中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型48梯子最值与斜边中点模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型48梯子最值与斜边中点模型(原卷版+解析)，共29页。



【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，
当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值
【简证】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= .
若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，
即 OC=AB+
【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁
例题精讲
【例1】．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-2】．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_______
【例2】．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ＝4，点Q从点O出发沿OB方向运动过程中，动点C运动形成的路径长是 ．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE，DF分别交AB，BC于点E，F，求EF的最小值．

1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（ ）
A．B．C．2D．
2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．﹣2D．﹣3
4．如图，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面积是4，那△ACD的面积是 ．
5．如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 ．
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN＝2．点D，E分别是BC，MN的中点，点P为斜边AC上任意一点，则PE+PD的最小值为 ．
8．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点
（1）若CD＝2，求△CDE的周长和面积．
（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面积．
9．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？
（2）木棍在滑动的过程中，请判断A、O、B、P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由．
（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值＝ cm．
11．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．
（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？
（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．
12．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．
（1）若AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4．
①求AC的长；
②求点B的坐标；
（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型.


【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，
当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值
【简证】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= .
若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，
即 OC=AB+
【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁
例题精讲
【例1】．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 4+2 ．
解：取AB的中点E，连接OE，CE，
∴AE＝4，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，
∴OE＝AB＝4，
∵OC≤OE+CE，
∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，
故答案为：4+2．
变式训练
【变式1-1】．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（ ）
A．B．2C．D．
解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，
∵矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝2，
∴＝＝，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为，
故选：A．
【变式1-2】．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_______
解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC＝BC＝13，
∴AH＝BH＝AB＝5，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，
∵H为AB的中点，
∴OH＝AB＝5，
∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），
∴OC的最小值为12﹣5＝7．
【例2】．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为 6 ．
解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，
由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为（4，3），
∴OD＝＝5，
∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于6，
故答案为：6．
变式训练
【变式2-1】．如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ＝4，点Q从点O出发沿OB方向运动过程中，动点C运动形成的路径长是 π ．
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
当Q点与O点重合时，
PQ的中点C在OP的中点处，
当P点与O点重合时，
PQ的中点C在OQ的中点处，
∵PQ＝4，
∴C点运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆上，
∴动点C运动形成的路径长＝π×4＝π，
∴动点C运动形成的路径长是π，
故答案为π．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE，DF分别交AB，BC于点E，F，求EF的最小值．
解：∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，
∴当DE与DF的值最小时，EF长度的值最小，
即当DF′⊥BC，DE′⊥AB时，线段E′F′值最小，
如图，过D作DE′⊥AB于E′，DF′⊥BC于F′，
则四边形DF′BE′是矩形，
∴E′F′＝BD，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∵D是斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝2.5．
∴E′F′＝BD＝2.5．
∴EF的最小值为2.5．

1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（ ）
A．B．C．2D．
解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AE＝AB＝×2＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE＝＝＝2，
由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，
此时，OD＝OE+DE＝1+2＝3，
过点A作AF⊥OD于F，则cs∠ADE＝＝，
即＝，
解得DF＝，
∵OD＝3，
∴点F是OD的中点，
∴AF垂直平分OD，
∴OA＝AD＝．
故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
解：如图，连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，
∵∠BAC＝90°，F为DE中点，
∴AF＝DE＝3，
∴点F在以点A为圆心，AF为半径的圆上，
∵＝，∠GAF＝∠BAF，
∴△AGF∽△AFB，
∴，
∴GF＝BF，
∴BF+CF＝GF+CF，
∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，
∵CG＝＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故选：D．
3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（ ）
A．2﹣2B．﹣1C．﹣2D．﹣3
解：连接BE，DE，
由勾股定理得：BD＝＝，
在Rt△MBN中，点E是MN的中点，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为：﹣2，
故选：C．
4．如图，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面积是4，那△ACD的面积是 ．
解：∵△ABC的面积为4，且BC＝3，
∴ABC的高为，
∵AD∥BC，且AD＝2．
∴四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD的面积为：××（2+3）＝
∴ACD的面积为：﹣4＝．
故答案为：．
5．如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为 25 ．
解：如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵CD＝5，BC＝24，
∴OE＝EC＝BC＝12，
DE＝＝＝13，
∴OD的最大值为：12+13＝25．
故答案为：25．
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 ．
解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，
∴OE＝B1E＝A1B1＝4，
又∵B1C1＝BC＝4，
∴C1E＝＝4，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．
故答案为：4+4．
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN＝2．点D，E分别是BC，MN的中点，点P为斜边AC上任意一点，则PE+PD的最小值为 2﹣1 ．
解：如图，作点D关于AC的对称点D′，连接CD′，BD′，BD′交AC于点P′，DD′交AC于点F，
则PD＝PD′，
∵∠MBN＝90°，MN＝2，E是MN的中点，连接BE，
∴BE＝MN＝1，即点E在以B为圆心，半径为1的圆位于△ABC的内部的弧上运动，
∵PE+PD＝PE+PD′＝BE+PE+PD′﹣1，
∴当B、E、P、D′四点在同一条直线上时，BE+PE+PD′＝BD′最小，
即PE+PD＝BD′﹣1最小，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∵点D、D′关于AC对称，
∴AC垂直平分DD′，
∴CD′＝CD＝2，∠D′CF＝∠DCF＝∠CDD′＝∠CD′D＝45°，
∴∠DCD′＝90°，
∴BD′＝＝＝2，
∴PE+PD的最小值为2﹣1．
故答案为：2﹣1．
8．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点
（1）若CD＝2，求△CDE的周长和面积．
（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面积．
解：（1）过E作EH⊥CD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点
∴CE＝3，ED＝3，CD＝2，
∴EH＝，△CDE的周长＝2+3+3＝8，
∴△CDE的面积＝，
（2）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点
∴CE＝3，ED＝3，
设∠CEA＝2x，∠DEA＝2（x+15）＝2x+30，
∴∠CED＝30°
∴△CDE的面积＝．
9．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？
（2）木棍在滑动的过程中，请判断A、O、B、P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由．
（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，
则AO＝＝2.4m，
∵DO＝OB+BD，
∴OD＝1.5m，
∵直角三角形CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，
∴OC＝＝2m，
∴AC＝OA﹣OC＝2.4m﹣2m＝0.4m；
∴木棍的顶端A沿墙下滑0.4m．
（2）AB、AP、BP、OP均不变．理由：
因为P为AB中点，所以AB、AP、BP不变；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大．
如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，
此时，S△AOB＝AB⋅h＝×2.5×1.25＝1.5625（）．
所以△AOB的最大面积为（1.5625）m2．
10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值＝ 12 cm．
解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：
在Rt△AOB中，AB＝12，∠BAO＝30°，
∴OB＝6，
∴BC＝6，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
又∵∠CBA＝60°，
∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，
∴BD＝3，CD＝3，
所以点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：
AO＝12×cs∠BAO＝12×cs30°＝6．
∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2＝122，
解得：x＝6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE＝﹣x，OD＝y，
∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y＝﹣x，
OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，
∴取AB中点E，连接CE，OE，则CE与OE之和大于或等于CO，当且仅当C，E，O三点共线时取等号，此时CO＝CE+OE＝6+6＝12，
故答案为：12．
第二问方法二：因∠ACB与∠AOB和为180度，所以∠CAO与∠CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12．
11．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．
（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？
（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知：AB＝10m，BC＝8m，
由勾股定理得：AC＝（m），
当梯子的顶端下滑1m时，如图，
∴CB'＝7m，
由勾股定理得A'C＝（m），
∴AA'＝A'C﹣AC＝（﹣6）m，
∴梯子的底端A向外滑动（﹣6）m；
（2）存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，设梯子底端向外滑动x米，
则（a﹣x）2+（b+x）2＝c2，
解得x1＝a﹣b，x2＝0（舍），
∴x＝a﹣b，
即梯子底端向外滑动（a﹣b）米．
12．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．
（1）若AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4．
①求AC的长；
②求点B的坐标；
（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 5+ ．
解：（1）①当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
②过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
（2）如图2所示．
取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CE＝AC＝，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE＝＝5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，
故答案为：5+．