沪科版（2024）七年级下册9.2 分式的运算综合训练题

这是一份沪科版（2024）七年级下册9.2 分式的运算综合训练题，共38页。

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\l "_Tc27964" 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【题型2 分式的加减混合运算】 PAGEREF _Tc19221 \h 2
\l "_Tc5486" 【题型3 整式与分式的相加减运算】 PAGEREF _Tc5486 \h 3
\l "_Tc13540" 【题型4 分式加减的实际应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 3
\l "_Tc7277" 【题型5 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 4
\l "_Tc4034" 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 4
\l "_Tc1254" 【题型7 分式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1254 \h 5
\l "_Tc4413" 【题型8 分式运算的规律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 6
\l "_Tc23906" 【题型9 整数指数幂的运算】 PAGEREF _Tc23906 \h 8
\l "_Tc18471" 【题型10 科学计数法表示小数】 PAGEREF _Tc18471 \h 8
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：ab×cd=acbd
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
1）同分母分式：分母不变，分子相加减ac±bc=a±bc
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
【例1】（2022·全国·八年级课时练习）a+ba−b2÷a+ba−b2×a+ba−b的结果是（ ）
A．a−ba+bB．a+ba−bC．a+ba−b2D．1
【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1）−n22m⋅4m25n3=________；
（2）(a2−b)5⋅(b2−a)6⋅(1ab)7=________；
（3）(−3ab3c2)2÷(−3b2ca)3=________；
（4）(−y2x)2⋅(−3x2y)3÷(−3x2ay)2=________；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=________．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）[−a7b23(a+b)]⋅(a2−b2)4a2÷[a2(b−a)2]3
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，则a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值为______ ．
【题型2 分式的加减混合运算】
【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x−2=Mx+2+Nx−1，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：2y2+3y+2y+1−y2−y−5y+2−3y2−4y−5y−2+2y2−8y+5y−3
【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1）1a−b+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；
（2）x2+yzx2+(y−z)x−yz+y2−zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2−(x−y)z−xy ；
（3）x3−1x3+2x2+2x+1+x3+1x3−2x2+2x−1−2(x2+1)x2−1
（4）(y−x)(z−x)(x−2y+z)(x+y−2z)+(z−y)(x−y)(x+y−2z)(y+z−2x)+(x−z)(y−z)(y+z−2x)(x−2y+z) ．
【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．727D．9
【题型3 整式与分式的相加减运算】
【例3】（2022·贵州铜仁·八年级期末）计算：11−x−1−x的结果是________．
【变式3-1】（2022·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+52−a）⋅2a−4a+3=_______．
【变式3-2】（2022·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
(2)设y=3P−Q2，若x是整数，求y的整数值．
【变式3-3】（2022·河北·中考真题）由1+c2+c−12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−2时，A=12B．当c=0时，A≠12
C．当c12D．当cN
【分析】根据n>1可得M>1,01,0N，
故答案为：M>P>N．
【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−bc，那么a>b>c．
【变式5-2】（2022·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx．则a与b的大小关系是_______；c与d的大小关系是______．
【答案】 a>b c>d
【分析】根据题意利用作差法进行整式与分式的加减运算，并将结果与0比较大小即可确定两数间的大小关系.
【详解】解：∵x，y，z是三个互不相同的非零实数，
∴a−b=x2+y2+z2−xy+yz+zx=12x−y2+y−z2+z−x2>0．
∴a>b．
又c−d=1x2+1y2+1z2−1xy+1yz+1zx=121x−1y2+1y−1z2+1z−1x2>0，
∴c>d．
故答案为：a>b和c>d.
【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据x，y，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0，得到a与b，c与d的大小关系．
【变式5-3】（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）M＝45，N＝56；（2）M＜N；证明见解析.
【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【详解】（1）当a=3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N=a+1a+2−a+2a+3 =(a+1)(a+3)−（a+2）2(a+2)(a+3) =−1（a+2）（a+3）．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴−1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
MN=a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
【点睛】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2022·天津东丽·八年级期末）计算
（1）4a3b⋅b2a4÷1a2
（2）aa−1÷a2−aa2−1−1a−1
【答案】（1）23a；（2）aa−1
【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；
（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.
【详解】（1）原式＝4a3b⋅b2a4⋅a2＝23a；
（2）原式＝aa−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=aa−1.
【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.
【变式6-1】（2022·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣x−2yx+y÷x2−4xy+4y2x2−y2，其中x＝﹣2，y＝12．
【答案】﹣yx−2y，16．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后将x、y代入计算即可求得答案．
【详解】解：原式＝1﹣x−2yx+y⋅x+yx−yx−2y2=1−x−yx−2y＝﹣yx−2y，
当x＝﹣2，y＝12时，原式＝16．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注意式子的整理和约分．
【变式6-2】（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A (a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【答案】（1）a+2a−2；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；
（2）根据题意列出算式A−B=a+2a−2−a+6a+2，化简可得A−B=16(a−2)(a+2)，结合a的范围判断结果与0的大小即可得；
（3）由A=a+2a−2=1+4a−2可知，a−2=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得．
【详解】解：（1）A=(a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
=a2−1−3a−1×a−1(a−2)2
=(a+2)(a−2)a−1×a−1(a−2)2
=a+2a−2；
（2）变小了，理由如下：
∵A=a+2a−2，
∴B=a+6a+2，
∴A−B=a+2a−2−a+6a+2=16(a−2)(a+2)；
∵a>2，
∴a−2>0，a+2>4，
∴A−B>0，
∴分式的值变小了；
（3）∵A是整数，a是整数，
则A=a+2a−2=1+4a−2，
∴a−2=±1、±2、±4，
∵a≠1，
∴a的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴3+0+4+6+(−2)=11；
∴符合条件的所有a值的和为11．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式6-3】（2022·全国·八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=−231x4−1y4 ，求 x+y 的值．
【答案】x+y的值为0或±1.
【分析】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【详解】解：∵(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x4−1y4)，
∴(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x2+1y2)(1x2−1y2)，
∴(1x+1y)=−23(1x2−1y2)，
∴(1x+1y)1+23(1x−1y)=0，
∴1x+1y=0或1+231x−1y=0，
∴x+y=0或1x−1y=−32，
由1x−1y=−32，得x=2y2−3y=22y−3，
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
当y=-1时，x为-25，不是整数，不符合题意，舍去；
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
当y=-2时，x为-12，不是整数，不符合题意，舍去；
综上，x+y的值为0或±1．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33 ② x−5x ③ x−1x+2 ④x+1x2
(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)②③
(2)x+3−6x+3，过程见解析
(3)1−3x+6，当x=−5,−7,−9，该式的值是整数，
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；
（3）将原式变形为1−3x+6，根据题意求得x的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解．
【详解】（1）解：①x+33=1+x3，不是“和谐分式”，
②x−5x=1−5x，是“和谐分式”，
③x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2，是“和谐分式”，
④x+1x2 =1x+1x2，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：x2+6x+3x+3
=x+32−6x+3
=x+3−6x+3；
（3）解：x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x
=xx+1−xx+1·x+3x−3xx−3·x+1xx+6
=x2x+1x+3x−3x2x+1x−3x+6
=x+3x+6
=x+6−3x+6
=1−3x+6，
∵1−3x+6为整数，
∴x+6 =±1,±3，
∴当x=−3,−5,−7,−9时，1−3x+6是整数，
又∵x≠0,−1,3,−3,−6．
∴x=−5,−7,−9时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解．
【变式7-1】（2022·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
【答案】（1）153+2x；（2）详见解析；（3）12
【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.
【详解】（1）依题意，所求分式为A，即：10x3+2x+A=5，
∴A=5−10x3+2x=15+10x3+2x−10x3+2x=153+2x；
（2）∵正数x,y互为倒数
∴xy=1，即x=1y
∴2xx+y2+2yy+x2=21y1y+y2+2yy+1y2=21+y3+2y3y3+1=2(1+y3)1+y3=2
∴分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）由题意得aa+4b2+2ba2+2b=1，等式两边同乘(a+4b2)(a2+2b)
化简得： a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a+4b2)
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2−2ab=0，即2ab(2ab−1)=0
∴ab=12或0
∵a,b为正数
∴ab=12.
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.
【变式7-2】（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．
(1)已知分式2a2−1，则2a2+1______2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若4n−2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值．
【答案】(1)是
(2)a−b3a+2b
(3)①yx+y；②m=−34n=14
【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；
②由①推出的结论，类比形式求解即可.
（1）
解：∵2a2−1-2a2+1=4(a2−1)(a2+1)，2a2−1×2a2+1=4(a2−1)(a2+1)
∴2a2+1是2a2−1的“关联分式”
故答案为：是
（2）
解：设a−b2a+3b的“关联分式”为N，则a−b2a+3b−N=a−b2a+3b×N，
∴a−b2a+3b+1N=a−b2a+3b，
∴N=a−b3a+2b．
（3）
解：①设yx的“关联分式”为N，则yx−N=yx×N，
∴yx+1N=yx，
∴N=yx+y．
故答案为：yx+y；
②由题意，可得4m+2=4n−2mx+m=mx+n+4m+2，
整理得n−m=1,n+3m=−2.
解得m=−34n=14．
【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
【变式7-3】（2022·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5，我们称两个分式5x+1与5xx+1互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式4x+1与分式________互为“4和分式”；
（2）分式2xx+y与分式2yx+y互为“________和分式”；
（3）已知xy=1，两个分式1x+1与1y+1是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式3xx+y2与3yx2+y互为“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值．
【答案】（1）4xx+1；（2）2；（3）是，1x+1与1y+1是“1和分式”，即n=1；（4）xy=1
【分析】（1）设这个分式为W，根据题意可知W+4x+1=4，然后求解即可得到答案；
（2）根据2xx+y+2yx+y=2，即可求解；
（3）根据xy=1，则1y+1=11x+1=x1+x，即可得到1x+1+1y+1=1；
（4）由题意可得3xx+y2+3yx2+y=3然后求解xy即可.
【详解】解：（1）设这个分式为W，
根据题意可知W+4x+1=4
W=4−4x+1=4x+4−4x+1=4xx+1
（2）2xx+y+2yx+y=2x+2yx+y=2
∴2xx+y与2yx+y互为“2和分式”
（3）∵xy=1，
∴y=1x
∴1y+1=11x+1=x1+x
∴1x+1+1y+1=1x+1+xx+1=x+1x+1=1
∴1x+1与1y+1互为“1和分式”
∴n=1
（4）∵3xx+y2与3yx2+y互为“3和分式”
3xx+y2+3yx2+y=3
3xx+y2+3yx2+y=3x+y2x2+y
3x2y2=3xy
xy=1
【点睛】本题主要考查了分式的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1−14，计算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【答案】2006
【分析】首先根据fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1−11+x，分别把f(12006)，f(12005)以及f(12)表示出来，其余的f1,f2,用fx=x1+x表示即可求解．
【详解】∵fx=11+x
∴f1x=11+1x=11+xx=x1+x=1−11+x
原式=1-12007+1-12006+1-+1−13+12+12+13++12005+12006+12007
=−12007+12007+−12006+12006+−12005+12005++−13+13+12+12+2005
=2006
故答案是：2006．
【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出f1x=1−11+x是求解本题的关键．
【变式8-1】（2022·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
第1个等式：232−4×2−1−41=21；
第2个等式：442−4×2−2−42=22；
第3个等式：652−4×2−3−43=23；
第4个等式：862−4×2−4−44=24；
第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)1282−4×2−6−46=26
(2)2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，证明见解析
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解： 1282−4×2−6−46=26；
(2)
解：2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，理由如下：
左边=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
【变式8-2】（2022·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
观察分式x−1x的变形过程和结果，x−1x=xx+−1x=1−1x．
填空：若x为小于10的正整数，则当x=_______时，分式x−1x的值最大．
（2）探究二：
观察分式a2+2a−2a−1的变形过程和结果，
a2+2a−2a−1=a−12+4a−3a−1=a−12+4a−1+1a−1=a−1+4+1a−1=a+3+1a−1．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式x2+2x−1x−1的变形结果．
【问题解决】
（3）当−2