直线AB的解析式；(3)点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得S△ACD=12S△ABC?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．15．（2022·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y=−34x+b交y轴于点A(0,3)，交x轴于点B，直线x=2交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=2上一动点，且在点D的上方，设P(2,n)．(1)求点B的坐标．(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；(3)当S△ABP=1时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．16．（2022·山东济南·八年级期中）如图1．函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)①直接写出点C的坐标___________；②求直线BC的函数解析式；(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP=∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．17．（2022·山东济南·八年级期中）如图，一次函数y＝kx+4与x轴交于点A(4，0)，点C在直线AB上且横坐标为3．(1)求k的值和点C的坐标；(2)点D为x轴上一点，BD=CD，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线AB上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使△AMN与△ACD全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，请说明理由．18．（2022·广东·深圳中学八年级期中）（1）如图1，等腰直角三角形ABC的直角顶点在直线l上． 过点A作AD⊥l交于点D， 过点B作BE⊥l交于点E， 求证：△ADC≅△CEB；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B， 将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2， 求l2的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点B(6,4)， 过点B作AB⊥y交于点A， 过点B作BC⊥x交于点C， P为线段BC上的一个动点，点Q(a,2a−4)位于第一象限． 问点A,P,Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值； 若不能， 请说明理由．19．（2021·广东·深圳市光明区凤凰城实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，交直线x=a于点C，点D与点B关于x轴对称，连接AD交直线x=a于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)在x轴上存在一点P，使得PE+PD的和最小，并求出其最小值；(3)当−4＜a＜0时，点Q为y轴上的一个动点，使得△QEC为等腰直角三角形，求点Q的坐标．20．（2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）矩形ABCD的边AB在x轴上，点C、D在第一象限，且AD=3，AB=4，点A的坐标为（2，0），如图（1）．(1)直接写出点C的坐标为（ ， ）；(2)过点A的直线与矩形ABCD的一条边交于点E，如果直线把矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1:2，求直线的解析式；(3)P是线段CD上动点，DP=m，连接PB，以PB为直角边在PB的逆时针方向作等腰直角三角形PBQ，且PB=PQ，∠BPQ=90°，如图（2）．①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接OQ，当线段OQ的长度最短时，求m的值；21．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）如图，在坐标系中，函数y=2x+6的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点.过点A的直线交y轴上方的点M，且点M为线段OB的中点．(1)求直线AM的函数解析式．(2)试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，请直接写出点P的坐标．(3)在x轴上是否存在点H，使得以点A，B，H为顶点的三角形边形是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线y=-43x+4分别交x轴、y轴于点A，B，点M(n，0)为x轴上一点．(1)当n=-1时，求直线BM的解析式．(2)当△ABM的面积为12时，求点M的坐标(3)当0≤n时，直接写出以M，A，B三点组成的图形为轴对称图形时，M点坐标．23．（2022·上海市国和中学八年级期中）如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转90°，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)联结B、D．若BD∥AC，求点D的坐标；(3)联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．24．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点C（2，2）的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B，CD⊥y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式和点B的坐标；(2)在y轴正半轴上是否存在点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2022·河北·邯郸市丛台区实验中学八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=3cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动.若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.(1)直接写出B，C，D三个点的坐标；(2)当P，Q两点出发2s时，求△OPQ的面积；(3)设两点运动的时间为t/s，用含t的式子表示运动过程中△OPQ的面积；(4)在点P，Q运动过程中，点C被包含在△OPQ区域(包含边界)的时长是______s.26．（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．(1)求点A、B、C的坐标；(2)求△ADE的面积；(3)y轴上是否存在一点P，使得SΔPAD＝12SΔADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2022·山东·曲阜师范大学附属实验学校八年级期末）如图，一次函数y＝kx+3的图象过点M（4，0），与正比例函数y＝﹣32x的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B．(1)求k的值与交点A的坐标；(2)计算△AOM的面积与AM的长；(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、M组成的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（2020·广东·河源市东华实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，过点B的直线AB:y=kx+6与直线OA交于点A（4，2），与y轴交于点C，动点M在线段OA和射线AC上运动．(1)求直线AB与直线OA的解析式；(2)求△OAC的面积；(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=-43x+4交坐标轴于A、B两点，过点C-4，0作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE ≌△BOA．(1)求B点坐标为______；线段OA的长为______；(2)确定直线CD解析式，求出点D坐标；(3)如图2，点M是线段CE上一动点(不与点C、E重合)，ON⊥OM交AB于点N，连接MN．①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，猜想并证明；②当△OCM和△OAN面积相等时，求点N的坐标．30．（2022·河北石家庄·八年级期中）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°．(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到D停止．设运动时间为t，△AMD的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则AD＝　 　，CD＝　 　；(2)在（1）的条件下，当点M在线段BC上运动时，请写出S与t的关系式；(3)在（1）的条件下，当S＝52时，t等于多少？(4)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止，同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，直接写出t的值．【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题6.7一次函数与几何综合大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题（共30题）1．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．(1)求证：△BEC≌△CDA；(2)模型应用：①已知直线l1：y＝﹣43x﹣4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝−2x+6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．【答案】(1)见解析(2)①y＝﹣17x﹣4；②（4，﹣2）或（283，﹣383）或（203，﹣223）【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，−2x+6），利用三角形全等得到x+6+(−2x+6)=8，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，-m），表示出D点坐标为（14-m，-m-8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，∠D=∠E∠ACD=∠EBCCA=CB，∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x-4，∴A（0，-4），B（-3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（-7，-3）设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴−3=−7k+b−4=b∴k=−17b=−4，∴l2的解析式：y=−17x−4；②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，∵∠APE=90°−∠FPD=∠FDP，∠AEP=∠PFD=90°∴△AEP≌△PFD，∴AE=PF,EP=FD∵点D在第四象限，且是直线y＝−2x+6上的一点，∴设D点坐标为（x，-2x+6），∵B的坐标为（8，﹣6），∴ED=x,DF=AE=−2x+6−−6∴ED+DF=8，即x+6+(−2x+6)=8解得x=4，∴D点坐标（4，-2）；如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得△AEP≌△PFD，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设点P的坐标为（8，-m），则D点坐标为（14-m，-m-8），由-m-8＝-2（14-m）+6，得m＝143，∴D点坐标（283，- 383）；如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（203，- 223），综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，-2）或（283，- 383）或（203，- 223），【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1)请直接写出点C的坐标；(2)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3)如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（8，6）(2)CF＝3(3)存在，y＝-3x+26【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；（2）由折叠性质得CF=C'F，AC=AC'，∠C=∠AC'F=90∘，利用勾股定理求解AB、CF即可；（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．（1）解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，∴点C坐标为（8，6）；（2）解：由折叠性质得：CF=C'F，AC=AC'=6，∠C=∠AC'F=∠BC'F=90∘，∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，∴AB=OA2+OB2=10，则BC'=10-6=4，在Rt△BC'F中，BF=8-CF，由勾股定理得42+CF2=8−CF2，解得：CF=3；（3）解：存在，设P（a，2a－4），当点P在BC上方时，如图，过点P作EF∥BC交y轴于E，交DC延长线于F，则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，∴△BEP≌△PFD（AAS），∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，∴P（6，8），D（8，2），设直线PD的解析式为y=kx+b，则6k+b=88k+b=2，解得：k=−3b=26，∴直线PD的解析式为y=－3x+26；当点P在BC下方时，如图，过点P作EF∥BC交y轴于E，交AC于F，则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，同理可得△BEP≌△PFD（AAS），∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．【点睛】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．(1)求一次函数解析式；(2)求DC的长；(3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【答案】(1)y= −34x+3(2)DC的长为158(3)P点坐标为（78，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设点C的坐标为（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，用勾股定理列方程求出c的值，再用两点间距离公式求解即可；（3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，∵点A（4，0），D（2，1.5）在一次函数图象上，∴4k+b=02k+b=1.5，解得：k=−34b=3，∴一次函数的解析式为y=−34x+3；（2）由（1）知，一次函数的解析式为y=−34x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，由折叠知，BC＝AC，设点C的坐标为（c，0），∴OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB2+OC2=BC2，∴32+c2=4−c2，∴c＝78，∴C（78，0），∵D（2，1.5），∴DC＝2−782+1.5−02=158；（3）∵A（4，0），B（0，3），∴AB＝42+32=5，当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（78，0）；当PA＝AB＝5时，∵A（4，0），∴P（−1，0）或（9，0）；当PB＝AB时，可得PO＝AO＝4，∴P（−4，0），综上所述，若△PAB是等腰三角形，P点坐标为（78，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+5的图像l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图像l2与l1交于点C(m,4)．(1)填空：m=___________；正比例函数l2的表达式为___________；△BOC的面积为___________．(2)若点M是直线y=−12x+5上一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的12时，请求出符合条件的，；(3)一次函数y=kx+1的图像为l3，且l1,l2,l3不能围成三角形，直接写出k的值．【答案】(1)2，y=2x，5(2)M的坐标为9,12,11,−12(3)32或2或−12【分析】（1）把m,4代入l1中求得m的值；运用待定系数法即可得到l2的解析式；求出B0,5，即可求出△BOC的面积．（2）根据题意得点M坐标，根据△AOM的面积可得x的根，即可求出点M的坐标．（3）不能围成三角形，即l1//l3,l2//l3，即可求k．【详解】（1）∵点Cm,4在直线l1上，将其代入l1得：4=−12m+5，解得：m=2∴点C的坐标为2,4设直线l2的解析式为：y=ax将C2,4代入得：4=2a，解得：a=2∴直线l2的解析式y=2x．如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4,CE=2， y=－12x+5，令x=0，则y=5∴B0,5∴BO=5∴S△BOC=12×5×2=5．故答案是：2，y=2x，5；（2）由题意可得：A（10，0），OA=10，设Mx,−12x+5，∵S△AOM=12×OA×−12x+5则有：12×10×−12x+5=12×5解得：x1=11，或x2=9，故M的坐标为9,12,11,−12．（3）∵一次函数y=kx+1的图像为l3，且l1,l2,l3不能围成三角形，∴当l3经过点C(2,4)时，k=32；当l2、l3平行时，k=2；当l1、l3平行时，k=−12；故k的值是32或2或−12．【点睛】本题考查了一次函数图像及性质，以及三角形面积的求解，熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．5．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y=x+4−c（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．(1)当c=2时，OA=______；(2)若△OAB的面积为8．①求出满足条件的一次函数表达式；②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在线段AB上，当S△OAC=7S△OBC时，请直接写出点C的坐标．【答案】(1)2(2)①y＝x﹣4或y＝x+4；②（−72，12）【分析】（1）根据一次函数与y轴的交点为A，令x=0，即可求出点A坐标；（2）①根据三角形面积为8列方程求出c的值即可得到一次函数的解析式；②当点C在线段AB上时，根据AC＝7BC，AC+BC＝AB＝42，求出BC的长即可得到点C的坐标．【详解】（1）解：当c＝2时，y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），∴OA＝2；故答案为：2；（2）①对于y＝x+4﹣c（c为常数），当x＝0时，y＝4﹣c，当y＝0时，x＝c﹣4，∴A（0，4﹣c），B（c﹣4，0），∴OA＝|4﹣c|，OB＝|c﹣4|，∵△OAB的面积为8，∴12×|4﹣c|×|c﹣4|＝8，∴（c﹣4）2＝16，解得：c＝8或0，∴一次函数表达式为：y＝x﹣4或y＝x+4；②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，当点C在线段AB上时，如图，∴直线AB为： y＝x+4，则A0,4,B−4,0，∴OA=OB=4，AB=42，∵S△OAC=7S△OBC，∴AC＝7BC，AC+BC＝AB＝42，∴8BC＝42，∴BC=22，过点C作CD⊥x轴，则△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，BC=2BD，∴BD=CD=12，∵B−4,0，∴D−72,0，则C的横坐标为−72，当x=−72时，纵坐标为−72+4=12，∴ C−72,12，综上所述，点C的坐标为−72,12．．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的点，第二问中，根据S△OAC＝7S△OBC，得到AC＝7BC是解题的关键．6．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过原点，且与直线l2: y=−x+3交于点A（m，2），直线l2与y轴交于点B．(1)求直线l1的函数解析式；(2)点P（0，n）在y轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别与直线l1，l2交于点M，N．若MN=2OB，求n的值．【答案】(1)直线l1的表达式为y=2x(2)n=6或n=−2【分析】（1）设直线l1的表达式为：y＝kx（k≠0），再把A点的坐标代入y＝﹣x+3，求出m，再把A点的坐标（1，2）代入y＝kx即可；（2）求出OB＝3，设M（n2，n），N（3﹣n，n），求出MN＝|3﹣n−n2|，再根据MN＝2OB求出答案即可．（1）把点A的坐标（m，2）代入函数y＝﹣x+3得：2＝﹣m+3，解得：m＝1，所以点A的坐标是（1，2），设直线l1的表达式为：y＝kx（k≠0），把点A的坐标代入得：2＝k，解得：k＝2．所以直线l1的表达式为：y＝2x；（2）y＝﹣x+3中，当y＝0，﹣x+3＝0，解得：x＝3，所以点B的坐标是（3，0），即OB＝3，∵MN∥x轴，∴M(n2,n)，N（3-n，n），∴MN=|n2−(3−n)|∵MN=2OB，∴|n2−(3−n)|=6，∴3﹣n−n2=±6，解得n=6或n=−2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线相交与平行问题，用待定系数法求一次函数的图象等知识点，能求出点A、B的坐标是解此题的关键．7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．(1)求a值；(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；(3)当t=2时，在正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a=−1(2)S=−72t+14(3)存在点M、N，坐标为M（112，338），N（3916，7316）或M（203，5），N（7312，1112）．【分析】（1）将P（4，n）分别带入y＝34x与y＝ax＋7即得；（2）过P作PD⊥l于D，根据a=−1，得到一次函数解析式为y=−x+7，根据At,0得到B（t，-t+7），C（t，34t），根据0