苏科版八年级数学上册举一反三系列专题7.6期中真题重组卷(考查范围：第1~4章)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册举一反三系列专题7.6期中真题重组卷(考查范围：第1~4章)特训(原卷版+解析)，共32页。

【苏科版】
考试时间：90分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·福建·福州十八中八年级期中）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25B．49C．64D．81
2．（3分）（2022·山东济宁·八年级期中）如图，被阴影覆盖的数可能是（ ）
A．−3B．7C．11D．26
3．（3分）（2022·安徽六安·八年级期中）△ABC的三边长a，b，c满足a−5+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
4．（3分）（2022·新疆·测试·编辑教研五八年级阶段练习）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．7B．2+72C．1+7D．7+2
5．（3分）（2022·广东· 八年级期中）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＝∠B＋∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a＝5，b＝12，c＝13
6．（3分）（2022·山东临沂·八年级期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
7．（3分）（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
8．（3分）（2022·吉林长春·八年级期中）如图，在△ABC中，过点A作∠ABC的平分线的垂线AD交△ABC内部于点P，交边BC于点D，连结CP，若△ABP，△CDP的面积分别为4、2，则△ABC的面积是（ ）
A．24B．12C．8D．6
9．（3分）（2022·江苏·宜兴市树人中学八年级期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．若四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．103
10．（3分）（2022·山东滨州·八年级阶段练习）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·安徽合肥·八年级期中）如果3-6x的立方根是-3，则2x+6的算术平方根为________
12．（3分）（2022·福建·莆田第七中学八年级期中）如图，△ACE中，AC＝AE，延长EC至点B，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，则AD的长为____.
13．（3分）（2022·湖北孝感·八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE=______．
14．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
15．（3分）（2022·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D作DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，则BC＝_______．
16．（3分）（2022·湖北恩施·八年级期中）如图，在2×2的正方形格点图中，△ABC为格点三角形，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个.
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（6分）（2022·山东省济南实验初级中学八年级期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，在所给的方格纸中，完成下列各题（用直尺画图，先用铅笔画图，确定不再修改后用中性笔描黑．）
(1)画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)连接AA1，BB1，直接写出AA1+BB1的值；
(3)求△ABC的面积．
18．（6分）（2022·江西抚州·八年级期中）如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且2AE=AD+AB．问：∠1和∠2有何数量关系？并说明理由．
19．（6分）（2022·山东济南·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，若∠BAC=90°，
①求证；△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
20．（8分）（2022·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？
21．（8分）（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA1=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?
22．（9分）（2022·重庆市璧山中学校八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．
（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．
23．（9分）（2022·河南·安阳市第五中学八年级期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
(1)如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
(2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．
24．（10分）（2022·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
(1)如图1所示，当EF＝BE＋CF，求证∠EAF＝12∠BAC；
(2)如图2所示，∠EAF＝12∠BAC，求证：CF＝BF＋2BE．
25．（10分）（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
2022-2023学年八年级数学上册期中真题重组卷
（考查范围：第1~4章）
【苏科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·福建·福州十八中八年级期中）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25B．49C．64D．81
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
2．（3分）（2022·山东济宁·八年级期中）如图，被阴影覆盖的数可能是（ ）
A．−3B．7C．11D．26
【答案】B
【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行计算即可．
【详解】解：∵−3＜−1
∴A不符合要求
∵22＜72＜32
∴2＜7＜3，故B符合要求
∵112＞32，262＞32
∴C和D不符合要求
∴被阴影覆盖的可能是7．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．
3．（3分）（2022·安徽六安·八年级期中）△ABC的三边长a，b，c满足a−5+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵a−5+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12a⋅b=12×5×12=30．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
4．（3分）（2022·新疆·测试·编辑教研五八年级阶段练习）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．7B．2+72C．1+7D．7+2
【答案】C
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为7+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=7，
∵AB=AE，
∴AE=7，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为7+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=7．
5．（3分）（2022·广东· 八年级期中）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＝∠B＋∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a＝5，b＝12，c＝13
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．（3分）（2022·山东临沂·八年级期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【答案】C
【分析】根据题意，CE=4，AE=4.5-1.5=3，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，根据题意，得CE=4，AE=4.5-1.5=3，
勾股定理，得32+42=5，
故选：C
．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键．
7．（3分）（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得PD2=BD2=5，PB2=10，求得PD2+BD2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+BD2=PB2，
∴∠PDB=90°，则△DPB为等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（3分）（2022·吉林长春·八年级期中）如图，在△ABC中，过点A作∠ABC的平分线的垂线AD交△ABC内部于点P，交边BC于点D，连结CP，若△ABP，△CDP的面积分别为4、2，则△ABC的面积是（ ）
A．24B．12C．8D．6
【答案】B
【分析】根据ASA可证△ABP≅△DBP，由全等的性质可得，AP=DP，即P是AD中点，由等底同高可得，S△DBP=S△ABP，S△APC=S△DPC，从而计算S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△APC+S△DPC，故得出答案．
【详解】由题可得：∠ABP=∠DBP，BP⊥AD，
∴∠BPA=∠BPD=90°，
在△ABP与△DBP中，
∠ABP=∠DBPBP=BP∠BPA=∠BPD，
∴△ABP≅△DBP(ASA)，
∴AP=DP，
∴S△DBP=S△ABP=4，S△APC=S△DPC=2，
∴S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△APC+S△DPC=4+4+2+2=12．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）（2022·江苏·宜兴市树人中学八年级期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．若四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．103
【答案】C
【分析】过点A作AH⊥BC于H，判定ΔABC≅ΔAED，得出AF=AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，求得SRt△AFG=12⋅FG⋅AF=6，进而得到FG的长．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：
在△ABC与△ADE中，
BC=DE∠C=∠ECA=EA
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AD=AB，S△ABC=S△ADE，
又∵AF⊥DE，
即12⋅DE⋅AF=12⋅BC⋅AH，
∴AF=AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴在Rt△AFG和Rt△AHG中，
AG=AGAF=AH
∴Rt△AFG≌Rt△AHG(HL)，
同理：Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)，
∴S四边形DGBA=S四边形AFGH=12，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴SRt△AFG=12⋅FG⋅AF=6，
∵AF=4，
∴ 12⋅FG⋅4=6，
解得：FG=3；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
10．（3分）（2022·山东滨州·八年级阶段练习）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
【点睛】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·安徽合肥·八年级期中）如果3-6x的立方根是-3，则2x+6的算术平方根为________
【答案】4
【分析】根据3−6x的立方根为−3可求出x的值，继而可求出代数式2x+6的值，也可求出2x+6的算术平方根．
【详解】解：∵3−6x的立方根是−3，
∴3−6x=−27，
∴x=5，
∴2x+6=2×5+6=16，
∴16的算术平方根为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题，解答此题的关键是根据立方根的知识求出x的值．
12．（3分）（2022·福建·莆田第七中学八年级期中）如图，△ACE中，AC＝AE，延长EC至点B，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，则AD的长为____.
【答案】2
【分析】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，即有BD垂直平分AG，则有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再证明BG∥AC，则有∠GBE=∠ACE，根据AC=AE，有∠ACE=∠AEC，进而有∠GBE=∠AEC，则BG=GE，即可求解．
【详解】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，如图，
∵BD⊥AG，AD=DG，
∴BD垂直平分AG，
∴AB=BG，
∵AB=6，
∴BG=6，
∴∠BAD=∠BGD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠BGD，
∴BG∥AC，
∴∠GBE=∠ACE，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠GBE=∠AEC，
∴在△GBE中，有BG=GE，
∵BG=6，
∴GE=6，
∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE，
∴AD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，构造辅助线BG，证明BG=GE是解答本题的关键．
13．（3分）（2022·湖北孝感·八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE=______．
【答案】45°##45度
【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC=90°，∠ACD=45°，最后根据平角的定义可得结论．
【详解】解：如图，连接AD，
观察图形可知：△BFC，△CGE是等腰直角三角形，
∴∠BCF=45°，∠ECG=45°，
∵CD2=32+12=10，AD2=32+12=10，AC2=42+22=20，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠BCA+∠BCF+∠ECG+∠ACD+∠DCE=180°
∴∠BCA+∠DCE=180°−45°−45°−45°=45°
故答案为：45°
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
14．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】58°##58度
【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键．
15．（3分）（2022·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D作DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，则BC＝_______．
【答案】12
【分析】连接BE，先证△BCE和△BDE全等，根据全等三角形的性质可得CE=DE,BC＝BD＝x，最后根据三角形的周长列式解答即可．
【详解】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
BE=BEBC=BD，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴CE＝DE，
设BC＝BD＝x，
∵△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，
∴BC+BD+CE+AD+AE＝BC+BD+DE+AD+AE＝x+x+12＝36，
解得：x＝12，即BC＝12．
故填：12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键．
16．（3分）（2022·湖北恩施·八年级期中）如图，在2×2的正方形格点图中，△ABC为格点三角形，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个.
【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形进行画图即可．
【详解】解：如图所示：与ΔABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，共5个，
故答案为5．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（6分）（2022·山东省济南实验初级中学八年级期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，在所给的方格纸中，完成下列各题（用直尺画图，先用铅笔画图，确定不再修改后用中性笔描黑．）
(1)画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)连接AA1，BB1，直接写出AA1+BB1的值；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；8
(3)2
【分析】（1）找到A,B,C关于直线DE的对称点，然后首位连接A1,B1,C1，则△A1B1C1即为所求；
（2）连接AA1，BB1，根据网格的特点即可求解；
（3）根据△ABC的面积等于一个长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
(1)
如图，找到A,B,C关于直线DE的对称点，然后首位连接A1,B1,C1，则△A1B1C1即为所求，
(2)
如图，
AA1+BB1=2+6=8
(3)
S△ABC=2×3−12×2×2−12×1×1−12×1×3=6−2−12−32=2
【点睛】本题考查了作轴对称图形，根据网格的特点求线段的长，数形结合是解题的关键．
18．（6分）（2022·江西抚州·八年级期中）如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且2AE=AD+AB．问：∠1和∠2有何数量关系？并说明理由．
【答案】∠1与∠2互补，理由见解析
【分析】作CF⊥AN于F，证明Rt△ACF≌Rt△ACE得到AF=AE，再证明△DFC≌△BEC，得到AF=AE，由已知条件从而证得．
【详解】解：∠1与∠2互补，理由是：
如图，作CF⊥AN于F，
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵AE=12（AD+AB）=12（AF-DF+AE+EB）=AE+12（BE-DF），
∴BE-DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等，并利用已知条件来求解是解题的关键．
19．（6分）（2022·山东济南·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，若∠BAC=90°，
①求证；△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】(1)①证明见解析 ②90°
(2)α+β=180°
【分析】（1）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；
②根据全等三角形中对应角相等得∠B=∠ACE，则∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）证明△ABD≌△ACESAS，可得∠B=∠ACE，再将α+β转化成三角形的内角和即可．
（1）
解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE，
又∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°；
（2）
α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=β．
∵∠B+∠ACB=180°−∠BAC=180°−α，
∴α+β=180°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形全等的判定及性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
20．（8分）（2022·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？
【答案】(1)经过2秒后，△BPD与△CQP全等，理由见解析；
(2)当点Q的运动速度为83厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等
【分析】（1）求出BD和CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等可得BP＝CP，求出时间t，再根据CQ＝BD求出Q的速度即可．
（1）
解：若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等，
理由：∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，
根据题意得：经过2秒时，BP＝CQ＝4厘米，
所以CP＝12厘米﹣4厘米＝8厘米，
即CP＝BD＝8厘米，
在△DBP和△PCQ中，BD=CP∠B=∠CBP=CQ，
∴△DBP≌△PCQ（SAS），
∴若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等；
（2）
设当点Q的运动速度为a厘米/秒，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP和CQ不是对应边，
∴BD＝CQ，BP＝CP，即2t＝12﹣2t，
解得：t＝3，
∵BD＝CQ，
∴8＝3a，
解得：a＝83；
即当点Q的运动速度为83厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】本题主要考查了对全等三角形的判定和性质的应用，找准对应边是解题的关键．
21．（8分）（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA1=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?
【答案】（1）14；（2）101；（3）昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲
【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可．
【详解】（1）最长的为斜对角线：32+22+12=14；
（2）这根细线的长为：12+3+3+2+22=101；
（3）设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
(2x)2=122+(14−2x)2
∵x>0，解得：x=8514.
答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．
22．（9分）（2022·重庆市璧山中学校八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．
（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析
【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD=90°．
∴∠AHB=90°，
∴AE⊥BD．
故答案为AE=BD，AE⊥BD；
（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，
理由如下：如图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠AEC=180°-∠CED=135°，
由（2）可知：△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，
∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM，
∴AD=DE+AE=2CM+BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（9分）（2022·河南·安阳市第五中学八年级期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
(1)如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
(2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)135°或112.5°或140°
【分析】（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可，首先DE是线段AC的垂直平分线，得到△EAC是等腰三角形；根据题中角度关系，得到△EAB是等腰三角形，即可证明结论；
（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．
（1）
证明：如图1所示：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线；
（2）
解：如图2所示：
当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°，
如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，
如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）；
如图3所示：
当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
当CD为特异线时，不合题意；
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．
【点睛】本题属于创新题目，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握分类讨论，画出图形，借助于图形解决问题，并熟练利用方程去思考问题是解决问题的关键．
24．（10分）（2022·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
(1)如图1所示，当EF＝BE＋CF，求证∠EAF＝12∠BAC；
(2)如图2所示，∠EAF＝12∠BAC，求证：CF＝BF＋2BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在EF上截取EH=BE，连接AH，根据线段垂直平分线的判定与性质证得AB=AH，进而得到∠BAE=∠EAH，AC=AH，根据已知证得CF=HF，再根据全等三角形的判定与性质证明△ACF≌△AHF（SSS）得到∠CAF=∠HAF即可证得结论；
（2）在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，根据线段垂直平分线的判定与性质证得AN=AB=AC，进而得到∠BAE=∠NAE，根据已知证得∠FAN=∠CAF，根据全等三角形的判定与性质证明△ACF≌△ANF（SAS）得到CF=NF即可证得结论．
（1）
证明：如图，在EF上截取EH=BE，连接AH，
∵EB=EH，AE⊥BF，
∴AE垂直平分BH，
∴AB=AH，
∵AB=AH，AE⊥BH，
∴∠BAE=∠EAH，
∵AB=AC，
∴AC=AH，
∵EF=EH+HF=BE+CF，
∴CF=HF，
在△ACF和△AHF中，
AC=AHCF=HFAF=AF，
∴△ACF≌△AHF（SSS），
∴∠CAF=∠HAF，
∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH=∠EAF，
即∠EAF=12∠BAC；
（2）
证明：如图，在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE=EN，AB=AC，
∴AN=AB=AC，
∵AN=AB，AE⊥BN，
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠EAF=12∠BAC，
∴∠EAF+∠NAE=12（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN=12∠CAN，
∴∠FAN=∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
AC=AN∠CAF=∠NAFAF=AF，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF=NF，
∴CF=BF+2BE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角的运算、线段的和与差等知识，添加辅助线证明三角形全等解决问题是解答的关键．
25．（10分）（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
【答案】(1)、AP=CQ，理由见解析；(2)、直角三角形，理由见解析.
【详解】试题分析：(1)、根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠ABC=60°结合∠PBQ=60°得出∠ABP=∠CBQ，从而得出△ABP和△CBQ全等，然后得出答案；(2)、根据BP=BQ，∠PBQ=60°得出△PBQ是等边三角形，然后根据PQ2+QC2=PC2得出直角三角形.
试题解析：(1)、AP=CQ
∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC ∠ABC=60° 又 ∵∠PBQ=60° ∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC
即∠ABP=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ （SAS） ∴AP=CQ
(2)、△PQC是直角三角形
∵BP="BQ" , ∠PBQ=60° ∴△PBQ是等边三角形 ∴PQ=PB=4 又∵AP=CQ AP=3 ∴CQ=3
又∵PC=5 ∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2=25 ∴∠PQC=90° ∴△PQC是直角三角形
考点：(1)、三角形全等；(2)、直角三角形的判定